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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲频率与概率(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲频率与概率(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了概率的统计定义，频率与概率的关系等内容，欢迎下载使用。
知识点1 频率与概率
1．概率的统计定义
(1)对频率随机性的理解
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)对频率稳定性的理解
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n)，且0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq \f(nA,n).
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
知识点2 随机模拟
1、随机模拟产生的原因
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．
2、随机模拟的方法
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
考点一 概率的定义
解题方略：
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【例1】解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
变式1：下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
变式2：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能人表教练的观点的为________(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
变式3：已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
变式4：“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
考点二 利用频率估计概率
解题方略：
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【例2】在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
变式1：数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
变式2：鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
变式3：在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)C．P(A)>eq \f(m,n) D．P(A)＝eq \f(m,n)
【例3】在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
变式1：一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
变式2：某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
变式3：容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
变式4：下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
变式5：某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
变式6：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
①求各组的频率；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
变式7：国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
考点三 游戏的公平性
【例4】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
变式1：某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
考点四 利用随机模拟实验求概率
解题方略：
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
【例5】从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率.
变式1：一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
变式2：某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
练习一 概率的定义
1、下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
2、“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)
练习二 利用频率估计概率
1、某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
2、某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
3、在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
4、某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2023年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
5、随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
6、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
7、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
练习三 游戏的公平性
1、若转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
2、下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
练习四 利用随机模拟实验求概率
1、袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
2、已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661
9597 7424 7610 4001
据此估计， 4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,20) C．eq \f(1,4) D．eq \f(4,5)
3、已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85B．0.819 2
C．0.8D．0.75
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上
的次数m
“正面朝上”出
现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
分组
[0，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1 100)
121
[1 100,1 300)
208
[1 300,1 500)
223
[1 500,1 700)
193
[1 700,1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
第6讲 频率与概率
知识点1 频率与概率
1．概率的统计定义
(1)对频率随机性的理解
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)对频率稳定性的理解
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n)，且0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq \f(nA,n).
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
知识点2 随机模拟
1、随机模拟产生的原因
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．
2、随机模拟的方法
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
考点一 概率的定义
解题方略：
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【例1】解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
【解析】(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
变式1：下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【解析】一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
变式2：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能人表教练的观点的为________(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
【解析】能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
答案：②
变式3：已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
【解析】治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．故选C.
变式4：“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
【解析】因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
考点二 利用频率估计概率
解题方略：
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【例2】在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
【解析】正面朝下的频率为1－0.49＝0.51，次数为0.51×100＝51次．故选D.
变式1：数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为eq \f(30,270)＝eq \f(1,9)，所以2 018石米中夹谷约为2 018×eq \f(1,9)≈224(石)．故选B.
变式2：鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
【解析】由eq \f(n,N)≈eq \f(m,M)得N＝eq \f(nM,m).
答案：eq \f(nM,m)
变式3：在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)C．P(A)>eq \f(m,n) D．P(A)＝eq \f(m,n)
【解析】对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈eq \f(m,n).故选A.
【例3】在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
【解析】设四个选项对应的事件分别为A，B，C，D.概率分别是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,100)，P(D)＝eq \f(4,5).故选D.
变式1：一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
【解析】P＝eq \f(600,20 000)＝0.03.
答案：0.03
变式2：某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
【解析】由题意得肇事车是甲公司的概率为eq \f(100,3 000＋100)＝eq \f(1,31)，是乙公司的概率为eq \f(3 000,3 000＋100)＝eq \f(30,31)，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．故选B.
变式3：容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
【解析】数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4.
答案：64 0.4
变式4：下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
【解析】由fn(A)＝eq \f(m,n)可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
变式5：某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解析】(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
变式6：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
①求各组的频率；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解析】①频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
变式7：国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
【解析】(1)如表所示：
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
考点三 游戏的公平性
【例4】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝eq \f(1,2)；B项，P(恰有一枚正面向上)＝eq \f(1,2)，P(两枚都正面向上)＝eq \f(1,4)；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝eq \f(1,2)；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝eq \f(1,2).故选B.
变式1：某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
【解析】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
考点四 利用随机模拟实验求概率
解题方略：
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
【例5】从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率.
【解析】根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此,可以构建如下有放回摸球试验进行模拟:在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球,这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生月份,这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同,表示事件发生了.重复以上模拟试验20次,就可以统计出事件发生的频率.
变式1：一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 622
就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，
第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，
第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此
恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.
变式2：某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
【解析】由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝eq \f(2,10)＝0.2.故选A
练习一 概率的定义
1、下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【解析】一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D
2、“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)
【解析】某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．故选D.
练习二 利用频率估计概率
1、某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
【解析】由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq \f(12,30)＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案：0.4
2、某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，
由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
3、在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
【解析】①记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
②记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝eq \f(50,250)＝eq \f(1,5)＝0.2.
③记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
4、某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2023年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
【解析】经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数．所以恰好第三次就停止的概率为eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).
答案：eq \f(2,9)
5、随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为eq \f(13,15).
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq \f(7,8).以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为eq \f(7,8).
6、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【解析】(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1 000)＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1 000)＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1 000)＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
7、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
练习三 游戏的公平性
1、若转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解析】(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq \f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
2、下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq \f(1,3)，游戏是不公平的．故选D.
练习四 利用随机模拟实验求概率
1、袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，恰好抽取三次就停止的概率约为，故选C.
2、已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661
9597 7424 7610 4001
据此估计， 4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,20) C．eq \f(1,4) D．eq \f(4,5)
【解析】∵4件产品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－eq \f(4,20)＝eq \f(4,5).
