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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精练
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精练，共18页。试卷主要包含了两条直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式，中点坐标公式等内容，欢迎下载使用。
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（ ）
A．1,1B．12,12C．1,2D．2,1
【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（ ）
A．2,3B．−2,−3C．0,1D．0,0
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABC垂心的坐标为（ ）
A．43,23B．32,0C．12,1D．1,1
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−23B．k<2
C．−232
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2:2x+y+5=0的交点的直线的方程为（ ）
A．19x−9y=0B．9x+19y=0
C．3x+19y=0D．19x+3y=0
【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )
A．3x−y+3+2=0B．3x−3y+3+6=0
C．3x−y−3−4=0D．3x−3y−3−12=0
【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2，3间的距离为（ ）
A．13B．22C．2D．1
【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则PA2+PB2=（ ）
A．10B．13C．16D．20
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点O到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A．y=x+2B．y=−x−2C．y=−x+2D．y=x−2
【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．13,17B．−∞,13∪17,+∞
C．−∞,13D．17,+∞
【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A．x+y+3=0B．17x+y−29=0
C．x+y+3=0或17x+y−29=0D．3x+y+3=0
【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1B．y=6
C．y=43xD． y=2x+1
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．21313C．51326D．71326
【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（ ）
A．12x+8y−15=0B．9x+6y−5=0
C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0D．6x+4y−15=0
【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤4B．−16≤a≤4
C．−4≤a≤16D．a≤16或a≥4
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】(2023·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λy+2λ−2=0的距离的最大值为（ ）
A．225B．25C．22D．425
【变式6-1】(2023·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，33B．33，13C．22，12D．1，22
【变式6-2】(2023·江苏·高二阶段练习）直线2x+3y−6=0分别交x轴和y于点A,B，P为直线y=x上一点，则PA−PB的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2
专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（ ）
A．1,1B．12,12C．1,2D．2,1
【解题思路】两直线方程组成方程组，所得解即为两直线交点坐标.
【解答过程】由x+y−2=0y=x，可得x=1y=1，则两直线交点坐标为1,1
故选：A.
【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（ ）
A．2,3B．−2,−3C．0,1D．0,0
【解题思路】直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【解答过程】由x=2y=x+1解得x=2y=3，则直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为2,3.
故选：A.
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABC垂心的坐标为（ ）
A．43,23B．32,0C．12,1D．1,1
【解题思路】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为△ABC垂心的坐标.
【解答过程】解：因为A0,0，B3,0，C1,2，
所以kAB=0−03−0=0，kBC=2−01−3=−1，
所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x，
联立x=1y=x，得x=1y=1，
所以垂心的坐标为1,1．
故选：D．
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−23B．k<2
C．−232
【解题思路】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【解答过程】方法一：由直线l1，l2有交点，得k≠−2．由y=kx+k+2y=−2x+4，得x=2−kk+2y=6k+4k+2，即交点坐标为2−kk+2,6k+4k+2．又交点在第一象限内，所以2−kk+2>06k+4k+2>0，解得−23方法二：由题意知，直线l1:y−2=k(x+1)过定点P(−1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)．若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为kPA=−23，kPB=2，所以−23故选：C．
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2:2x+y+5=0的交点的直线的方程为（ ）
A．19x−9y=0B．9x+19y=0
C．3x+19y=0D．19x+3y=0
【解题思路】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【解答过程】由{x−3y+4=02x+y+5=0可得{x=−197y=37，
故过原点和交点的直线为y=−319x即3x+19y=0，
故选：C.
【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=13x平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由x+y−3=02x−y=0解得x=1y=2，则直线x+y−3=0,2x−y=0的交点1,2，
又直线y=13x的斜率为13，则所求直线方程为y−2=13x−1，整理得x−3y+5=0.
故选：C.
