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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.2逻辑用语与充分、必要条件(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.2逻辑用语与充分、必要条件(精讲)(原卷版+解析)，共22页。
【知识储备】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
【题型精讲】
【题型一 充分、必要条件的判定】
必备技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
例1 （2023·浙江）已知非零向量 a,b,c ，则“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
例2 (2023·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例3 (2023·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型精练】
1. (2023·天津河东·一模）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023•福州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4. (2023·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型二 根据充分、必要条件求参数范围】
必备技巧 根据充分、必要条件求参数范围
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
例4 (2023·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．1
例5 （山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，设.
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
【题型三 全称命题与特称命题的真假】
必备技巧 全称命题与特称命题的真假
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立
例7 (2023·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．B．
C．D．
例8 【多选】(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要条件.
例9 (2023·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
2. (2023·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是B．
C．函数是奇函数.D．的充要条件是
3. （2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
【题型四 含有量词的命题的否定】
必备技巧 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
例10 （山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
例11 （重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，C．，D．，
例12 (2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型精练】
1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，；
B．，是的充要条件；
C．是的充分非必要条件；
D．是命题：，恒成立的充分非必要条件
2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
3. (2023·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【题型五 根据命题的真假求参】
必备技巧 根据命题的真假求参
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14 （河南省信阳市罗山县2023-2024学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
例15 （2023·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.
【题型精练】
1．(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
2. (2023·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
1.2 逻辑用语与充分、必要条件
【题型解读】
【知识储备】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
【题型精讲】
【题型一 充分、必要条件的判定】
必备技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
例1 （2023·浙江）已知非零向量 a,b,c ，则“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B.
【解析】若a⇀⊥b⇀且,c⇀⊥b⇀,则a⇀·c⇀=b⇀·c⇀=0,但a→= b→不一定成立, 故充分性不成立;若a=b时,a⇀·c⇀=b⇀·c⇀一定成立,故必要性成立, 故“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的必要不充分条件故答案为：B.
例2 (2023·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
例3 (2023·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】“直线与直线平行”
因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．
【题型精练】
1. (2023·天津河东·一模）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】当且时，不成立，因为时，无意义，所以充分性不成立.
当时，有可能得到且，所以不是必要条件.
因此“且”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2．(2023•福州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解答】解：，，，
①若“ “，则，即，所以具有充分性；
②若，则，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；
故选：．
3．(2023·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4. (2023·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【题型二 根据充分、必要条件求参数范围】
必备技巧 根据充分、必要条件求参数范围
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
例4 (2023·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．1
答案：D
【解析】由，得或，
因为”的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，
所以实数a的最大值为1，
故选：D
例5 （山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，，等价于，
又，当且仅当时等号成立，
即，故．
故选：A．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，设.
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，
因为p是q的充要条件，所以，
∴；
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以且，
∴，即；
(3)因为p是q的必要不充分条件，所以且，
∴.
【题型精练】
1．(2023·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
2. (2023·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，
∴，∴,即,∴∴；
当时，，
即为奇函数的充分必要条件是或，
是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；
故选：C.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
答案：
【解析】由题意得，，
由是成立的一个充分而不必要条件，得，
即解得，，
故答案为：.
【题型三 全称命题与特称命题的真假】
必备技巧 全称命题与特称命题的真假
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立
例7 (2023·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对A：取，则成立，故选项A正确；
对B：当时，没有意义，故选项B错误；
对C：取，则成了，故选项C正确；
对D：由指数函数的性质有成立，故选项D正确.
故选：B.
例8 【多选】(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要条件.
答案：ABC
【解析】.，所以该命题是假命题；
.当时，所以该命题是假命题；
.当时，左边，右边，所以该命题是假命题；
.时，时，所以是的充要条件，所以该命题是真命题.
故选：ABC
例9 (2023·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【解析】当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.
