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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲平面向量的正交分解及坐标表示(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲平面向量的正交分解及坐标表示(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了向量的分解，向量的正交分解等内容，欢迎下载使用。
知识点1 平面向量运算的正交分解
1、向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
2、向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
知识点2 平面向量运算的坐标表示
1、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
注：关于平面向量的坐标表示
(1)相等的向量坐标相同；
(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2、向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
注：点的坐标与向量的坐标
(1)区别：
(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；
(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．
考点一 平面向量的坐标表示概念辨析
【例1】下列说法正确的有( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，eq \(OA,\s\up7(―→))，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量a可以表示为a＝mi＋nj；
②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；
③若a＝eq \(OA,\s\up7(―→))，则终点A的坐标就是向量a的坐标．
变式2：已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点二 求向量的坐标
解题方略：
1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
【例2】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
变式1：在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
变式2：在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为( )
A．(2eq \r(3)，2) B．(2，－2eq \r(3)) C．(－2,2eq \r(3)) D．(2eq \r(3)，－2)
变式3：已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝eq \r(2)，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为( )
A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2))
【例3】如图，在平面直角坐标系中，向量（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1)B．(2，1)C．(1，2)D．(－1，－2)
变式2：如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
变式3：已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
变式5：已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
变式6：设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
变式7：已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣5）
【例4】设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A．B．C．D．
变式1：已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例5】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知将向量绕起点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三 求点的坐标
解题方略：
求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【例6】已知eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,3)，则点N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
变式1：已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式2：向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0【例7】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
变式1：已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式2：已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
变式3：已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
变式4:已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0)B．(－3，6)
C．(6，2)D．(－2，0)
变式5:已知，则线段的中点坐标为_______.
变式6:已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式7:【多选】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式8:已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
变式9:质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式10:已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
考点四 求向量的模
解题方略：
求向量的模长：
【例8】已知点，，则（ ）
A．5B．4C．D．2
变式1：若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
变式2：在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
变式3：已知，且，则实数k的值是___________.
练习一 平面向量的坐标表示
1、给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
3、已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
练习二 求向量的坐标
1、在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
2、已知，，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3、已知点，则向量（ ）
A．B．C．D．
4、若、，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5、与向量同向的单位向量是___________.
6、已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．
7、已知两点，则与向量同向的单位向量是________．
8、已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
9、已知，则与向量共线反向的单位向量___________.
10、已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4）B．（7，4）
C．（－1，4）D．（1，4）
11、已知A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)，若，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
12、设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
13、在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
14、如图，（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
15、已知四边形ABCD的顶点分别为A（2，1），，C（3，4），D（6，2），求证：四边形ABCD是平行四边形．
16、已知在平行四边形ABCD中，，，.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD是否为矩形.
17、已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
练习三 求点的坐标
1、【多选】已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
2、已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
3、已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为
4、已知，则线段的中点坐标为___________.
5、已知和两点，点P在线段上，且，若点P是线段的中点，则点B的坐标为___________.
6、已知向量与向量方向相反，若，点A的坐标是，则点的坐标为_______．
7、已知，，向量绕点A顺时针旋转到位置，则点C的坐标为__________．
8、对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是__________________．
9、已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
10、如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
（1）求向量BC；
（2）求顶点A的坐标.
11、设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且．
（1）若C点坐标为，求D点坐标；
（2）原点为O，，求P点坐标．
12、在直角坐标系中，O为原点，，且O､A､B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标.
13、已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
练习四 求向量的模
1、已知A（－2，1），B（2，4）则＝___________．
2、已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
3、已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标.
第6讲 平面向量的正交分解及坐标表示
知识点1 平面向量运算的正交分解
1、向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
2、向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
知识点2 平面向量运算的坐标表示
1、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
注：关于平面向量的坐标表示
(1)相等的向量坐标相同；
(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2、向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
注：点的坐标与向量的坐标
(1)区别：
(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；
(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．
考点一 平面向量的坐标表示概念辨析
【例1】下列说法正确的有( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选C.
