【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.2.3 直线的一般式方程（教师版+学生版）

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1．掌握直线的一般式方程.
2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．
【知识梳理】
知识点一 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
知识点二 直线的五种形式的方程
知识点三 直线各种形式方程的互化
知识点四 一般式下直线的平行与垂直
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
则l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
【例题详解】
一、直线的一般式方程
例1 由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是；
(4)经过两点；
(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；
(6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或
【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.
【详解】（1）由点斜式得，即.
（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，
由点斜式得，即.
（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；
所以直线方程的截距式为：，即.
（4）由两点式得，即.
（5）斜率，
由点斜式得，即.
（6）斜率为，
因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，
所以所求直线方程为或，即或.
跟踪训练1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式．
【详解】（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为．
二、直线的一般式方程的应用
例2 设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；
（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）由题意知，当时不符合题意；
当时，令得，
令得，
若在两坐标轴上的截距相等，则，
解得或.
（2）直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
如下图所示：
若不经过第三象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：
（1）先考虑直线过坐标原点的情况；
（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；
（3）两者综合求解出最终结果.
例3 直线的方程中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)与x轴无交点；
(4)与y轴无交点；
(5)与x轴垂直；
(6)与y轴垂直．
【答案】(1)C=0，
(2)，
(3)A=0，
(4)B=0，
(5)B=0，
(6)A=0.
【分析】首先要理解的含义，就是A和B不能同时为0；
（1）直线过原点也是过定点，只要把原点坐标代入即可；
（2）与两个都坐标轴相交，就是既不平行于x轴，也不平行与y轴；
（3）与x轴无交点，就是平行于x轴；
（4）与y轴无交点，就是平行与y轴；
（5）与x轴垂直，就是平行与y轴；
（6）与y轴垂直，就是平行与x轴.
【详解】（1）将（0，0）代入直线方程，得C=0；
（2）与两个都坐标轴相交，就是既不平行于x轴，也不平行与y轴，直线的斜率，也不能不存在，即即；
（3）依题意，与x轴无交点，就是平行于x轴，k=0，即A=0, ；
（4）依题意，k不存在，即B=0, ；
（5）依题意与y轴无交点，就是平行与y轴，k不存在，即B=0；
（6）依题意，与y轴垂直，就是平行与x轴，k=0，即A=0.
跟踪训练2 已知直线.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；
（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）由条件知，且，
在直线l的方程中，令得，令得
∴，解得：，或，
经检验，，均符合要求.
（2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；
当时，直线/的方程为：.
l不通过第四象限，即，解得
综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为
跟踪训练3 已知实数满足，则直线过定点 .
【答案】
【分析】根据题意化简直线方程为，联立方程组，即可求解.
【详解】由实数满足，可得,
代入直线方程，可得，
联立方程组，解得，
所以直线过定点.
故答案为：.
三、一般式下直线的平行与垂直的问题
例4 已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)0或2；(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
跟踪训练4 （多选）下列各直线中，与直线平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用两直线平行的条件即可判断各选项.
【详解】直线，即的斜率为2，在轴的截距为，
对于A，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，A正确；
对于B，直线的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，B正确；
对于C，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，C正确；
对于D，直线的斜率为－2，所以两直线不平行，D错误．
故选：ABC．
跟踪训练5 判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)与垂直；(2)与垂直；(3)与不垂直；(4)与不垂直.
【分析】（1）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（2）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（3）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（4）根据方程可得与平行.
【详解】（1）因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
（2）因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
（3）因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与不垂直，
（4）因为，，
所以与平行，不垂直.
【课堂巩固】
1．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线恒过定点，即与参数k无关，原直线方程整理为，令k的系数为0，解方程即可得解.
【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知，
，解得，所以直线恒过定点
故选：B
2．已知直线与平行，则系数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得．
故选：．
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】的斜率为，故倾斜角为.
故选：B
4．若直线与垂直，则m的值为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直，斜率之积等于-1求解.
【详解】直线：的斜率，
当时，直线：的斜率为，由于两直线垂直，
，解得；
若，，直线的斜率不存在，要保证必有，显然不成立；
；
故选：D.
5．已知直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用斜率与倾斜角的关系判定即可.