故选：B
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
答案：（2）（3）
【解析】对于（1），，使，只需，故（1）错误；
对于（2），，恒成立，即恒成立，
应需，故（2）正确；
对于（3），，，成立，
即需，故（3）正确；
对于（4），，，，，
应需，故（4）错误．
综上，正确的命题是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
2. (2023·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是B．
C．函数是奇函数.D．的充要条件是
答案：C
【解析】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；
当时，故选项B是假命题；
函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；
由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题
故选：C
3. （2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
答案：B
【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
【题型四 含有量词的命题的否定】
必备技巧 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
例10 （山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
答案：D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；
故选：D
例11 （重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：A
【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题否定为“，”.故选：A
例12 (2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】
由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
【题型精练】
1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，；
B．，是的充要条件；
C．是的充分非必要条件；
D．是命题：，恒成立的充分非必要条件
答案：AC
【解析】对A，，的否定是，，A正确；
对B，或，
故，是的充分不必要条件，故B错；
对C，或，所以是的充分非必要条件，故C正确；
对D，，恒成立的条件为
所以是命题：，恒成立的必要不充分条件
故选：AC
2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
答案：C
【解析】A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
3. (2023·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
答案：D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；故选：D
【题型五 根据命题的真假求参】
必备技巧 根据命题的真假求参
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
例14 （河南省信阳市罗山县2023-2024学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
答案：B
【解析】命题p：，x所以：，，
由是真命题可得，，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故选：B
例15 （2023·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】，，则，由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，所以，
因此实数的取值范围是.故答案为：.
【题型精练】
1．(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
答案：
【解析】当，有，
则，，使得成立，
等价于，，
即，在上恒成立，
参变分离可得：，
当，，当时取等，
所以，
故答案为：.
2. (2023·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可知恒成立，所以，解得，故选：D
3. (2023·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.
答案：
【解析】因为“”为假命题，所以恒成立，
即在恒成立，所以且，
又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
【知识储备】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
【题型精讲】
【题型一 充分、必要条件的判定】
必备技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
例1 （2023·浙江）已知非零向量 a,b,c ，则“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
例2 (2023·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例3 (2023·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型精练】
1. (2023·天津河东·一模）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023•福州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4. (2023·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型二 根据充分、必要条件求参数范围】
必备技巧 根据充分、必要条件求参数范围
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
例4 (2023·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．1
例5 （山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，设.
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
【题型三 全称命题与特称命题的真假】
必备技巧 全称命题与特称命题的真假
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立
例7 (2023·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．B．
C．D．
例8 【多选】(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要条件.
例9 (2023·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
2. (2023·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是B．
C．函数是奇函数.D．的充要条件是
3. （2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
【题型四 含有量词的命题的否定】
必备技巧 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
例10 （山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
例11 （重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，C．，D．，
例12 (2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型精练】
1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，；
B．，是的充要条件；
C．是的充分非必要条件；
D．是命题：，恒成立的充分非必要条件
2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
3. (2023·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【题型五 根据命题的真假求参】
必备技巧 根据命题的真假求参
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14 （河南省信阳市罗山县2023-2024学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
例15 （2023·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.
【题型精练】
1．(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
2. (2023·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
1.2 逻辑用语与充分、必要条件
【题型解读】
【知识储备】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
【题型精讲】
【题型一 充分、必要条件的判定】
必备技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
例1 （2023·浙江）已知非零向量 a,b,c ，则“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B.
【解析】若a⇀⊥b⇀且,c⇀⊥b⇀,则a⇀·c⇀=b⇀·c⇀=0,但a→= b→不一定成立, 故充分性不成立;若a=b时,a⇀·c⇀=b⇀·c⇀一定成立,故必要性成立, 故“ a⋅c=b⋅c ”是“ a=b ”的必要不充分条件故答案为：B.
例2 (2023·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
例3 (2023·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】“直线与直线平行”
因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．
【题型精练】
1. (2023·天津河东·一模）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】当且时，不成立，因为时，无意义，所以充分性不成立.
当时，有可能得到且，所以不是必要条件.