【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )
A．3x−y+3+2=0B．3x−3y+3+6=0
C．3x−y−3−4=0D．3x−3y−3−12=0
【解题思路】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【解答过程】由x−y＋3=02x＋y=0解得x=−1y=2，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：y−2=3x＋1，即3x−y＋2＋3=0．
故选：A．
【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，
由x−y+1=0x−2=0，得x=2y=3，即l1和l2的交点为(2,3)，
因为直线4x−3y+m=0过点(2,3)，
所以8−9+m=0，得m=1，
所以所求直线方程为4x−3y+1=0，
故选：D.
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
【解题思路】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【解答过程】因点A2,4，B5,4，则|AB|=(2−5)2+(4−4)2=3，
所以A，B两点之间的距离等于3.
故选：C.
【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】根据两点间距离公式即可求解.
【解答过程】因为A2,−3，B5,−7，
所以AB=2−52+−3+72=5，
故选：C.
【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2，3间的距离为（ ）
A．13B．22C．2D．1
【解题思路】由题联立2x−y−2=03x+y−8=0得A2,2，再根据距离公式求解即可.
【解答过程】解：联立方程2x−y−2=03x+y−8=0，解得x=2,y=2，
所以A2,2，所以AB=
2−22+3−22=1
故选：D.
【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则PA2+PB2=（ ）
A．10B．13C．16D．20
【解题思路】由题意，直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又直线l1过定点A−1,0，直线l2过定点B1,−3，在Rt△APB中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【解答过程】解：因为1×m+−m×1=0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，
又因为直线l1:x−my+1=0过定点A−1,0，直线l2:mx+y−m+3=0，即mx−1+y+3=0过定点B1,−3，
所以在Rt△APB中，PA2+PB2=AB2=1−−12+−3−02=13，
故选：B.
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点O到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A．y=x+2B．y=−x−2C．y=−x+2D．y=x−2
【解题思路】分别利用点到直线距离公式即可确定答案.
【解答过程】根据点到直线的距离公式可得，对于A，
点M到直线x−y+2=0的距离为|2−2+2|2=1，
点O到直线x−y+2=0的距离为|2|2=1，所以A错误；
对于B，点M到直线x+y+2=0的距离为|2+2+2|2=3，
点O到直线x+y+2=0的距离为|2|2=1，所以B正确；
对于C，点M直线x+y−2=0的距离为|2+2−2|2=1，
点O到直线x+y−2=0的距离为|2|2=1，所以选项C错误；
对于D，点M到直线x−y−2=0的距离为|2−2−2|2=1，
点O到直线x−y−2=0的距离为|−2|2=1，所以选项D错误.
故选:B.
【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．13,17B．−∞,13∪17,+∞
C．−∞,13D．17,+∞
【解题思路】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.
【解答过程】因为点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，
所以3a−4×6−232+−42>5，解得：a<13或a>17，
所以实数a的取值范围为−∞,13∪17,+∞.
故选：B.
【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A．x+y+3=0B．17x+y−29=0
C．x+y+3=0或17x+y−29=0D．3x+y+3=0
【解题思路】根据直线l是否存在斜率，结据点到直线距离公式分类讨论进行求解即可.
【解答过程】当直线l斜率不存在时，则方程为x=2，显然此时该直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：3，不符合题意，
当直线l斜率存在时，设为k，则此时方程为：y+5=k(x−2)⇒kx−y−5−2k=0，
因为直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，
所以有3k+2−5−2kk2+(−1)2−k−6−5−2kk2+(−1)2=12⇒k=−17，或k=−1，
即−17x−y−5+34=0，或−x−y−3=0，即17x+y−29=0，或x+y+3=0，
故选：C.
【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1B．y=6
C．y=43xD． y=2x+1
【解题思路】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，故只需要求各选项的点线距离即可判断.
【解答过程】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，
对于A，y=x+1可化为x−y+1=0，故d=5−0+12=32>4，故A错误；
对于B，易求M到直线y=6距离为6>4，故B错误；
对于C，y=43x可化为4x−3y=0，故d=4×5−042+32=4，故C正确；
对于D，y=2x+1可化为2x−y+1=0，故d=2×5−0+122+1=115>4，故D错误.