【详解】由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．
故选：A．
6．当点到直线的距离取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.
【详解】将直线转化为，
联立方程组，解得，所以直线经过定点，
当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，
此时，解得.
故选：C.
7．直线经过的定点坐标是 ．
【答案】
【分析】将直线方程中的参数进行集中，利用其系数为0，方程恒为0，列出二元一次方程，解得定点坐标.
【详解】把直线的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线总过定点，
故答案为：
8．根据下列条件，求直线的一般方程．
(1)过点，且与直线平行；
(2)与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据两条平行线的关系设出直线方程，然后代入点求解即可；
（2）根据两条线垂直的关系设出直线方程，再求出与坐标轴的交点列出等式解出来即可.
【详解】（1）与直线平行的直线，可设为，
将代入得，解得，
所以直线为：.
（2）与直线垂直的直线可设为，
当时，当时，，
因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4，
所以，解得，
所以直线为：.
9．在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题．
已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点，______．
(1)求直线AC的一般式方程；
(2)求直线BC的一般式方程；
(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．
【分析】先判断出轴，选①：根据斜率的定义数形结合可得AC的倾斜角为60°；选②：直线AC的斜率为可推出得AC的倾斜角为60°，可得直线BC的倾斜角为30°或120°．
（1）根据点斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；
（2）根据点斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；
（3）数形结合可得角A的角平分线所在直线的倾斜角，再根据点斜式求解，进而化简成一般式即可.
【详解】（1）因为，所以轴．
选①：直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示．
因为A（－1，2），AC的倾斜角为60°，所以直线AC的方程为，其一般式方程为．
选②：
直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示：
因为A（－1，2），AC的斜率为，所以直线AC的方程为，
其一般式方程为．
（2）选①：
因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°，所以直线BC的方程为，
其一般式方程为．
选②：
因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°或120°，所以直线BC的方程为或，
其一般式方程为或．
（3）选①：
由（2）可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为，
所以角A的角平分线所在直线的方程为，
其一般式方程为．
选②：
由题意可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为或，
所以角A的角平分线所在直线的方程为或，
其一般式方程为或．
10．已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足：
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由与平行斜率相等，点斜式可求直线方程，再化为一般式方程；
（2）由与垂直，斜率互为负倒数，点斜式可求直线方程，再化为一般式方程.
【详解】（1）方法一：由题意的方程可化为，则的斜率为.
由与平行，的斜率为，又过，由点斜式知方程为，即.
方法二：由与平行，可设方程为，将点代入上式得，所求直线方程为.
（2）方法一：由题意的方程可化为，则的斜率为.
由与垂直，的斜率为，又过，由点斜式可得方程为，即.
方法二:由与垂直，可设其方程为，将代入上式得，所求直线方程为.
11．已知直线．
（1）求证：无论为何值，直线总过第三象限；
（2）取何值时，直线不过第二象限？
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）求出直线总过在第三象限的定点，即可得到结论；
（2）直线不过第二象限，只需求出原点与定点连线的斜率，利用数形结合，根据直线斜率范围列不等式求解即可．
【详解】（1）由直线，
得，
由，得，
所以直线过定点，
因为在第三象限，因此直线总过第三象限．
（2）由直线可得直线的斜率，
若直线不过第二象限，
因为直线过定点，
由图可知， 直线斜率满足：
．解得，
时直线不过第二象限．

【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点；（3）化为的形式，根据 求解.
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线方程为.
(1)求证：直线恒过一个定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A，B两点，表示的面积，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析，；(2)4.
【分析】（1）将原方程整理为关于的方程，即可得到定点；
（2）分别求出坐标，写出关于的表达式，利用二次函数的性质得到面积最小值即可.
【详解】（1）证明：直线整理为,要使直线过恒定点,
则解得，所以点坐标为.
（2）直线方程为：
与轴正半轴、轴正半轴于,两点,
分别令，得到，，
所以，且则或,
则三角形面积为
此时，在或范围内，
所以面积最小值为 4 .
【课时作业】
1．已知直线，直线，且，则的值为（ ）
A．B．C．-2或-1D．
【答案】C
【分析】若两直线，平行，则且或，求解的值.
