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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课后作业题，共17页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2=1的右焦点为F14,0，则正数m的值是（ ）
A．3B．4C．9D．21
2．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、 F2是椭圆C:x216+y23=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1⋅PF2（ ）
A．有最大值，为16B．有最小值，为16
C．有最大值，为4D．有最小值，为4
4．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x2+y24=1C．x216+y24=1D．x24+y216=1
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，则该椭圆的方程是（ ）
A．x27+y22=1B．x22+y27=1C．x29+y24=1D．x24+y29=1
6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1 , 1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．9−2B．3+2C．6−2D．6+2
7．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1=6，则△PF1F2的面积为（ ）
A．8B．82C．16D．162
8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=π3，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（ ）
A．x212+y29=1B．x216+y212=1C．x224+y218=1D．x232+y224=1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A．x28+y24=1B．x23+y25=1
C．x26+y23=1D．x26+y29=1
10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−k+y2k−1=1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“111．（4分）(2023·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+y24=1上的动点，M0,3，下列说法正确的有（ ）
A．MP的最大值为5B．PF1+PF2=43
C．存在点P，使∠F1PF2=120°D．PF1−PF2的最大值为42
12．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得∠F1PF2=π2B．cs∠F1PF2的最小值为−725
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y−32=43，那么点M的轨迹是 ．
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为 ．
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为 .
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点Q22,1，且与椭圆x29+y24=1有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,13，Q0,−12．
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点．
(1)若∠F1PF2=90°，求△PF1F2的面积；
(2)求PF1⋅PF2的最大值．
20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0两个焦点，点P在椭圆上，且△F1PF2的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△F1PF2的面积等于2，求点P的坐标
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知两点F1−2,0、F22,0，曲线C上的动点P满足PF1+PF2=2F1F2．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使MF1⊥MF2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22．（8分）（2023·江西·高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，P是C上的动点，直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4+23.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）M为椭圆上一点，求MF2的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
专题3.2 椭圆及其标准方程-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2=1的右焦点为F14,0，则正数m的值是（ ）
A．3B．4C．9D．21
【解题思路】由a2=b2+c2直接可得.
【解答过程】由题知c=4，a2=25
所以m2=25−42=9，因为m>0，所以m=3.
故选：A.
2．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【解答过程】若mx2+ny2=1表示的是椭圆，则m>0,n>0且m≠n，即p⇒q成立；
反例：当m=n=1时，mx2+ny2=1表示的是圆，即q⇒p不成立；
即p是q成立的充分不必要条件，
故选：A.
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、 F2是椭圆C:x216+y23=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1⋅PF2（ ）
A．有最大值，为16B．有最小值，为16
C．有最大值，为4D．有最小值，为4
【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得PF1⋅PF2有最大值，为16．
【解答过程】由题意知，a=4，则PF1+PF2=2a=2×4=8．
由基本不等式，知PF1⋅PF2≤PF1+PF222=822=16，
（当且仅当PF1=PF2=4时等号成立），所以PF1⋅PF2有最大值，为16．
故选：A．
4．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x2+y24=1C．x216+y24=1D．x24+y216=1
【解题思路】利用相关点法即可求解.
【解答过程】设线段MN的中点P x,y，Mx0,y0，
所以x=x0y=y0+02，解得x0=xy0=2y，
又点M在圆O:x2+y2=4上，
则x2+2y2=4，即x24+y2=1.
故选：A.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，则该椭圆的方程是（ ）
A．x27+y22=1B．x22+y27=1C．x29+y24=1D．x24+y29=1
【解题思路】首先设MF1=m，MF2=n，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求m+n，即可求得a,b的值.
【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，F1F2=25，所以m2+n2=20，mn=8，所以(m+n)2=m2+n2+2mn=36，所以m+n=2a=6，所以a=3．因为c=5，所以b=a2−c2=2．所以椭圆的方程是x29+y24=1．
故选：C.