故选：C.
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【解答过程】解：直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，
∴aa+1−2=0，解得a=−2或a=1，
又a<0，所以a=−2，
当a=−2时，直线l1:2x−2y+1=0与直线l2:2x−2y+8=0距离为=|8−1|4+4=724.
故选：A.
【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．21313C．51326D．71326
【解题思路】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，再计算到6x+4y+1=0的距离即可.
【解答过程】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，
则3x+my−3=0到6x+4y+1=0的距离即1,0到6x+4y+1=0的距离为d=6×1+4×0+162+42=752=71326.
故选：D.
【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（ ）
A．12x+8y−15=0B．9x+6y−5=0
C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0D．6x+4y−15=0
【解题思路】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，再根据平行直线间的距离公式求解即可.
【解答过程】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，
又l1：6x+4y−12=0，l2：6x+4y−3=0，故m−−1262+42=m−−362+42，
即m+12=m+3，故m+12=m+3或m+12+m+3=0，故m=−152，
所求直线方程为6x+4y−152=0，即12x+8y−15=0.
故选：A.
【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤4B．−16≤a≤4
C．−4≤a≤16D．a≤16或a≥4
【解题思路】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0化为4x+2y−6=0，
则两直线之间的距离d=a+642+22≤5，即a+6≤10，
解得−16≤a≤4.
所以实数a的取值范围为−16≤a≤4.
故选：B.
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】(2023·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λy+2λ−2=0的距离的最大值为（ ）
A．225B．25C．22D．425
【解题思路】求出直线l过的定点P，当OP⊥l时，原点到直线l距离最大，则可求出原点到直线l距离的最大值；
【解答过程】因为3+2λx+4+λy+2λ−2=0可化为3x+4y−2+λ2x+y+2=0，
所以直线l过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0交点，
联立3x+4y−2=02x+y+2=0可得x=−2y=2
所以直线l过定点P−2,2，
当OP⊥l时，原点到直线l距离最大，最大距离即为|OP|，
此时最大值为(−2)2+22=8=22，
故选：C.
【变式6-1】(2023·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，33B．33，13C．22，12D．1，22
【解题思路】利用韦达定理求出a−b2=a+b2−4ab=1−4c，由0≤c≤18可求得22≤a−b≤1，再由平行线间的距离公式得到d=a−b2，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值.
【解答过程】因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
所以a+b=−1，ab=c，
所以a−b2=a+b2−4ab=1−4c．
又0≤c≤18，所以12≤1−4c≤1，所以22≤a−b≤1．
由于直线x+y+a=0与直线x+y+b=0平行，
所以它们之间的距离d=a−b2，
所以12≤d≤22，即所求距离的最大值和最小值分别为22，12．
故选：C．
【变式6-2】(2023·江苏·高二阶段练习）直线2x+3y−6=0分别交x轴和y于点A,B，P为直线y=x上一点，则PA−PB的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先求得A,B两点的坐标，求得B关于y=x对称点C的坐标，根据A,C,P三点共线求得PA−PB的最大值.
【解答过程】依题意可知A3,0,B0,2，
B0,2关于直线y=x的对称点为C2,0，PB=PC，
即求PA−PB=PA−PC的最大值，
PA−PC≤AC，
当A,C,P三点共线，即P与原点重合时，PA−PC取得最大值为1，
也即PA−PB的最大值是1.
故选：A.