【详解】因为，所以且，解得：或，且，综上：的值为或.
故选：C
2．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】通过直线经过的点来判断象限.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
3．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.
【详解】直线，即，
令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
4．在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，，，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.
【详解】设，，，
因为，，
所以且，
解得，，，，
即，，，
所以MN所在直线方程为，
即．
故选：A．
5．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据已知表示出直线mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.
【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，
所以，0-3n+3=0，解得.
因为直线的斜率为，
由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.
所以.
故选：D.
6．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】直线过点.
如图，

由题意，直线与线段总有公共点，
即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，即a的取值范围是.
故选：D.
7．已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
【详解】由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
8．过点，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直关系可得斜率，由点斜式即可求解.
【详解】当直线与垂直时，此时原点到直线的距离最大，
,所以所求直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，即，
故选：C
9．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
【答案】或
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；
②直线不过原点，设其方程为，
又由直线经过点，则有，解可得，
此时直线的方程为，
故直线l的方程为或.
故答案为：或.
10．已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】由直线方程分析可得定点A为，进而有，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
∴当时，方程恒成立，故直线恒过定点，
∴，则，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故答案为：
11．已知直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，且直线分别满足下列条件：（结果化成一般式）
（1）若过点，求直线的方程．
（2）若在轴上截距为，求直线的方程．
（3）若在轴上截距为3，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】先由题意，求出直线的斜率；
（1）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果；
（2）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果；
（3）根据直线的斜截式方程，可直接得出结果.
【详解】由直线得其斜率为，则其倾斜角的正切值为，，
又直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，
故所求直线的倾斜角为，其斜率为；
（1）若所求直线过点，由点斜式方程得：，
整理得：；
即所求方程为；
（2）若所求直线在轴截距为，则直线过点，
由点斜式方程得：，
整理得；
即所求方程为；
（3）在轴上截距为3，由斜截式方程得：，
整理得：；
即所求方程为.
12．求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；
【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
13．在平面直角坐标系中，直线，.
（1）求直线经过定点的坐标；
（2）当且时，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【分析】(1)只需将的方程整理成，由题意，直线过定点，即是与参数a无关，因此只需且，从而可求出定点坐标;
(2)由直线与直线平行的充要条件可得且，即可求出a的值.
【详解】（1）∵，
∴，
∴
令且，则，，
∴对任意，直线过定点
（2）当时，直线，即
又知直线，即，，
∴且，
∴.
【点睛】本题主要考查直线恒过定点的问题以及两直线平行的充要条件.属于中档题型.
14．已知直线的方程为，按照下列要求，求直线的方程：
(1)与垂直，且过点；
(2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由两线垂直，设所求直线为，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；
（2）由两线平行，设所求直线为，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）因为，所以直线可设为.
将点代入方程得，
因此所求的直线方程为.
（2）因为，所以直线可设为.
令，得，令，得，
所以三角形的面积，解得.
因此直线的方程为或.
15．已知的顶点坐标分别是，，.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程；
(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得的中点坐标，进而可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（2）由斜率公式可得的斜率，由平行关系可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（3）由条件可得直线的斜率，可得其范围，进而可得倾斜角的范围．
【详解】（1）解：，，，
的中点坐标为，
中线的斜率为，
中线所在直线的方程为：，即；
（2）解：由已知可得AB的斜率为，
与直线平行的直线的斜率也为，
所求直线的方程为，
化为一般式可得；
（3）解：可得直线AD的斜率为，
直线倾斜角的取值范围为.
16．已知直线过点（1，2）.
(1)若直线与平行，求直线的方程；
(2)若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值.
【答案】(1)；(2)4
【分析】（1）由两直线平行可得直线的斜率，利用点斜式即可写出直线的方程；
（2）由题意，直线的斜率存在，设，且，令，求出A、B两点的坐标，然后根据面积公式可求得的面积，最后利用均值不等式即可求得的面积的最小值.
【详解】（1）解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2，
又直线过点（1，2），
所以直线的方程为，即；
（2）解：由题意，直线的斜率存在，设，且，
令，可得，令，可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的面积的最小值为4.
形式
方程
局限
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
x1≠x2，y1≠y2
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
无