高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精讲)(原卷版+解析)，共22页。


【知识必备】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
【题型精讲】
【题型一 椭圆的定义及应用】
例1 (2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
例2 （1）(2023·福建高三期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
（2）(2023·江苏省苏州实验中学高三期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．且
例3 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
例4 (2023·全国高三模拟）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2. (2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1B．－1C．D．
3.(2023·全国高三模拟）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
【题型二 焦点三角形问题】
例5 (2023·青岛高三模拟）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
例6(2023·山东日照高三模拟）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例7(2023·重庆一中高三期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
【跟踪精练】
1. (2023·武功县普集高级中学期末）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．
2. (2023·全国高三模拟）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．
【题型三 椭圆的标准方程】
方法技巧 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
注意验证斜率不存在的情况．
例8 (2023·全国高三专题练习）(1)已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆的方程为______________．
(3)(一题多解)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
例9 (2023·广东深圳市·高三二模）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·模拟预测）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________．
3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型四 椭圆的性质】
例10 (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
(2)(福州模拟)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
例11 (1)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为 ( )
A．2 B．3
C．6 D．8
(2)P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．[0,15] B．[5,15]
C．[5,21] D．(5,21)
【题型精练】
1. (2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·江西·高三开学考试）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.(2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
4.(2023·广西柳州·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
8.4 椭圆及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
【题型精讲】
【题型一 椭圆的定义及应用】
例1 (2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案： ②
【解析】 ①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
例2 （1）(2023·福建高三期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
（2）(2023·江苏省苏州实验中学高三期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．且
答案：（1）A（2）D
【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.
综上：实数的取值范围是且故选：D
例3 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
【解析】(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
例4 (2023·全国高三模拟）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，
所以.又，
如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
2. (2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1B．－1C．D．
答案：A
【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
3.(2023·全国高三模拟）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
答案：②④
【解析】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，
整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
【题型二 焦点三角形问题】
例5 (2023·青岛高三模拟）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
答案：
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
例6(2023·山东日照高三模拟）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由， ，又，解得，
.
故选：A.
例7(2023·重庆一中高三期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
答案：
【解析】椭圆，所以，即、，
直线过左焦点，所以，，，
所以；
故答案为：
【跟踪精练】
1. (2023·武功县普集高级中学期末）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．
答案：3
【解析】由知，则由题意，得，所以可得，即，所以.
故答案为：3．
2. (2023·全国高三模拟）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．
答案：
【解析】在椭圆中，长半轴，半焦距，由椭圆定义得，
在中，由余弦定理得：，
即：，则，
又的面积为，则，即，
于是得，两边平方得，
解得，则，
所以.
故答案为：
【题型三 椭圆的标准方程】
方法技巧 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
注意验证斜率不存在的情况．
例8 (2023·全国高三专题练习）(1)已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆的方程为______________．
(3)(一题多解)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
【解析】(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，
由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq \f(1,6)，n＝eq \f(1,10).所以椭圆方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)法一：定义法
椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义，知
2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法二：待定系数法
∵所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在所求椭圆上，∴eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
[答案] (1)C (2)eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1 (3)eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
例9 (2023·广东深圳市·高三二模）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，所以可得，
又因为，
所以可得，即为短轴的顶点，
设为短轴的上顶点，，，
所以，
所以直线的方程为：，
由题意设椭圆的方程为：，则，
联立，整理可得：，
即，可得，
代入直线的方程可得，
所以，
因为，
所以，整理可得：，
解得：，可得，
所以椭圆的方程为：，
故选：D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A
2. (2023·全国·模拟预测）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________．
答案：（答案不唯一）
【解析】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取
故答案为：（答案不唯一）
3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设椭圆的标准方程为()，焦距为，
则：解得
故选：D
【题型四 椭圆的性质】
例10 (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
(2)(福州模拟)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
【解析】 (1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2c.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq \r(3)c，|BF2|＝c，故|AB|＝a＋c＋c＝a＋2c，tan∠PAB＝eq \f(|PB|,|AB|)＝eq \f(\r(3)c,a＋2c)＝eq \f(\r(3),6)，解得a＝4c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).
(2)由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，即圆的半径r＝eq \f(b2,a).又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤ eq \f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5).又0＜e＜1，所以0＜e≤eq \f(\r(5),5).
[答案] (1)D (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)))
例11 (1)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为 ( )
A．2 B．3
C．6 D．8
(2)P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．[0,15] B．[5,15]
C．[5,21] D．(5,21)
【解析】 (1)设点P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，即yeq \\al(2,0)＝3－eq \f(3x\\al(2,0),4).因为点F(－1,0)，所以eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))＝x0(x0＋1)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)＋x0＋3＝eq \f(1,4)(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→)))max＝6.
(2)由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为eq \(PE,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))＝(eq \(PN,\s\up7(―→))＋eq \(NE,\s\up7(―→)))·(eq \(PN,\s\up7(―→))＋eq \(NF,\s\up7(―→)))＝(eq \(PN,\s\up7(―→))＋eq \(NE,\s\up7(―→)))·(eq \(PN,\s\up7(―→))－eq \(NE,\s\up7(―→)))＝eq \(PN,\s\up7(―→))2－eq \(NE,\s\up7(―→))2＝|eq \(PN,\s\up7(―→))|2－4，因为a－c≤|eq \(PN,\s\up7(―→))|≤a＋c，即3≤|eq \(PN,\s\up7(―→))|≤5，所以eq \(PE,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))的取值范围是[5,21]．
[答案] (1)C (2)C
【题型精练】
1. (2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
2. (2023·江西·高三开学考试）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
3.(2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
答案：
【解析】设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，
由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
4.(2023·广西柳州·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
答案：1
【解析】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故答案为：1
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2