变式1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，eq \(OA,\s\up7(―→))，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量a可以表示为a＝mi＋nj；
②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；
③若a＝eq \(OA,\s\up7(―→))，则终点A的坐标就是向量a的坐标．
【解析】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝eq \(OA,\s\up7(―→))时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．
变式2：已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确；
举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；
由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误；
当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误．
故选：A
考点二 求向量的坐标
解题方略：
1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
【例2】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
变式1：在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
【解析】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cs45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
a2＝|a|sin45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
c1＝|c|cs(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
∴a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)．
变式2：在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为( )
A．(2eq \r(3)，2) B．(2，－2eq \r(3)) C．(－2,2eq \r(3)) D．(2eq \r(3)，－2)
【解析】x＝|a|·cs(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－eq \f(1,2))＝－2.
变式3：已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝eq \r(2)，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为( )
A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2))
【解析】由题意，a＝(eq \r(2)cs 45°)i＋(eq \r(2)sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，向量（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，故选：C.
变式1：已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1)B．(2，1)C．(1，2)D．(－1，－2)
【解析】因为A(3，1)，B(2，－1)，所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．
故选：C
变式2：如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知：，∴.故选：A.
变式3：已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由中点坐标公式得，即，所以.故选：A.
变式4：已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
所以与同向的单位向量为.
故选：A
变式5：已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，,
，则，
所以与反方向的单位向量为.
故选：B.
变式6：设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
【解析】因向量与的方向相反，且，则是的相反向量，
所以.
答案：
变式7：已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣5）
【解析】设点，所以，即，解得，
于是得点，因此，，
所以向量.
故选：A
【例4】设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A．B．C．D．
【解析】∵，，∴，
∵向量平移后向量的坐标不变，∴，
故选：B.
变式1：已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】点，，
将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化，
.
故选：C.
【例5】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】向量（5，12），
将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
变式1：已知将向量绕起点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设的起点是坐标原点，与轴正方向的夹角为，
由可得，所有，
设与轴正方向的夹角为，则且
因为，
，
故，
故选：C.
考点三 求点的坐标
解题方略：
求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【例6】已知eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,3)，则点N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
【解析】因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．故选D
变式1：已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意得：
， 位于第四象限
故选：D.
变式2：向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0【解析】由A点在第四象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x>0,x－1<0))，解得0【例7】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
【解析】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
变式1：已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点的坐标为，则，
因为，所以，得，所以点的坐标为，
故选：B
变式2：已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
【解析】设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
变式3：已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
【解析】设，则，，
根据，得，
即，解得：，
所以点的坐标为.
故选：D.
变式4:已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0)B．(－3，6)
C．(6，2)D．(－2，0)
【解析】设N(x，y)，由，可得(x－5，y＋6)＝(－3，6)，∴x＝2，y＝0.
故选：A
变式5:已知，则线段的中点坐标为_______.
【解析】设，则，
所以，解得：，
所以点坐标为，
由中点坐标公式可得：线段的中点坐标为，即，
故答案为：
变式6:已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意点坐标为，点坐标为，
所以中点坐标为．
故选：A．
变式7:【多选】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个项点的坐标为．
∴第四个顶点的坐标为或或．
故选:ABC.
变式8:已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
【解析】因为，
所以，即.
变式9:质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，5秒后P点的坐标为，则，
由题意有.
即
所以解得
故选: C
变式10:已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，，得，
则由题意可得
所以点的坐标为，
故选：C
考点四 求向量的模
解题方略：
求向量的模长：
【例8】已知点，，则（ ）
A．5B．4C．D．2
【解析】因点，，则，所以.
故选：A
变式1：若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
【解析】因为向量的始点为，终点为，所以，所以
故答案为：
变式2：在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
【解析】BC中点为D，，∴
故答案为：
变式3：已知，且，则实数k的值是___________.
【解析】因为，所以，解得.
故答案为：.
练习一 平面向量的坐标表示
1、给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2、平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
【解析】A：仅当点与原点重合时，向量与点的坐标相同，错误；
B：只有当点不与原点重合时，向量与点的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当与原点重合时，的坐标值与的对应坐标值互为相反数，错误.
故选：C．
3、已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
【解析】因为为坐标原点，点的坐标，向量
所以，所以的位置向量为，故C正确，D错误
其中点的位置定不了，可以移动，故A，B错误
故选：C
练习二 求向量的坐标
1、在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
【解析】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示．故答案为：．
2、已知，，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，的坐标为的坐标减去的坐标，
=-=，的坐标为.
故选：D.