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2
【解题思路】由题意可得M(0,2),N(2,4)，且两直线始终垂直，可得|PM|2+|PN|2=|MN|2=8，由基本不等式可得|PM|·|PN|的最大值．
【解答过程】由题意可知，动直线ax+y−2=0经过定点M(0,2)，
动直线x−ay+4a−2=0即x−2+(−y+4)a=0，经过定点N(2,4)，
∵过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴PM⊥PN，∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=8．
故|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22=4 (当且仅当|PM|=|PN|=2时取“=”)．
故选：C．
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（ ）
A．1,1B．12,12C．1,2D．2,1
【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（ ）
A．2,3B．−2,−3C．0,1D．0,0
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABC垂心的坐标为（ ）
A．43,23B．32,0C．12,1D．1,1
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−23B．k<2
C．−23
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2:2x+y+5=0的交点的直线的方程为（ ）
A．19x−9y=0B．9x+19y=0
C．3x+19y=0D．19x+3y=0
【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )
A．3x−y+3+2=0B．3x−3y+3+6=0
C．3x−y−3−4=0D．3x−3y−3−12=0
【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2，3间的距离为（ ）
A．13B．22C．2D．1
【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则PA2+PB2=（ ）
A．10B．13C．16D．20
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点O到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A．y=x+2B．y=−x−2C．y=−x+2D．y=x−2
【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．13,17B．−∞,13∪17,+∞
C．−∞,13D．17,+∞
【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A．x+y+3=0B．17x+y−29=0
C．x+y+3=0或17x+y−29=0D．3x+y+3=0
【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1B．y=6
C．y=43xD． y=2x+1
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．21313C．51326D．71326
【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（ ）
A．12x+8y−15=0B．9x+6y−5=0
C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0D．6x+4y−15=0
【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤4B．−16≤a≤4
C．−4≤a≤16D．a≤16或a≥4
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】(2023·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λy+2λ−2=0的距离的最大值为（ ）
A．225B．25C．22D．425
【变式6-1】(2023·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，33B．33，13C．22，12D．1，22
【变式6-2】(2023·江苏·高二阶段练习）直线2x+3y−6=0分别交x轴和y于点A,B，P为直线y=x上一点，则PA−PB的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2
专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（ ）
A．1,1B．12,12C．1,2D．2,1
【解题思路】两直线方程组成方程组，所得解即为两直线交点坐标.
【解答过程】由x+y−2=0y=x，可得x=1y=1，则两直线交点坐标为1,1
故选：A.
【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（ ）
A．2,3B．−2,−3C．0,1D．0,0
【解题思路】直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【解答过程】由x=2y=x+1解得x=2y=3，则直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为2,3.
故选：A.
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABC垂心的坐标为（ ）
A．43,23B．32,0C．12,1D．1,1
【解题思路】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为△ABC垂心的坐标.
【解答过程】解：因为A0,0，B3,0，C1,2，
所以kAB=0−03−0=0，kBC=2−01−3=−1，
所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x，
联立x=1y=x，得x=1y=1，
所以垂心的坐标为1,1．
故选：D．
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−23B．k<2
C．−23
【解题思路】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【解答过程】方法一：由直线l1，l2有交点，得k≠−2．由y=kx+k+2y=−2x+4，得x=2−kk+2y=6k+4k+2，即交点坐标为2−kk+2,6k+4k+2．又交点在第一象限内，所以2−kk+2>06k+4k+2>0，解得−23
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2:2x+y+5=0的交点的直线的方程为（ ）
A．19x−9y=0B．9x+19y=0
C．3x+19y=0D．19x+3y=0
【解题思路】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【解答过程】由{x−3y+4=02x+y+5=0可得{x=−197y=37，
故过原点和交点的直线为y=−319x即3x+19y=0，
故选：C.
【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=13x平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由x+y−3=02x−y=0解得x=1y=2，则直线x+y−3=0,2x−y=0的交点1,2，
又直线y=13x的斜率为13，则所求直线方程为y−2=13x−1，整理得x−3y+5=0.
故选：C.