因此“且”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2．(2023•福州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解答】解：，，，
①若“ “，则，即，所以具有充分性；
②若，则，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；
故选：．
3．(2023·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4. (2023·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【题型二 根据充分、必要条件求参数范围】
必备技巧 根据充分、必要条件求参数范围
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
例4 (2023·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．1
答案：D
【解析】由，得或，
因为”的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，
所以实数a的最大值为1，
故选：D
例5 （山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，，等价于，
又，当且仅当时等号成立，
即，故．
故选：A．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，设.
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，
因为p是q的充要条件，所以，
∴；
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以且，
∴，即；
(3)因为p是q的必要不充分条件，所以且，
∴.
【题型精练】
1．(2023·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
2. (2023·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，
∴，∴,即,∴∴；
当时，，
即为奇函数的充分必要条件是或，
是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；
故选：C.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
答案：
【解析】由题意得，，
由是成立的一个充分而不必要条件，得，
即解得，，
故答案为：.
【题型三 全称命题与特称命题的真假】
必备技巧 全称命题与特称命题的真假
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立
例7 (2023·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对A：取，则成立，故选项A正确；
对B：当时，没有意义，故选项B错误；
对C：取，则成了，故选项C正确；
对D：由指数函数的性质有成立，故选项D正确.
故选：B.
例8 【多选】(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要条件.
答案：ABC
【解析】.，所以该命题是假命题；
.当时，所以该命题是假命题；
.当时，左边，右边，所以该命题是假命题；
.时，时，所以是的充要条件，所以该命题是真命题.
故选：ABC
例9 (2023·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【解析】当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.
故选：B
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
答案：（2）（3）
【解析】对于（1），，使，只需，故（1）错误；
对于（2），，恒成立，即恒成立，
应需，故（2）正确；
对于（3），，，成立，
即需，故（3）正确；
对于（4），，，，，
应需，故（4）错误．
综上，正确的命题是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
2. (2023·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是B．
C．函数是奇函数.D．的充要条件是
答案：C
【解析】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；
当时，故选项B是假命题；
函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；
由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题
故选：C
3. （2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
答案：B
【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
【题型四 含有量词的命题的否定】
必备技巧 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
例10 （山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
答案：D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；
故选：D
例11 （重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：A
【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题否定为“，”.故选：A
例12 (2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】
由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
【题型精练】
1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，；
B．，是的充要条件；
C．是的充分非必要条件；
D．是命题：，恒成立的充分非必要条件
答案：AC
【解析】对A，，的否定是，，A正确；
对B，或，
故，是的充分不必要条件，故B错；
对C，或，所以是的充分非必要条件，故C正确；
对D，，恒成立的条件为
所以是命题：，恒成立的必要不充分条件
故选：AC
2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
答案：C
【解析】A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
3. (2023·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
答案：D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；故选：D
【题型五 根据命题的真假求参】
必备技巧 根据命题的真假求参
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
例14 （河南省信阳市罗山县2023-2024学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
答案：B
【解析】命题p：，x所以：，，
由是真命题可得，，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故选：B
例15 （2023·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】，，则，由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，所以，
因此实数的取值范围是.故答案为：.
【题型精练】
1．(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
答案：
【解析】当，有，
则，，使得成立，
等价于，，
即，在上恒成立，
参变分离可得：，
当，，当时取等，
所以，
故答案为：.
2. (2023·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可知恒成立，所以，解得，故选：D
3. (2023·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.
答案：
【解析】因为“”为假命题，所以恒成立，
即在恒成立，所以且，
又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
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2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点02逻辑用语与充分、必要条件(精讲)(原卷版+解析)： 这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点02逻辑用语与充分、必要条件(精讲)(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了充分条件，全称命题和特称命题等内容，欢迎下载使用。
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2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）： 这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了充分、必要条件的判断，充分、必要条件的选择，根据充分、必要条件求参，命题真假的判断，含有一个量词的求参等内容，欢迎下载使用。