3、已知点，则向量（ ）
A．B．C．D．
【解析】，，故选：A
4、若、，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】、，
，，，，，
故选：B．
5、与向量同向的单位向量是___________.
【解析】因为为基本单位向量，所以，所以，
所以与向量同向的单位向量是.
故答案为：.
6、已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为两点, 所以，
所以＝＝，所以与向量同向的单位向量为，
故选：A.
7、已知两点，则与向量同向的单位向量是________．
【解析】因为
所以，所以
与向量同向的单位向量是．
故答案为：．
8、已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
【解析】，∴与方向相同的单位向量为.
故答案为：
9、已知，则与向量共线反向的单位向量___________.
【解析】由，得，
所以与向量共线反向的单位向量，
故答案为：
10、已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4）B．（7，4）
C．（－1，4）D．（1，4）
【解析】设，则
所以，，即.
所以.
故选：A
11、已知A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)，若，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
【解析】因为A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)， ，
所以解得
故答案为：-1,-2.
12、设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
【解析】因为点A（l，2），B（3，2），
所以，
又因为向量与相等，
所以，
解得．
13、在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
【解析】因为，，所以，又因为A(3，2)，所以.
故答案为：.
14、如图，（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
【解析】（1）如图所示，可得，
可得；
（2）由（1）可得，
所以，
则向量的单位向量为.
15、已知四边形ABCD的顶点分别为A（2，1），，C（3，4），D（6，2），求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】证明：由题意得，，，因此，故与平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
16、已知在平行四边形ABCD中，，，.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD是否为矩形.
【解析】（1）设顶点的坐标为，
由题意可得，则，，，
，解得，
点的坐标是；
（2），，、，
所以
所以，所以,
所以平行四边形ABCD是矩形.
17、已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
【解析】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点，
所以，，，．
练习三 求点的坐标
1、【多选】已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
【解析】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
2、已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
【解析】设点坐标为，点的坐标是，
，
即，，
解得：，，
故点的坐标.
故答案为：.
3、已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为
【解析】由题意，得：，
∴,,,．
故答案为：．
4、已知，则线段的中点坐标为___________.
【解析】设
因为，
所以，即，
所以，所以，
∵，则线段的中点坐标为，
故答案为：．
5、已知和两点，点P在线段上，且，若点P是线段的中点，则点B的坐标为___________.
【解析】设，则，
因为，所以，
有，解得，即，
设，由中点坐标公式得，
即点B的坐标为.
故答案为：
6、已知向量与向量方向相反，若，点A的坐标是，则点的坐标为_______．
【解析】与方向相反，
设，，且，
，解得，
，设，且，
，
，解得，
．
故答案为：．
7、已知，，向量绕点A顺时针旋转到位置，则点C的坐标为__________．
【解析】
设与轴正向夹角为，则，
即，∴
由题意得：
设，则
∴，，即
故答案为：.
8、对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是__________________．
【解析】因为，， 所以，
则，
故．
故答案为：．
9、已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
【解析】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，
，，，．
∴D的坐标为(1，5)﹒
10、如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
（1）求向量BC；
（2）求顶点A的坐标.
【解析】（1）因为点B､C的坐标分别是（-1，3）、（3，4），所以；
（2）设顶点A的坐标为，因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），
所以，即，所以，解得，
所以顶点A的坐标为.
11、设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且．
（1）若C点坐标为，求D点坐标；
（2）原点为O，，求P点坐标．
【解析】（1）由题设，，若，则，
∴，即，可得，
∴.
（2）若，则，又，
∴，即，
∴
12、在直角坐标系中，O为原点，，且O､A､B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标.
【解析】设第四个顶点 ，若为平行四边形，
则，即，
即，解得，此时.
若为平行四边形，
则，即，
即，解得，此时.
若为平行四边形，
则，即，此时.
故第四个顶点坐标为、、.
13、已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
【解析】（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得，．
（2）．
（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以．
设，则，
因为，
所以解得
即点的坐标为．
练习四 求向量的模
1、已知A（－2，1），B（2，4）则＝___________．
【解析】由题，故答案为：5
2、已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
【解析】（1）所求向量的模就是线段AB的长度．
∵AB＝＝5，
∴＝5，＝5，故．
（2）∵，
∴A，C重合，
∴x＝－4，y＝0．
3、已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标.