【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )
A．3x−y+3+2=0B．3x−3y+3+6=0
C．3x−y−3−4=0D．3x−3y−3−12=0
【解题思路】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【解答过程】由x−y＋3=02x＋y=0解得x=−1y=2，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：y−2=3x＋1，即3x−y＋2＋3=0．
故选：A．
【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，
由x−y+1=0x−2=0，得x=2y=3，即l1和l2的交点为(2,3)，
因为直线4x−3y+m=0过点(2,3)，
所以8−9+m=0，得m=1，
所以所求直线方程为4x−3y+1=0，
故选：D.
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
【解题思路】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【解答过程】因点A2,4，B5,4，则|AB|=(2−5)2+(4−4)2=3，
所以A，B两点之间的距离等于3.
故选：C.
【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】根据两点间距离公式即可求解.
【解答过程】因为A2,−3，B5,−7，
所以AB=2−52+−3+72=5，
故选：C.
【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2，3间的距离为（ ）
A．13B．22C．2D．1
【解题思路】由题联立2x−y−2=03x+y−8=0得A2,2，再根据距离公式求解即可.
【解答过程】解：联立方程2x−y−2=03x+y−8=0，解得x=2,y=2，
所以A2,2，所以AB=
2−22+3−22=1
故选：D.
【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则PA2+PB2=（ ）
A．10B．13C．16D．20
【解题思路】由题意，直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又直线l1过定点A−1,0，直线l2过定点B1,−3，在Rt△APB中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【解答过程】解：因为1×m+−m×1=0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，
又因为直线l1:x−my+1=0过定点A−1,0，直线l2:mx+y−m+3=0，即mx−1+y+3=0过定点B1,−3，
所以在Rt△APB中，PA2+PB2=AB2=1−−12+−3−02=13，
故选：B.
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点O到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A．y=x+2B．y=−x−2C．y=−x+2D．y=x−2
【解题思路】分别利用点到直线距离公式即可确定答案.
【解答过程】根据点到直线的距离公式可得，对于A，
点M到直线x−y+2=0的距离为|2−2+2|2=1，
点O到直线x−y+2=0的距离为|2|2=1，所以A错误；
对于B，点M到直线x+y+2=0的距离为|2+2+2|2=3，
点O到直线x+y+2=0的距离为|2|2=1，所以B正确；
对于C，点M直线x+y−2=0的距离为|2+2−2|2=1，
点O到直线x+y−2=0的距离为|2|2=1，所以选项C错误；
对于D，点M到直线x−y−2=0的距离为|2−2−2|2=1，
点O到直线x−y−2=0的距离为|−2|2=1，所以选项D错误.
故选:B.
【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．13,17B．−∞,13∪17,+∞
C．−∞,13D．17,+∞
【解题思路】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.
【解答过程】因为点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，
所以3a−4×6−232+−42>5，解得：a<13或a>17，
所以实数a的取值范围为−∞,13∪17,+∞.
故选：B.
【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A．x+y+3=0B．17x+y−29=0
C．x+y+3=0或17x+y−29=0D．3x+y+3=0
【解题思路】根据直线l是否存在斜率，结据点到直线距离公式分类讨论进行求解即可.
【解答过程】当直线l斜率不存在时，则方程为x=2，显然此时该直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：3，不符合题意，
当直线l斜率存在时，设为k，则此时方程为：y+5=k(x−2)⇒kx−y−5−2k=0，
因为直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，
所以有3k+2−5−2kk2+(−1)2−k−6−5−2kk2+(−1)2=12⇒k=−17，或k=−1，
即−17x−y−5+34=0，或−x−y−3=0，即17x+y−29=0，或x+y+3=0，
故选：C.
【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1B．y=6
C．y=43xD． y=2x+1
【解题思路】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，故只需要求各选项的点线距离即可判断.
【解答过程】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，
对于A，y=x+1可化为x−y+1=0，故d=5−0+12=32>4，故A错误；
对于B，易求M到直线y=6距离为6>4，故B错误；
对于C，y=43x可化为4x−3y=0，故d=4×5−042+32=4，故C正确；
对于D，y=2x+1可化为2x−y+1=0，故d=2×5−0+122+1=115>4，故D错误.
