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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.4 数列求通项（6类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.4 数列求通项（6类必考点），文件包含专题44数列求通项6类必考点原卷版docx、专题44数列求通项6类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
专题4.4 数列求通项 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc120216511" 【考点1：观察法求数列的通项】 PAGEREF _Toc120216511 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc120216512" 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 PAGEREF _Toc120216512 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc120216513" 【考点3：累加法求通项】 PAGEREF _Toc120216513 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc120216514" 【考点4：累乘法求通项】 PAGEREF _Toc120216514 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc120216515" 【考点5：待定系数法求通项】 PAGEREF _Toc120216515 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc120216516" 【考点6：倒数构造法求通项】 PAGEREF _Toc120216516 \h 7【考点1：观察法求数列的通项】【知识点：观察法求数列的通项】给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[提醒] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验． 1．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（ ）A． B． C． D．3．（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，，，，…的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．4．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）A． B． C． D．5．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（ ）A． B．C． D．6．（多选）（2023上·高二课时练习）已知数列的前4项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（ ）A． B．C． D．E．7．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．(1)(2)(3)0，，，，…；(4)1，11，111，1 111，….8．（2023上·高二课时练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【考点2：利用an与Sn的关系求通项】【知识点：利用an与Sn的关系求通项】数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[方法技巧]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 1．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．2．（2023上·江苏泰州·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．3．（多选）（2023上·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）A．是递增数列 B．C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为104．（多选）（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知是数列的前项和，，则（ ）A．是等比数列 B．C． D．5．（2023上·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知数列前项和为．(1)试写出数列的前项；(2)求的通项公式．【考点3：累加法求通项】【知识点：累加法求通项】形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n.1．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .2．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .3．（2023上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，且，若，则正整数为 .4．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ．5．（多选）（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则（ ）A． B．数列的前项和为C．数列的前项和为 D．数列的第项为6．（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【考点4：累乘法求通项】【知识点：累乘法求通项】形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝2n.1．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知 a1=2,an+1=n+1nan， 则a2022= （ ）A．506 B．1011 C．2022 D．40442．（2022·江苏南通·高三期中）已知数列an满足an+1=−1nan，且a1=1，则a18+a19=（ ）A．−2 B．0 C．1 D．23．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）若数列an满足a1=1,an+1an=n+1n，则a20=_____．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足：a1=12，an+1=n+12nan，求数列an的通项公式.5．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列an中，a1=1，an=nn−1an−1n≥2.(1)求数列an的通项公式；(2)求a1+a3+a5+⋯+a2n+3.【考点5：待定系数法求通项】【知识点：待定系数法求通项】形如：an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法，例如：a1＝1，an＋1＝2an＋1.1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列an中，a1=4,an+1=4an-6，则an等于（ ）A．22n+1+2 B．22n+1-2C．22n-1+2 D．22n-1-22．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=3an+2(n∈N∗)，则{an}的前n项和Sn=_____．3．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1，a1=6，则数列{an}的通项公式为___________.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=2an+3n，求数列an的通项公式.5．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列an满足a1=3,an+1=2an+1，(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn．6．（2022·全国·高三专题练习）数列an满足a1=1,an=12an−1+1n≥2.(1)若bn=an−2，求证：bn为等比数列；(2)求an的通项公式．【考点6：倒数构造法求通项】【知识点：倒数构造法求通项】形如：an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C) (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法，例如 a1＝1，an＋1＝eq \f(3an,2an＋3).1．（2021·河南·安阳37中高一期末）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=12，an+1=2anan+1，n∈N∗，若S2019∈k,k+1，则正整数k的值为（ ）A．2016 B．2017 C．2018 D．20192．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=32，an+1=3an6+an，则下列结论中错误的有（ ）A．1an+13为等比数列 B．an的通项公式为13⋅2n-1-1C．an为递增数列 D．1an的前n项和为2n-n3-13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1=12，且an+1=an3an+1，则数列{an}的通项公式为an=______．4．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知数列an的首项a1=25，且满足an+1=2an2an+1.(1)求证：数列1an−2为等比数列：(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<101，求满足条件的最大整数n.