6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1 , 1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．9−2B．3+2C．6−2D．6+2
【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【解答过程】椭圆x29+y25=1的a=3，b=5，c=2，
如图，
设椭圆的右焦点为F'2,0 ，
则PF+PF'=2a=6 ；
∴PA+PF=PA+6－PF' =6+PA－PF' ；
由图形知，当P在直线AF' 上时，PA－PF'=AF'=2 ，
当P不在直线AF' 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，PA－PF'∴当P在F'A 的延长线上时，PA－PF' 取得最小值−2，
∴PA+PF的最小值为6−2．
故选：C．
7．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1=6，则△PF1F2的面积为（ ）
A．8B．82C．16D．162
【解题思路】求出PF2，可知△PF1F2为等腰三角形，取PF2的中点M，可得出MF1⊥PF2，利用勾股定理求得MF1，利用三角形的面积公式可求得结果.
【解答过程】在椭圆x225+y216=1中，a=5，b=4，则c=a2−b2=3，所以，F1F2=2c=6，
由椭圆的定义可得PF2=2a−PF1=4，
取PF2的中点M，因为PF1=F1F2，则MF1⊥PF2，
由勾股定理可得MF1=PF12−PM2=62−22=42，
所以，S△PF1F2=12PF2⋅MF1=12×4×42=82.
故选：B.
8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=π3，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（ ）
A．x212+y29=1B．x216+y212=1C．x224+y218=1D．x232+y224=1
【解题思路】由离心率的值，可得a,c的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由∠F1PF2=π3及余弦定理可得PF1⋅PF2的值，进而求出△F1PF2的面积，再由S△F1PF2=12PF1+PF2+F1F2⋅r，可得a的值，进而求出椭圆的方程．
【解答过程】由离心率e=12，得ca=12，即c=12a．
因为△F1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为r，所以πr2=π，解得r=1，
由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a，
在△F1PF2中，∠F1PF2=π3，由余弦定理得PF12+PF22−2PF1⋅PF2⋅cs∠F1PF2=F1F22，
即PF12+PF22−PF1⋅PF2=F1F22，
∴PF1+PF22−3PF1⋅PF2=F1F22，
∴3PF1⋅PF2=4a2−4c2=3a2，可得PF1⋅PF2=a2，
所以S△F1PF2=12PF1⋅PF2⋅sinπ3=34a2，
而S△F1PF2=12PF1+PF2+F1F2⋅r=12(2a+2c)⋅r=a+c=32a，
所以可得34a2=32a，解得a=23，c=3，
由a2=b2+c2，得b=3，
所以该椭圆的方程为x212+y29=1．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A．x28+y24=1B．x23+y25=1
C．x26+y23=1D．x26+y29=1
【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出a,b，再根据关系逐一判断即可.
【解答过程】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，b=c，则a2=b2+c2=2b2，
A，a2=8，b2=4，a2=2b2，是对偶椭圆；
B，a2=5，b2=3，不满足a2=2b2，不是对偶椭圆；
C，a2=6，b2=3，满足a2=2b2，是对偶椭圆；
D，a2=9，b2=6，不满足a2=2b2，不是对偶椭圆．
故选：AC.
10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−k+y2k−1=1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1【解题思路】根据曲线C的形状求出参数k的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【解答过程】对于A选项，若曲线C为椭圆，则4−k>0k−1>04−k≠k−1，解得1对于B选项，因为k1所以，“1对于C选项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k−1>4−k4−k>0，解得2.5又因为k2.5所以，“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D选项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则k−1<4−kk−1>0，解得1所以，“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1故选：CD.
11．（4分）(2023·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+y24=1上的动点，M0,3，下列说法正确的有（ ）
A．MP的最大值为5B．PF1+PF2=43
C．存在点P，使∠F1PF2=120°D．PF1−PF2的最大值为42
【解题思路】设P(x0,y0)，则x02=12−3y02，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据P为短轴端点时，∠F1PF2<120°判断C；根据F1，F2，P三点共线时，PF1−PF2有最大值42判断D.
【解答过程】解：对于A选项，设P(x0,y0)，则x0212+y024=1，即x02=12−3y02，
所以MP=x02+y0−32=x02+y02−6y0+9 =12−3y02+y02−6y0+9=−2y02−6y0+21，
又−2≤y0≤2，所以当y0=−32时，MPmax=1022，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，PF1+PF2=2a=43，故B正确
对于C选项，当P为短轴端点时，
PO=2，OF2=22，tan∠OPF2=2<3，故∠OPF2<60°，进而∠F1PF2<120°，故C错误，
对于D选项，PF1−PF2≤F1F2=42，当F1，F2，P三点共线时，PF1−PF2有最大值42，故D正确.
故选：BD.
