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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第09讲向量应用(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第09讲向量应用(原卷版+解析)，共41页。
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：用向量证明线段垂直
考点二：用向量解决夹角问题
考点三：用向量解决线段的长度问题
考点四：向量在几何中的应用
考点五：向量在物理中的应用
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）平行问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点剖析】
考点一：用向量证明线段垂直
例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
考点二：用向量解决夹角问题
例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
考点三：用向量解决线段的长度问题
例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
考点四：向量在几何中的应用
例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.
例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
考点五：向量在物理中的应用
例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.
5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）
7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cs θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs（θ－45°）＝
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形
2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
3．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）
A．10B．C．2D．22
11．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
三、填空题
13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________
14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
15．(2023·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
16．(2023·江苏省江浦高级中学高一期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?
18．(2023·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．
19．(2023·全国·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
21．(2023·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
22．(2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
第09讲 向量应用
【学习目标】
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：用向量证明线段垂直
考点二：用向量解决夹角问题
考点三：用向量解决线段的长度问题
考点四：向量在几何中的应用
考点五：向量在物理中的应用
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）平行问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点剖析】
考点一：用向量证明线段垂直
例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【解析】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【解析】
因为，所以，即，故.
考点二：用向量解决夹角问题
例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
【解析】设，，取为基底，
且，，，为向量与的夹角．
∵为线段上一点，
∴可设，
∴，
而．
∴，
，，
∴，
所以或，又，
所以，
∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，．
例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
【解析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，
由题意知：，
故.
考点三：用向量解决线段的长度问题
例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
【解析】（1）设，，
则．
．故．
（2）因为
．
所以
例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【解析】证明:不妨设，，则，，
，，得①
同理②，
①②得：
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
得证.
考点四：向量在几何中的应用
例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.
【解析】证明：因为，
故，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
又，所以，故以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
【解析】(1)因为，，
所以．
(2)因为，所以，即，
而，，故不存在使，即不平行，
又，，故，
综上，四边形ABCD是等腰梯形．
考点五：向量在物理中的应用
例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
【解析】如图所示，设,分别表示点A和B处所受力，10N的重力用表示.
则由. 因为所以所以,.
所以A处所受力的大小为N, B处所受力的大小为N.
例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【解析】（1）船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
【解析】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.
拉力与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为；
支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
答案：
【解析】设AB的长为，因为，，所以
==+1+=1，
解得，所以AB的长为.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.
3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
答案：等腰直角三角形
【解析】由已知，得，，
∴，
∴，，
又，
∴是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.
答案：14
【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系
则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），
因为点E为BC的中点，且，
所以E（3，2），F（2，4），
故，
所以
故答案为：.
5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
答案：等腰三角形
【解析】因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）
答案：87
【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
故
故，解得，则学生的体重约为．
故答案为：.
7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
【解析】（1）如图，设点，所以，
因为与x轴正方向的夹角为45°，
所以，，故指令为.
（2）设，机器人最快在点处截住小球，
由题意知，即，
整理得，即，
所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.
设与的夹角为，易知，，，
所以，所以.
因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.
8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cs θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs（θ－45°）＝
【解析】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭， ,
∵ ，
∴,
即，
依题意得，解得 ，
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形
答案：A
【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，
∴向量与的平分线共线，
又由可知的平分线与对边垂直，
则△ABC是等腰三角形，即，
，∴，
∵，∴，
∴△ABC为等边三角形．
故选：A．
2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
答案：D
【解析】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．
3．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
答案：B
【解析】由得，
所以，∥，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又，所以．
所以四边形ABCD为矩形
故选：B
4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，.
作，使，.
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故两根绳子拉力的大小分别为，.
故选：C.
5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
答案：A
【解析】因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为
故选：D
二、多选题
9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
答案：ABC
【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）
A．10B．C．2D．22
答案：BC
【解析】设．则,
过点作于点，则，所以，可得，
过点作于点，则,
又由，所以，即.
故选：BC.
11．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
答案：AD
【解析】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
答案：ABD
【解析】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________
答案：
【解析】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
答案：
【解析】设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
15．(2023·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
答案：
【解析】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
16．(2023·江苏省江浦高级中学高一期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
答案：
【解析】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?
【解析】如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，
则由题意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小为，
故船行驶的方向与水流的方向成（即．
所以经过小时，该船的实际航程是千米．
18．(2023·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．
【解析】如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，其中，则，所以，
又由，所以，而，
所以的最大值为．
故答案为：； .
19．(2023·全国·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
【解析】（1）分别为中点，，，
；
，可设，
，又，，.
（2），，
由（1）知：，，
，则，.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
【解析】（1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度．
在中，，，所以．
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成．
（2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度．
所以有，
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．
图① 图②
21．(2023·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
【解析】（1）根据题意，画出示意图如下图所示
由题意可知， ，
所以三角形ABD为等边三角形，
则，又 ，
所以，
即为直角三角形，且 ，
所以，
所以 ；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，因为点是线段中点，所以，
则 ，
所以，
22．(2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
【解析】(1)由题意可得，，
，
.