【解析】因为，所以，
若点A在x轴上，设，
则，
所以，；
若点A在y轴上，设，
则，
所以，；
综上，点A的坐标为或.
知识点1 平面向量运算的正交分解
1、向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
2、向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
知识点2 平面向量运算的坐标表示
1、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
注：关于平面向量的坐标表示
(1)相等的向量坐标相同；
(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2、向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
注：点的坐标与向量的坐标
(1)区别：
(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；
(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．
考点一 平面向量的坐标表示概念辨析
【例1】下列说法正确的有( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，eq \(OA,\s\up7(―→))，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量a可以表示为a＝mi＋nj；
②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；
③若a＝eq \(OA,\s\up7(―→))，则终点A的坐标就是向量a的坐标．
变式2：已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点二 求向量的坐标
解题方略：
1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
【例2】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
变式1：在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
变式2：在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为( )
A．(2eq \r(3)，2) B．(2，－2eq \r(3)) C．(－2,2eq \r(3)) D．(2eq \r(3)，－2)
变式3：已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝eq \r(2)，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为( )
A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2))
【例3】如图，在平面直角坐标系中，向量（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1)B．(2，1)C．(1，2)D．(－1，－2)
变式2：如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
变式3：已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
变式5：已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
变式6：设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
变式7：已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣5）
【例4】设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A．B．C．D．
变式1：已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例5】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知将向量绕起点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三 求点的坐标
解题方略：
求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【例6】已知eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,3)，则点N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
变式1：已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式2：向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
变式1：已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式2：已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
变式3：已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
变式4:已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0)B．(－3，6)
C．(6，2)D．(－2，0)
变式5:已知，则线段的中点坐标为_______.
变式6:已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式7:【多选】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式8:已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
变式9:质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式10:已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
考点四 求向量的模
解题方略：
求向量的模长：
【例8】已知点，，则（ ）
A．5B．4C．D．2
变式1：若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
变式2：在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
变式3：已知，且，则实数k的值是___________.
练习一 平面向量的坐标表示
1、给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
3、已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
练习二 求向量的坐标
1、在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
2、已知，，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3、已知点，则向量（ ）
A．B．C．D．
4、若、，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5、与向量同向的单位向量是___________.
6、已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．
7、已知两点，则与向量同向的单位向量是________．
8、已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
9、已知，则与向量共线反向的单位向量___________.
10、已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4）B．（7，4）
C．（－1，4）D．（1，4）
11、已知A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)，若，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
12、设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
13、在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
14、如图，（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
15、已知四边形ABCD的顶点分别为A（2，1），，C（3，4），D（6，2），求证：四边形ABCD是平行四边形．
16、已知在平行四边形ABCD中，，，.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD是否为矩形.
17、已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
练习三 求点的坐标
1、【多选】已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
2、已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
3、已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为
4、已知，则线段的中点坐标为___________.
5、已知和两点，点P在线段上，且，若点P是线段的中点，则点B的坐标为___________.
6、已知向量与向量方向相反，若，点A的坐标是，则点的坐标为_______．
7、已知，，向量绕点A顺时针旋转到位置，则点C的坐标为__________．
8、对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是__________________．
9、已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
10、如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
（1）求向量BC；
（2）求顶点A的坐标.
11、设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且．
（1）若C点坐标为，求D点坐标；
（2）原点为O，，求P点坐标．
12、在直角坐标系中，O为原点，，且O､A､B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标.
13、已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
练习四 求向量的模
1、已知A（－2，1），B（2，4）则＝___________．
2、已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
3、已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标.
第6讲 平面向量的正交分解及坐标表示
知识点1 平面向量运算的正交分解
1、向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
2、向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
知识点2 平面向量运算的坐标表示
1、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
注：关于平面向量的坐标表示
(1)相等的向量坐标相同；
(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2、向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
注：点的坐标与向量的坐标
(1)区别：
(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；
(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．
考点一 平面向量的坐标表示概念辨析
【例1】下列说法正确的有( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选C.