12．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得∠F1PF2=π2B．cs∠F1PF2的最小值为−725
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
【解题思路】设椭圆C短轴顶点为D,E根据DF1⋅DF2<0得∠F1PF2的最大角为钝角即可判断A；记|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=10，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得mn=12m+n2−m2+n2=18，进而计算面积判断C；设Px,yx≠±5，直接求解kPA⋅kPB即可判断D.
【解答过程】解：设椭圆C短轴顶点为D,E，由题知椭圆C：x225+y29=1中，a=5,b=3,c=4，
所以，F1−4,0，F24,0，A−5,0,B5,0，D0,3,E0,−3，
对于A选项，由于DF1=−4,−3,DF2=4,−3，DF1⋅DF2=−16+9=−7<0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2=π2，正确；
对于B选项，记|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=10，
由余弦定理： cs∠F1PF2=m2+n2−642mn=m+n2−2mn−642mn=36−2mn2mn=18mn−1
≥18m+n22−1=−725，当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”，B正确；
对于C选项，由于PF1⊥PF2，故m+n=10m2+n2=64⇒mn=12m+n2−m2+n2=18 ，所以S△F1PF2=12mn=9，C正确；
对于D选项，设Px,yx≠±5,A−5,0,B5,0，则x225+y29=1，kPA=yx+5,kPB=yx−5，于是kPA⋅kPB=yx+5⋅yx−5=y2x2−25=91−x225x2−25=−925,故错误.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y−32=43，那么点M的轨迹是 椭圆 ．
【解题思路】根据两点间距离公式，即可判断点M轨迹满足椭圆的定义.
【解答过程】x2+y+32+x2+y−32=43可看作M（x，y）到0，3，0，−3的距离之和为43，由于43>6,所以点M的轨迹是以0，3，0，−3为焦点，长轴长为43的椭圆.
故答案为：椭圆.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为 8 ．
【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【解答过程】由椭圆x24+y2=1，可得a＝2．
由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4．
所以△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8．
故答案为：8.
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为 4 .
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.
【解答过程】设椭圆C的右焦点为F'，依题意，F'(2,0)，由椭圆的定义得：|PF|+|PF'|=6，
而||PA|−|PF'||≤|AF'|=(2−1)2+(3)2=2，即−2≤|PA|−|PF'|≤2，有|PF'|−2≤|PA|≤2+|PF'|，
因此，|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|−2=4，当且仅当点P是线段F'A的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以|PA|+|PF|的最小值为4.
故答案为：4.
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为 x236+y216=1 ．
【解题思路】引入右焦点为F'，根据平面几何性质得PF⊥PF'，由勾股定理求得PF'，由椭圆定义求得a，再求得b即可得椭圆标准方程．
【解答过程】设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点为F'，连接PF'．
由已知，得c=25．又OP=OF=OF'，所以∠FPF'=90°．
在Rt△FPF'中，PF'=F'F2−PF2=452−42=8．
由椭圆的定义，可知2a=PF+PF'=4+8=12，所以a=6，
所以b2=a2−c2=62−252=16，
故椭圆C的标准方程为x236+y216=1．
故答案为：x236+y216=1．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
【解题思路】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得P点坐标．
【解答过程】解：由已知a=10,b=6，c=100−36=8，F1(−8,0)，F2(8,0)，
PF1+PF2=2a=20，而PF1=3PF2，
所以PF1=15，PF2=5，
因此点P在分别以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，
因此(x+8)2+y2=225(x−8)2+y2=25，解得x=254y=±3394，
所以点P的坐标为254,±3394．
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点Q22,1，且与椭圆x29+y24=1有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,13，Q0,−12．
【解题思路】（1）法一：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，根据与椭圆x29+y24=1有公共的焦点得到c，再将点Q22,1代入求解；同理设椭圆方程为y2a2+x2b2=1（a>b>0）求解；法二：设椭圆的方程为x29+λ+y24+λ=1λ>−4，再将点Q22,1代入求解；
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1>0），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a22+y2b22=1（a2>b2>0），将点的坐标代入求解； 方法二 设椭圆的方程为mx2+y2=1（m>0，n>0，m≠n），将点的坐标代入求解．
【解答过程】（1）
解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）