3、已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85B．0.819 2
C．0.8D．0.75
【解析】该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为eq \f(15,20)＝0.75.故选D
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上
的次数m
“正面朝上”出
现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
分组
[0，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1 100)
121
[1 100,1 300)
208
[1 300,1 500)
223
[1 500,1 700)
193
[1 700,1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
知识点1 频率与概率
1．概率的统计定义
(1)对频率随机性的理解
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)对频率稳定性的理解
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n)，且0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq \f(nA,n).
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
知识点2 随机模拟
1、随机模拟产生的原因
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．
2、随机模拟的方法
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
考点一 概率的定义
解题方略：
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【例1】解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
变式1：下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
变式2：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能人表教练的观点的为________(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
变式3：已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
变式4：“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
考点二 利用频率估计概率
解题方略：
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【例2】在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
变式1：数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
变式2：鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
变式3：在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)
【例3】在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
变式1：一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
变式2：某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
变式3：容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
变式4：下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
变式5：某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
变式6：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
①求各组的频率；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
变式7：国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
考点三 游戏的公平性
【例4】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
变式1：某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
考点四 利用随机模拟实验求概率
解题方略：
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
【例5】从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率.
变式1：一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
变式2：某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
练习一 概率的定义
1、下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
2、“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)
练习二 利用频率估计概率
1、某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
2、某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
3、在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
4、某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2023年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
5、随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
6、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
7、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
练习三 游戏的公平性
1、若转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
2、下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
练习四 利用随机模拟实验求概率
1、袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
2、已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661
9597 7424 7610 4001
据此估计， 4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,20) C．eq \f(1,4) D．eq \f(4,5)
3、已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85B．0.819 2
C．0.8D．0.75
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上
的次数m
“正面朝上”出
现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
分组
[0，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1 100)
121
[1 100,1 300)
208
[1 300,1 500)
223
[1 500,1 700)
193
[1 700,1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
第6讲 频率与概率
知识点1 频率与概率
1．概率的统计定义
(1)对频率随机性的理解
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)对频率稳定性的理解
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n)，且0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq \f(nA,n).
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
知识点2 随机模拟
1、随机模拟产生的原因
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．
2、随机模拟的方法
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
考点一 概率的定义
解题方略：
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【例1】解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
【解析】(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
变式1：下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【解析】一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
变式2：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能人表教练的观点的为________(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
【解析】能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
答案：②
变式3：已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
【解析】治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．故选C.
变式4：“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
【解析】因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
考点二 利用频率估计概率
解题方略：
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【例2】在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
【解析】正面朝下的频率为1－0.49＝0.51，次数为0.51×100＝51次．故选D.
变式1：数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为eq \f(30,270)＝eq \f(1,9)，所以2 018石米中夹谷约为2 018×eq \f(1,9)≈224(石)．故选B.
变式2：鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
【解析】由eq \f(n,N)≈eq \f(m,M)得N＝eq \f(nM,m).
答案：eq \f(nM,m)
变式3：在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)
【解析】对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈eq \f(m,n).故选A.
【例3】在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
【解析】设四个选项对应的事件分别为A，B，C，D.概率分别是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,100)，P(D)＝eq \f(4,5).故选D.
变式1：一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
【解析】P＝eq \f(600,20 000)＝0.03.
答案：0.03
变式2：某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
【解析】由题意得肇事车是甲公司的概率为eq \f(100,3 000＋100)＝eq \f(1,31)，是乙公司的概率为eq \f(3 000,3 000＋100)＝eq \f(30,31)，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．故选B.
变式3：容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
【解析】数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4.
答案：64 0.4
变式4：下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
【解析】由fn(A)＝eq \f(m,n)可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
变式5：某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解析】(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
变式6：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
①求各组的频率；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解析】①频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
变式7：国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
【解析】(1)如表所示：
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
考点三 游戏的公平性
【例4】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝eq \f(1,2)；B项，P(恰有一枚正面向上)＝eq \f(1,2)，P(两枚都正面向上)＝eq \f(1,4)；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝eq \f(1,2)；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝eq \f(1,2).故选B.
变式1：某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
【解析】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
考点四 利用随机模拟实验求概率
解题方略：
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
【例5】从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率.
【解析】根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此,可以构建如下有放回摸球试验进行模拟:在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球,这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生月份,这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同,表示事件发生了.重复以上模拟试验20次,就可以统计出事件发生的频率.
变式1：一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 622
就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，
第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，
第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此
恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.
变式2：某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
【解析】由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝eq \f(2,10)＝0.2.故选A
练习一 概率的定义
1、下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【解析】一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D
2、“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)
【解析】某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．故选D.
练习二 利用频率估计概率
1、某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
【解析】由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq \f(12,30)＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案：0.4
2、某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，
由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
3、在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
【解析】①记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
②记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝eq \f(50,250)＝eq \f(1,5)＝0.2.
③记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
4、某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2023年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
【解析】经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数．所以恰好第三次就停止的概率为eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).
答案：eq \f(2,9)
5、随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为eq \f(13,15).
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq \f(7,8).以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为eq \f(7,8).
6、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【解析】(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1 000)＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1 000)＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1 000)＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
7、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
练习三 游戏的公平性
1、若转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解析】(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq \f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
2、下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq \f(1,3)，游戏是不公平的．故选D.
练习四 利用随机模拟实验求概率
1、袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，恰好抽取三次就停止的概率约为，故选C.
2、已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661
9597 7424 7610 4001
据此估计， 4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,20) C．eq \f(1,4) D．eq \f(4,5)
【解析】∵4件产品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－eq \f(4,20)＝eq \f(4,5).
3、已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85B．0.819 2
C．0.8D．0.75
【解析】该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为eq \f(15,20)＝0.75.故选D
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上
的次数m
“正面朝上”出
现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
分组
[0，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1 100)
121
[1 100,1 300)
208
[1 300,1 500)
223
[1 500,1 700)
193
[1 700,1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
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