变式1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，eq \(OA,\s\up7(―→))，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量a可以表示为a＝mi＋nj；
②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；
③若a＝eq \(OA,\s\up7(―→))，则终点A的坐标就是向量a的坐标．
【解析】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝eq \(OA,\s\up7(―→))时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．
变式2：已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确；
举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；
由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误；
当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误．
故选：A
考点二 求向量的坐标
解题方略：
1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
【例2】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
变式1：在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
【解析】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cs45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
a2＝|a|sin45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
c1＝|c|cs(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
∴a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)．
变式2：在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为( )
A．(2eq \r(3)，2) B．(2，－2eq \r(3)) C．(－2,2eq \r(3)) D．(2eq \r(3)，－2)
【解析】x＝|a|·cs(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－eq \f(1,2))＝－2.
变式3：已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝eq \r(2)，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为( )
A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2))
【解析】由题意，a＝(eq \r(2)cs 45°)i＋(eq \r(2)sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，向量（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，故选：C.
变式1：已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1)B．(2，1)C．(1，2)D．(－1，－2)
【解析】因为A(3，1)，B(2，－1)，所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．
故选：C
变式2：如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知：，∴.故选：A.
变式3：已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由中点坐标公式得，即，所以.故选：A.
变式4：已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
所以与同向的单位向量为.
故选：A
变式5：已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，,
，则，
所以与反方向的单位向量为.
故选：B.
变式6：设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
【解析】因向量与的方向相反，且，则是的相反向量，
所以.
答案：
变式7：已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣5）
【解析】设点，所以，即，解得，
于是得点，因此，，
所以向量.
故选：A
【例4】设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A．B．C．D．
【解析】∵，，∴，
∵向量平移后向量的坐标不变，∴，
故选：B.
变式1：已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】点，，
将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化，
.
故选：C.
【例5】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】向量（5，12），
将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
变式1：已知将向量绕起点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设的起点是坐标原点，与轴正方向的夹角为，
由可得，所有，
设与轴正方向的夹角为，则且
因为，
，
故，
故选：C.
考点三 求点的坐标
解题方略：
求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【例6】已知eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,3)，则点N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
【解析】因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．故选D
变式1：已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意得：
， 位于第四象限
故选：D.
变式2：向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
【解析】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
变式1：已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点的坐标为，则，
因为，所以，得，所以点的坐标为，
故选：B
变式2：已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
【解析】设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
变式3：已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
【解析】设，则，，
根据，得，
即，解得：，
所以点的坐标为.
故选：D.
变式4:已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0)B．(－3，6)
C．(6，2)D．(－2，0)
【解析】设N(x，y)，由，可得(x－5，y＋6)＝(－3，6)，∴x＝2，y＝0.
故选：A
变式5:已知，则线段的中点坐标为_______.
【解析】设，则，
所以，解得：，
所以点坐标为，
由中点坐标公式可得：线段的中点坐标为，即，
故答案为：
变式6:已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意点坐标为，点坐标为，
所以中点坐标为．
故选：A．
变式7:【多选】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个项点的坐标为．
∴第四个顶点的坐标为或或．
故选:ABC.
变式8:已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
【解析】因为，
所以，即.
变式9:质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，5秒后P点的坐标为，则，
由题意有.
即
所以解得
故选: C
变式10:已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，，得，
则由题意可得
所以点的坐标为，
故选：C
考点四 求向量的模
解题方略：
求向量的模长：
【例8】已知点，，则（ ）
A．5B．4C．D．2
【解析】因点，，则，所以.
故选：A
变式1：若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
【解析】因为向量的始点为，终点为，所以，所以
故答案为：
变式2：在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
【解析】BC中点为D，，∴
故答案为：
变式3：已知，且，则实数k的值是___________.
【解析】因为，所以，解得.
故答案为：.
练习一 平面向量的坐标表示
1、给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2、平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
【解析】A：仅当点与原点重合时，向量与点的坐标相同，错误；
B：只有当点不与原点重合时，向量与点的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当与原点重合时，的坐标值与的对应坐标值互为相反数，错误.
故选：C．
3、已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
【解析】因为为坐标原点，点的坐标，向量
所以，所以的位置向量为，故C正确，D错误
其中点的位置定不了，可以移动，故A，B错误
故选：C
练习二 求向量的坐标
1、在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
【解析】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示．故答案为：．
2、已知，，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，的坐标为的坐标减去的坐标，
=-=，的坐标为.
故选：D.
3、已知点，则向量（ ）
A．B．C．D．
【解析】，，故选：A
4、若、，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】、，
，，，，，
故选：B．
5、与向量同向的单位向量是___________.