由x29+y24=1，得c2=5，即a2−b2=5．①
又点Q22,1在所求椭圆上，所以8a2+1b2=1，②
由①②得a2=10，b2=5，
即所求椭圆的标准方程是x210+y25=1．
方法二 ：设所求椭圆的方程为x29+λ+y24+λ=1λ>−4．
因为点Q22,1在所求椭圆上，
所以89+λ+14+λ=1，解得λ=1，
所以所求椭圆的标准方程为x210+y25=1．
（2）
方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）．
依题意有132a12+132b12=10+−122b12=1，得a12=15b12=14．
由a1>b1>0知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）．
依题意有132a22+132b22=1−122a22+0=1，得a22=14b22=15．
所以所求椭圆的标准方程为y214+x215=1．
方法二： 设椭圆的方程为mx2+y2=1（m>0，n>0，m≠n）．
依题意有19m+19n=114n=1，解得m=5n=4．
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，故椭圆的标准方程为y214+x215=1．
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点．
(1)若∠F1PF2=90°，求△PF1F2的面积；
(2)求PF1⋅PF2的最大值．
【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及a,b,c的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
【解答过程】（1）
在椭圆x225+y29=1中，a＝5，b＝3，则c=25−9=4．
则PF1+PF2=2a=10，2c＝8，
在Rt△F1PF2中，PF12+PF22=F1F22，即有PF1+PF22−2PF1⋅PF2=F1F22，
即100−2PF1⋅PF2=64，所以PF1⋅PF2=18，
则△F1PF2的面积为12PF1⋅PF2=12×18=9．
（2）
设PF1=m，PF2=n，则m＋n＝10，
所以10≥2mn，即mn≤25，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以PF1⋅PF2的最大值为25．
20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0两个焦点，点P在椭圆上，且△F1PF2的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△F1PF2的面积等于2，求点P的坐标
【解题思路】（1）由条件可得c=2，2a+2c=10，即可得出答案.
（2）设Pm,n，由三角形F1PF2的面积可求出n=±1，代入椭圆方程可答案.
【解答过程】由已知得c=2，
由△F1PF2的周长为10，即PF1+PF2+F1F2=10,可得2a+2c=10，
所以a=3，b=a2−c2=5
所以此椭圆的方程为x29+y25=1.
（2）设Pm,n，
由S△FFPF2=12⋅F1F2⋅n=2n=2，得n=±1，
将n=±1代入椭圆方程得：m29+15=1，即m=±655.
所以P±655,±1.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知两点F1−2,0、F22,0，曲线C上的动点P满足PF1+PF2=2F1F2．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使MF1⊥MF2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点M(x0,y0)，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
【解答过程】（1）
由题意可知，|F1F2|=4，从而PF1+PF2=2F1F2=42>|F1F2|，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，且焦距|F1F2|=2c=4，即c=2，
因为2a=42，即a=22，
所以b=a2−c2=2，
故曲线C的方程为：x28+y24=1.
（2）
假设曲线C上存在这样的点M(x0,y0)，即x028+y024=1 ①，
因为MF1⊥MF2，所以MF1→⋅MF2→=(−2−x0,−y0)⋅(2−x0,−y0)=0，
即x02+y02=4 ②，
联立①②得，x0=0，y0=±2，
从而M坐标为0,2或0,−2.
故曲线C上存在点M使MF1⊥MF2，且M坐标为0,2或0,−2.
22．（8分）（2023·江西·高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，P是C上的动点，直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4+23.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）M为椭圆上一点，求MF2的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
【解题思路】（1）由题中已知条件求出椭圆中的a,b,c即可得到椭圆的标准方程；
（2）设Mm,n，则m24+n2=1，−2≤m≤2,−1≤n≤1，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到MF22=34m2−23m+4，根据二次函数知识知当m=2时求得最小值，当m=−2时求得最大值.
【解答过程】（1）因为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以此椭圆的焦点在x轴上，
因为直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，
所以令y=0，则x=3，即半焦距c=3，所以c2=3，
因为△PF1F2的周长为4+23，
所以PF1+PF2+F1F2=2a+2c=4+23，
所以a=2，即a2=4，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
（2）由已知得F23,0，设Mm,n，则m24+n2=1，−2≤m≤2,−1≤n≤1.
所以MF22=m−32+n2，
代入n2=1−m24，得MF22=m−32+1−m24=34m2−23m+4，
对称轴为m=−23−2×34=433，又由于−2≤m≤2，
所以当m=2时，MF22min=3−43+4=7−43，此时MF2min=7−43=2−3，
当m=−2时，MF22max=3+43+4=7+43，此时MF2max=7+43=2+3，
所以MF2的最小值为2−3，最大值为2+3.