专题4.4 数列求通项 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc120216511" 【考点1：观察法求数列的通项】 PAGEREF _Toc120216511 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc120216512" 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 PAGEREF _Toc120216512 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc120216513" 【考点3：累加法求通项】 PAGEREF _Toc120216513 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc120216514" 【考点4：累乘法求通项】 PAGEREF _Toc120216514 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc120216515" 【考点5：待定系数法求通项】 PAGEREF _Toc120216515 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc120216516" 【考点6：倒数构造法求通项】 PAGEREF _Toc120216516 \h 7【考点1：观察法求数列的通项】【知识点：观察法求数列的通项】给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[提醒] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验． 1．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（ ）A． B． C． D．3．（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，，，，…的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．4．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）A． B． C． D．5．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（ ）A． B．C． D．6．（多选）（2023上·高二课时练习）已知数列的前4项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（ ）A． B．C． D．E．7．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．(1)(2)(3)0，，，，…；(4)1，11，111，1 111，….8．（2023上·高二课时练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【考点2：利用an与Sn的关系求通项】【知识点：利用an与Sn的关系求通项】数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[方法技巧]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 1．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．2．（2023上·江苏泰州·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．3．（多选）（2023上·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）A．是递增数列 B．C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为104．（多选）（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知是数列的前项和，，则（ ）A．是等比数列 B．C． D．5．（2023上·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知数列前项和为．(1)试写出数列的前项；(2)求的通项公式．【考点3：累加法求通项】【知识点：累加法求通项】形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n.1．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .2．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .3．（2023上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，且，若，则正整数为 .4．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ．5．（多选）（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则（ ）A． B．数列的前项和为C．数列的前项和为 D．数列的第项为6．（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【考点4：累乘法求通项】【知识点：累乘法求通项】形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝2n.1．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知 a1=2,an+1=n+1nan， 则a2022= （ ）A．506 B．1011 C．2022 D．40442．（2022·江苏南通·高三期中）已知数列an满足an+1=−1nan，且a1=1，则a18+a19=（ ）A．−2 B．0 C．1 D．23．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）若数列an满足a1=1,an+1an=n+1n，则a20=_____．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足：a1=12，an+1=n+12nan，求数列an的通项公式.5．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列an中，a1=1，an=nn−1an−1n≥2.(1)求数列an的通项公式；(2)求a1+a3+a5+⋯+a2n+3.【考点5：待定系数法求通项】【知识点：待定系数法求通项】形如：an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法，例如：a1＝1，an＋1＝2an＋1.1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列an中，a1=4,an+1=4an-6，则an等于（ ）A．22n+1+2 B．22n+1-2C．22n-1+2 D．22n-1-22．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=3an+2(n∈N∗)，则{an}的前n项和Sn=_____．3．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1，a1=6，则数列{an}的通项公式为___________.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=2an+3n，求数列an的通项公式.5．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列an满足a1=3,an+1=2an+1，(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn．6．（2022·全国·高三专题练习）数列an满足a1=1,an=12an−1+1n≥2.(1)若bn=an−2，求证：bn为等比数列；(2)求an的通项公式．【考点6：倒数构造法求通项】【知识点：倒数构造法求通项】形如：an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C) (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法，例如 a1＝1，an＋1＝eq \f(3an,2an＋3).1．（2021·河南·安阳37中高一期末）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=12，an+1=2anan+1，n∈N∗，若S2019∈k,k+1，则正整数k的值为（ ）A．2016 B．2017 C．2018 D．20192．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=32，an+1=3an6+an，则下列结论中错误的有（ ）A．1an+13为等比数列 B．an的通项公式为13⋅2n-1-1C．an为递增数列 D．1an的前n项和为2n-n3-13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1=12，且an+1=an3an+1，则数列{an}的通项公式为an=______．4．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知数列an的首项a1=25，且满足an+1=2an2an+1.(1)求证：数列1an−2为等比数列：(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<101，求满足条件的最大整数n.
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