故选：C.
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【解答过程】解：直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，
∴aa+1−2=0，解得a=−2或a=1，
又a<0，所以a=−2，
当a=−2时，直线l1:2x−2y+1=0与直线l2:2x−2y+8=0距离为=|8−1|4+4=724.
故选：A.
【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．21313C．51326D．71326
【解题思路】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，再计算到6x+4y+1=0的距离即可.
【解答过程】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，
则3x+my−3=0到6x+4y+1=0的距离即1,0到6x+4y+1=0的距离为d=6×1+4×0+162+42=752=71326.
故选：D.
【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（ ）
A．12x+8y−15=0B．9x+6y−5=0
C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0D．6x+4y−15=0
【解题思路】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，再根据平行直线间的距离公式求解即可.
【解答过程】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，
又l1：6x+4y−12=0，l2：6x+4y−3=0，故m−−1262+42=m−−362+42，
即m+12=m+3，故m+12=m+3或m+12+m+3=0，故m=−152，
所求直线方程为6x+4y−152=0，即12x+8y−15=0.
故选：A.
【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤4B．−16≤a≤4
C．−4≤a≤16D．a≤16或a≥4
【解题思路】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0化为4x+2y−6=0，
则两直线之间的距离d=a+642+22≤5，即a+6≤10，
解得−16≤a≤4.
所以实数a的取值范围为−16≤a≤4.
故选：B.
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】(2023·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λy+2λ−2=0的距离的最大值为（ ）
A．225B．25C．22D．425
【解题思路】求出直线l过的定点P，当OP⊥l时，原点到直线l距离最大，则可求出原点到直线l距离的最大值；
【解答过程】因为3+2λx+4+λy+2λ−2=0可化为3x+4y−2+λ2x+y+2=0，
所以直线l过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0交点，
联立3x+4y−2=02x+y+2=0可得x=−2y=2
所以直线l过定点P−2,2，
当OP⊥l时，原点到直线l距离最大，最大距离即为|OP|，
此时最大值为(−2)2+22=8=22，
故选：C.
【变式6-1】(2023·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，33B．33，13C．22，12D．1，22
【解题思路】利用韦达定理求出a−b2=a+b2−4ab=1−4c，由0≤c≤18可求得22≤a−b≤1，再由平行线间的距离公式得到d=a−b2，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值.
【解答过程】因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
所以a+b=−1，ab=c，
所以a−b2=a+b2−4ab=1−4c．
又0≤c≤18，所以12≤1−4c≤1，所以22≤a−b≤1．
由于直线x+y+a=0与直线x+y+b=0平行，
所以它们之间的距离d=a−b2，
所以12≤d≤22，即所求距离的最大值和最小值分别为22，12．
故选：C．
【变式6-2】(2023·江苏·高二阶段练习）直线2x+3y−6=0分别交x轴和y于点A,B，P为直线y=x上一点，则PA−PB的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先求得A,B两点的坐标，求得B关于y=x对称点C的坐标，根据A,C,P三点共线求得PA−PB的最大值.
【解答过程】依题意可知A3,0,B0,2，
B0,2关于直线y=x的对称点为C2,0，PB=PC，
即求PA−PB=PA−PC的最大值，
PA−PC≤AC，
当A,C,P三点共线，即P与原点重合时，PA−PC取得最大值为1，
也即PA−PB的最大值是1.
故选：A.
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2
【解题思路】由题意可得M(0,2),N(2,4)，且两直线始终垂直，可得|PM|2+|PN|2=|MN|2=8，由基本不等式可得|PM|·|PN|的最大值．
【解答过程】由题意可知，动直线ax+y−2=0经过定点M(0,2)，
动直线x−ay+4a−2=0即x−2+(−y+4)a=0，经过定点N(2,4)，
∵过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴PM⊥PN，∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=8．
故|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22=4 (当且仅当|PM|=|PN|=2时取“=”)．
故选：C．
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