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2=1的右焦点为F14,0，则正数m的值是（ ）
A．3B．4C．9D．21
2．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、 F2是椭圆C:x216+y23=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1⋅PF2（ ）
A．有最大值，为16B．有最小值，为16
C．有最大值，为4D．有最小值，为4
4．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x2+y24=1C．x216+y24=1D．x24+y216=1
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，则该椭圆的方程是（ ）
A．x27+y22=1B．x22+y27=1C．x29+y24=1D．x24+y29=1
6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1 , 1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．9−2B．3+2C．6−2D．6+2
7．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1=6，则△PF1F2的面积为（ ）
A．8B．82C．16D．162
8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=π3，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（ ）
A．x212+y29=1B．x216+y212=1C．x224+y218=1D．x232+y224=1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A．x28+y24=1B．x23+y25=1
C．x26+y23=1D．x26+y29=1
10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−k+y2k−1=1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1
A．MP的最大值为5B．PF1+PF2=43
C．存在点P，使∠F1PF2=120°D．PF1−PF2的最大值为42
12．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得∠F1PF2=π2B．cs∠F1PF2的最小值为−725
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y−32=43，那么点M的轨迹是 ．
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为 ．
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为 .
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点Q22,1，且与椭圆x29+y24=1有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,13，Q0,−12．
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点．
(1)若∠F1PF2=90°，求△PF1F2的面积；
(2)求PF1⋅PF2的最大值．
20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0两个焦点，点P在椭圆上，且△F1PF2的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△F1PF2的面积等于2，求点P的坐标
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知两点F1−2,0、F22,0，曲线C上的动点P满足PF1+PF2=2F1F2．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使MF1⊥MF2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22．（8分）（2023·江西·高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，P是C上的动点，直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4+23.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）M为椭圆上一点，求MF2的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
专题3.2 椭圆及其标准方程-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2=1的右焦点为F14,0，则正数m的值是（ ）
A．3B．4C．9D．21
【解题思路】由a2=b2+c2直接可得.
【解答过程】由题知c=4，a2=25
所以m2=25−42=9，因为m>0，所以m=3.
故选：A.
2．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【解答过程】若mx2+ny2=1表示的是椭圆，则m>0,n>0且m≠n，即p⇒q成立；
反例：当m=n=1时，mx2+ny2=1表示的是圆，即q⇒p不成立；
即p是q成立的充分不必要条件，
故选：A.
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、 F2是椭圆C:x216+y23=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1⋅PF2（ ）
A．有最大值，为16B．有最小值，为16
C．有最大值，为4D．有最小值，为4
【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得PF1⋅PF2有最大值，为16．
【解答过程】由题意知，a=4，则PF1+PF2=2a=2×4=8．
由基本不等式，知PF1⋅PF2≤PF1+PF222=822=16，
（当且仅当PF1=PF2=4时等号成立），所以PF1⋅PF2有最大值，为16．
故选：A．
4．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x2+y24=1C．x216+y24=1D．x24+y216=1
【解题思路】利用相关点法即可求解.
【解答过程】设线段MN的中点P x,y，Mx0,y0，
所以x=x0y=y0+02，解得x0=xy0=2y，
又点M在圆O:x2+y2=4上，
则x2+2y2=4，即x24+y2=1.
故选：A.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，则该椭圆的方程是（ ）
A．x27+y22=1B．x22+y27=1C．x29+y24=1D．x24+y29=1
【解题思路】首先设MF1=m，MF2=n，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求m+n，即可求得a,b的值.
【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，F1F2=25，所以m2+n2=20，mn=8，所以(m+n)2=m2+n2+2mn=36，所以m+n=2a=6，所以a=3．因为c=5，所以b=a2−c2=2．所以椭圆的方程是x29+y24=1．
故选：C.