【解析】因为为基本单位向量，所以，所以，
所以与向量同向的单位向量是.
故答案为：.
6、已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为两点, 所以，
所以＝＝，所以与向量同向的单位向量为，
故选：A.
7、已知两点，则与向量同向的单位向量是________．
【解析】因为
所以，所以
与向量同向的单位向量是．
故答案为：．
8、已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
【解析】，∴与方向相同的单位向量为.
故答案为：
9、已知，则与向量共线反向的单位向量___________.
【解析】由，得，
所以与向量共线反向的单位向量，
故答案为：
10、已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4）B．（7，4）
C．（－1，4）D．（1，4）
【解析】设，则
所以，，即.
所以.
故选：A
11、已知A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)，若，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
【解析】因为A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)， ，
所以解得
故答案为：-1,-2.
12、设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
【解析】因为点A（l，2），B（3，2），
所以，
又因为向量与相等，
所以，
解得．
13、在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
【解析】因为，，所以，又因为A(3，2)，所以.
故答案为：.
14、如图，（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
【解析】（1）如图所示，可得，
可得；
（2）由（1）可得，
所以，
则向量的单位向量为.
15、已知四边形ABCD的顶点分别为A（2，1），，C（3，4），D（6，2），求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】证明：由题意得，，，因此，故与平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
16、已知在平行四边形ABCD中，，，.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD是否为矩形.
【解析】（1）设顶点的坐标为，
由题意可得，则，，，
，解得，
点的坐标是；
（2），，、，
所以
所以，所以,
所以平行四边形ABCD是矩形.
17、已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
【解析】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点，
所以，，，．
练习三 求点的坐标
1、【多选】已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
【解析】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
2、已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
【解析】设点坐标为，点的坐标是，
，
即，，
解得：，，
故点的坐标.
故答案为：.
3、已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为
【解析】由题意，得：，
∴,,,．
故答案为：．
4、已知，则线段的中点坐标为___________.
【解析】设
因为，
所以，即，
所以，所以，
∵，则线段的中点坐标为，
故答案为：．
5、已知和两点，点P在线段上，且，若点P是线段的中点，则点B的坐标为___________.
【解析】设，则，
因为，所以，
有，解得，即，
设，由中点坐标公式得，
即点B的坐标为.
故答案为：
6、已知向量与向量方向相反，若，点A的坐标是，则点的坐标为_______．
【解析】与方向相反，
设，，且，
，解得，
，设，且，
，
，解得，
．
故答案为：．
7、已知，，向量绕点A顺时针旋转到位置，则点C的坐标为__________．
【解析】
设与轴正向夹角为，则，
即，∴
由题意得：
设，则
∴，，即
故答案为：.
8、对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是__________________．
【解析】因为，， 所以，
则，
故．
故答案为：．
9、已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
【解析】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，
，，，．
∴D的坐标为(1，5)﹒
10、如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
（1）求向量BC；
（2）求顶点A的坐标.
【解析】（1）因为点B､C的坐标分别是（-1，3）、（3，4），所以；
（2）设顶点A的坐标为，因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），
所以，即，所以，解得，
所以顶点A的坐标为.
11、设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且．
（1）若C点坐标为，求D点坐标；
（2）原点为O，，求P点坐标．
【解析】（1）由题设，，若，则，
∴，即，可得，
∴.
（2）若，则，又，
∴，即，
∴
12、在直角坐标系中，O为原点，，且O､A､B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标.
【解析】设第四个顶点 ，若为平行四边形，
则，即，
即，解得，此时.
若为平行四边形，
则，即，
即，解得，此时.
若为平行四边形，
则，即，此时.
故第四个顶点坐标为、、.
13、已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
【解析】（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得，．
（2）．
（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以．
设，则，
因为，
所以解得
即点的坐标为．
练习四 求向量的模
1、已知A（－2，1），B（2，4）则＝___________．
【解析】由题，故答案为：5
2、已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
【解析】（1）所求向量的模就是线段AB的长度．
∵AB＝＝5，
∴＝5，＝5，故．
（2）∵，
∴A，C重合，
∴x＝－4，y＝0．
3、已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标.
【解析】因为，所以，
若点A在x轴上，设，
则，
所以，；
若点A在y轴上，设，
则，
所以，；
综上，点A的坐标为或.
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