6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1 , 1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）
A．9−2B．3+2C．6−2D．6+2
【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【解答过程】椭圆x29+y25=1的a=3，b=5，c=2，
如图，
设椭圆的右焦点为F'2,0 ，
则PF+PF'=2a=6 ；
∴PA+PF=PA+6－PF' =6+PA－PF' ；
由图形知，当P在直线AF' 上时，PA－PF'=AF'=2 ，
当P不在直线AF' 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，PA－PF'
∴PA+PF的最小值为6−2．
故选：C．
7．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1=6，则△PF1F2的面积为（ ）
A．8B．82C．16D．162
【解题思路】求出PF2，可知△PF1F2为等腰三角形，取PF2的中点M，可得出MF1⊥PF2，利用勾股定理求得MF1，利用三角形的面积公式可求得结果.
【解答过程】在椭圆x225+y216=1中，a=5，b=4，则c=a2−b2=3，所以，F1F2=2c=6，
由椭圆的定义可得PF2=2a−PF1=4，
取PF2的中点M，因为PF1=F1F2，则MF1⊥PF2，
由勾股定理可得MF1=PF12−PM2=62−22=42，
所以，S△PF1F2=12PF2⋅MF1=12×4×42=82.
故选：B.
8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=π3，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（ ）
A．x212+y29=1B．x216+y212=1C．x224+y218=1D．x232+y224=1
【解题思路】由离心率的值，可得a,c的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由∠F1PF2=π3及余弦定理可得PF1⋅PF2的值，进而求出△F1PF2的面积，再由S△F1PF2=12PF1+PF2+F1F2⋅r，可得a的值，进而求出椭圆的方程．
【解答过程】由离心率e=12，得ca=12，即c=12a．
因为△F1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为r，所以πr2=π，解得r=1，
由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a，
在△F1PF2中，∠F1PF2=π3，由余弦定理得PF12+PF22−2PF1⋅PF2⋅cs∠F1PF2=F1F22，
即PF12+PF22−PF1⋅PF2=F1F22，
∴PF1+PF22−3PF1⋅PF2=F1F22，
∴3PF1⋅PF2=4a2−4c2=3a2，可得PF1⋅PF2=a2，
所以S△F1PF2=12PF1⋅PF2⋅sinπ3=34a2，
而S△F1PF2=12PF1+PF2+F1F2⋅r=12(2a+2c)⋅r=a+c=32a，
所以可得34a2=32a，解得a=23，c=3，
由a2=b2+c2，得b=3，
所以该椭圆的方程为x212+y29=1．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A．x28+y24=1B．x23+y25=1
C．x26+y23=1D．x26+y29=1
【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出a,b，再根据关系逐一判断即可.
【解答过程】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，b=c，则a2=b2+c2=2b2，
A，a2=8，b2=4，a2=2b2，是对偶椭圆；
B，a2=5，b2=3，不满足a2=2b2，不是对偶椭圆；
C，a2=6，b2=3，满足a2=2b2，是对偶椭圆；
D，a2=9，b2=6，不满足a2=2b2，不是对偶椭圆．
故选：AC.
10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−k+y2k−1=1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1
【解答过程】对于A选项，若曲线C为椭圆，则4−k>0k−1>04−k≠k−1，解得1
11．（4分）(2023·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+y24=1上的动点，M0,3，下列说法正确的有（ ）
A．MP的最大值为5B．PF1+PF2=43
C．存在点P，使∠F1PF2=120°D．PF1−PF2的最大值为42
【解题思路】设P(x0,y0)，则x02=12−3y02，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据P为短轴端点时，∠F1PF2<120°判断C；根据F1，F2，P三点共线时，PF1−PF2有最大值42判断D.
【解答过程】解：对于A选项，设P(x0,y0)，则x0212+y024=1，即x02=12−3y02，
所以MP=x02+y0−32=x02+y02−6y0+9 =12−3y02+y02−6y0+9=−2y02−6y0+21，
又−2≤y0≤2，所以当y0=−32时，MPmax=1022，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，PF1+PF2=2a=43，故B正确
对于C选项，当P为短轴端点时，
PO=2，OF2=22，tan∠OPF2=2<3，故∠OPF2<60°，进而∠F1PF2<120°，故C错误，
对于D选项，PF1−PF2≤F1F2=42，当F1，F2，P三点共线时，PF1−PF2有最大值42，故D正确.
故选：BD.
12．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得∠F1PF2=π2B．cs∠F1PF2的最小值为−725
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
【解题思路】设椭圆C短轴顶点为D,E根据DF1⋅DF2<0得∠F1PF2的最大角为钝角即可判断A；记|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=10，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得mn=12m+n2−m2+n2=18，进而计算面积判断C；设Px,yx≠±5，直接求解kPA⋅kPB即可判断D.
【解答过程】解：设椭圆C短轴顶点为D,E，由题知椭圆C：x225+y29=1中，a=5,b=3,c=4，
所以，F1−4,0，F24,0，A−5,0,B5,0，D0,3,E0,−3，
对于A选项，由于DF1=−4,−3,DF2=4,−3，DF1⋅DF2=−16+9=−7<0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2=π2，正确；
对于B选项，记|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=10，
由余弦定理： cs∠F1PF2=m2+n2−642mn=m+n2−2mn−642mn=36−2mn2mn=18mn−1
≥18m+n22−1=−725，当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”，B正确；
对于C选项，由于PF1⊥PF2，故m+n=10m2+n2=64⇒mn=12m+n2−m2+n2=18 ，所以S△F1PF2=12mn=9，C正确；
对于D选项，设Px,yx≠±5,A−5,0,B5,0，则x225+y29=1，kPA=yx+5,kPB=yx−5，于是kPA⋅kPB=yx+5⋅yx−5=y2x2−25=91−x225x2−25=−925,故错误.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y−32=43，那么点M的轨迹是 椭圆 ．
【解题思路】根据两点间距离公式，即可判断点M轨迹满足椭圆的定义.
【解答过程】x2+y+32+x2+y−32=43可看作M（x，y）到0，3，0，−3的距离之和为43，由于43>6,所以点M的轨迹是以0，3，0，−3为焦点，长轴长为43的椭圆.
故答案为：椭圆.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为 8 ．
【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【解答过程】由椭圆x24+y2=1，可得a＝2．
由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4．
所以△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8．
故答案为：8.
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为 4 .
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.
【解答过程】设椭圆C的右焦点为F'，依题意，F'(2,0)，由椭圆的定义得：|PF|+|PF'|=6，
而||PA|−|PF'||≤|AF'|=(2−1)2+(3)2=2，即−2≤|PA|−|PF'|≤2，有|PF'|−2≤|PA|≤2+|PF'|，
因此，|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|−2=4，当且仅当点P是线段F'A的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以|PA|+|PF|的最小值为4.
故答案为：4.
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为 x236+y216=1 ．
【解题思路】引入右焦点为F'，根据平面几何性质得PF⊥PF'，由勾股定理求得PF'，由椭圆定义求得a，再求得b即可得椭圆标准方程．
【解答过程】设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点为F'，连接PF'．
由已知，得c=25．又OP=OF=OF'，所以∠FPF'=90°．
在Rt△FPF'中，PF'=F'F2−PF2=452−42=8．
由椭圆的定义，可知2a=PF+PF'=4+8=12，所以a=6，
所以b2=a2−c2=62−252=16，
故椭圆C的标准方程为x236+y216=1．
故答案为：x236+y216=1．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
【解题思路】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得P点坐标．
【解答过程】解：由已知a=10,b=6，c=100−36=8，F1(−8,0)，F2(8,0)，
PF1+PF2=2a=20，而PF1=3PF2，
所以PF1=15，PF2=5，
因此点P在分别以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，
因此(x+8)2+y2=225(x−8)2+y2=25，解得x=254y=±3394，
所以点P的坐标为254,±3394．
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点Q22,1，且与椭圆x29+y24=1有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,13，Q0,−12．
【解题思路】（1）法一：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，根据与椭圆x29+y24=1有公共的焦点得到c，再将点Q22,1代入求解；同理设椭圆方程为y2a2+x2b2=1（a>b>0）求解；法二：设椭圆的方程为x29+λ+y24+λ=1λ>−4，再将点Q22,1代入求解；
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1>0），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a22+y2b22=1（a2>b2>0），将点的坐标代入求解； 方法二 设椭圆的方程为mx2+y2=1（m>0，n>0，m≠n），将点的坐标代入求解．
【解答过程】（1）
解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）
由x29+y24=1，得c2=5，即a2−b2=5．①
又点Q22,1在所求椭圆上，所以8a2+1b2=1，②
由①②得a2=10，b2=5，
即所求椭圆的标准方程是x210+y25=1．
方法二 ：设所求椭圆的方程为x29+λ+y24+λ=1λ>−4．
因为点Q22,1在所求椭圆上，
所以89+λ+14+λ=1，解得λ=1，
所以所求椭圆的标准方程为x210+y25=1．
（2）
方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）．
依题意有132a12+132b12=10+−122b12=1，得a12=15b12=14．
由a1>b1>0知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）．
依题意有132a22+132b22=1−122a22+0=1，得a22=14b22=15．
所以所求椭圆的标准方程为y214+x215=1．
方法二： 设椭圆的方程为mx2+y2=1（m>0，n>0，m≠n）．
依题意有19m+19n=114n=1，解得m=5n=4．
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，故椭圆的标准方程为y214+x215=1．
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点．
(1)若∠F1PF2=90°，求△PF1F2的面积；
(2)求PF1⋅PF2的最大值．
【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及a,b,c的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
【解答过程】（1）
在椭圆x225+y29=1中，a＝5，b＝3，则c=25−9=4．
则PF1+PF2=2a=10，2c＝8，
在Rt△F1PF2中，PF12+PF22=F1F22，即有PF1+PF22−2PF1⋅PF2=F1F22，
即100−2PF1⋅PF2=64，所以PF1⋅PF2=18，
则△F1PF2的面积为12PF1⋅PF2=12×18=9．
（2）
设PF1=m，PF2=n，则m＋n＝10，
所以10≥2mn，即mn≤25，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以PF1⋅PF2的最大值为25．
20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0两个焦点，点P在椭圆上，且△F1PF2的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△F1PF2的面积等于2，求点P的坐标
【解题思路】（1）由条件可得c=2，2a+2c=10，即可得出答案.
（2）设Pm,n，由三角形F1PF2的面积可求出n=±1，代入椭圆方程可答案.
【解答过程】由已知得c=2，
由△F1PF2的周长为10，即PF1+PF2+F1F2=10,可得2a+2c=10，
所以a=3，b=a2−c2=5
所以此椭圆的方程为x29+y25=1.
（2）设Pm,n，
由S△FFPF2=12⋅F1F2⋅n=2n=2，得n=±1，
将n=±1代入椭圆方程得：m29+15=1，即m=±655.
所以P±655,±1.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知两点F1−2,0、F22,0，曲线C上的动点P满足PF1+PF2=2F1F2．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使MF1⊥MF2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点M(x0,y0)，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
【解答过程】（1）
由题意可知，|F1F2|=4，从而PF1+PF2=2F1F2=42>|F1F2|，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，且焦距|F1F2|=2c=4，即c=2，
因为2a=42，即a=22，
所以b=a2−c2=2，
故曲线C的方程为：x28+y24=1.
（2）
假设曲线C上存在这样的点M(x0,y0)，即x028+y024=1 ①，
因为MF1⊥MF2，所以MF1→⋅MF2→=(−2−x0,−y0)⋅(2−x0,−y0)=0，
即x02+y02=4 ②，
联立①②得，x0=0，y0=±2，
从而M坐标为0,2或0,−2.
故曲线C上存在点M使MF1⊥MF2，且M坐标为0,2或0,−2.
22．（8分）（2023·江西·高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，P是C上的动点，直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4+23.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）M为椭圆上一点，求MF2的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
【解题思路】（1）由题中已知条件求出椭圆中的a,b,c即可得到椭圆的标准方程；
（2）设Mm,n，则m24+n2=1，−2≤m≤2,−1≤n≤1，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到MF22=34m2−23m+4，根据二次函数知识知当m=2时求得最小值，当m=−2时求得最大值.
【解答过程】（1）因为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以此椭圆的焦点在x轴上，
因为直线y=x−3经过椭圆的一个焦点，
所以令y=0，则x=3，即半焦距c=3，所以c2=3，
因为△PF1F2的周长为4+23，
所以PF1+PF2+F1F2=2a+2c=4+23，
所以a=2，即a2=4，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
（2）由已知得F23,0，设Mm,n，则m24+n2=1，−2≤m≤2,−1≤n≤1.
所以MF22=m−32+n2，
代入n2=1−m24，得MF22=m−32+1−m24=34m2−23m+4，
对称轴为m=−23−2×34=433，又由于−2≤m≤2，
所以当m=2时，MF22min=3−43+4=7−43，此时MF2min=7−43=2−3，
当m=−2时，MF22max=3+43+4=7+43，此时MF2max=7+43=2+3，
所以MF2的最小值为2−3，最大值为2+3.
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