因为，
故向量与向量的夹角为.
(2)
.
当时，取得最小值，且最小值为.
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：用向量证明线段垂直
考点二：用向量解决夹角问题
考点三：用向量解决线段的长度问题
考点四：向量在几何中的应用
考点五：向量在物理中的应用
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）平行问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点剖析】
考点一：用向量证明线段垂直
例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
考点二：用向量解决夹角问题
例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
考点三：用向量解决线段的长度问题
例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
考点四：向量在几何中的应用
例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.
例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
考点五：向量在物理中的应用
例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.
5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）
7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cs θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs（θ－45°）＝
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形
2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
3．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）
A．10B．C．2D．22
11．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
三、填空题
13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________
14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
15．(2023·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
16．(2023·江苏省江浦高级中学高一期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?
18．(2023·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．
19．(2023·全国·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
21．(2023·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
22．(2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
第09讲 向量应用
【学习目标】
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：用向量证明线段垂直
考点二：用向量解决夹角问题
考点三：用向量解决线段的长度问题
考点四：向量在几何中的应用
考点五：向量在物理中的应用
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）平行问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点剖析】
考点一：用向量证明线段垂直
例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【解析】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【解析】
因为，所以，即，故.
考点二：用向量解决夹角问题
例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
【解析】设，，取为基底，
且，，，为向量与的夹角．
∵为线段上一点，
∴可设，
∴，
而．
∴，
，，
∴，
所以或，又，
所以，
∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，．
例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
【解析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，
由题意知：，
故.
考点三：用向量解决线段的长度问题
例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
【解析】（1）设，，
则．
．故．
（2）因为
．
所以
例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【解析】证明:不妨设，，则，，
，，得①
同理②，
①②得：
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
得证.
考点四：向量在几何中的应用
例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.
【解析】证明：因为，
故，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
又，所以，故以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
【解析】(1)因为，，
所以．
(2)因为，所以，即，
而，，故不存在使，即不平行，
又，，故，
综上，四边形ABCD是等腰梯形．
考点五：向量在物理中的应用
例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
【解析】如图所示，设,分别表示点A和B处所受力，10N的重力用表示.
则由. 因为所以所以,.
所以A处所受力的大小为N, B处所受力的大小为N.
例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【解析】（1）船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
【解析】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.
拉力与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为；
支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
答案：
【解析】设AB的长为，因为，，所以
==+1+=1，
解得，所以AB的长为.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.
3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
答案：等腰直角三角形
【解析】由已知，得，，
∴，
∴，，
又，
∴是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.
答案：14
【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系
则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），
因为点E为BC的中点，且，
所以E（3，2），F（2，4），
故，
所以
故答案为：.
5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
答案：等腰三角形
【解析】因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）
答案：87
【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
故
故，解得，则学生的体重约为．
故答案为：.
7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
【解析】（1）如图，设点，所以，
因为与x轴正方向的夹角为45°，
所以，，故指令为.
（2）设，机器人最快在点处截住小球，
由题意知，即，
整理得，即，
所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.
设与的夹角为，易知，，，
所以，所以.
因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.
8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cs θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs（θ－45°）＝
【解析】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭， ,
∵ ，
∴,
即，
依题意得，解得 ，
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形
答案：A
【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，
∴向量与的平分线共线，
又由可知的平分线与对边垂直，
则△ABC是等腰三角形，即，
，∴，
∵，∴，
∴△ABC为等边三角形．
故选：A．
2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
答案：D
【解析】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．
3．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
答案：B
【解析】由得，
所以，∥，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又，所以．
所以四边形ABCD为矩形
故选：B
4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，.
作，使，.
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故两根绳子拉力的大小分别为，.
故选：C.
5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
答案：A
【解析】因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为
故选：D
二、多选题
9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
答案：ABC
【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）
A．10B．C．2D．22
答案：BC
【解析】设．则,
过点作于点，则，所以，可得，
过点作于点，则,
又由，所以，即.
故选：BC.
11．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
答案：AD
【解析】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
答案：ABD
【解析】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________
答案：
【解析】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
答案：
【解析】设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
15．(2023·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
答案：
【解析】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
16．(2023·江苏省江浦高级中学高一期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
答案：
【解析】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?
【解析】如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，
则由题意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小为，
故船行驶的方向与水流的方向成（即．
所以经过小时，该船的实际航程是千米．
18．(2023·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．
【解析】如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，其中，则，所以，
又由，所以，而，
所以的最大值为．
故答案为：； .
19．(2023·全国·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
【解析】（1）分别为中点，，，
；
，可设，
，又，，.
（2），，
由（1）知：，，
，则，.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
【解析】（1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度．
在中，，，所以．
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成．
（2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度．
所以有，
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．
图① 图②
21．(2023·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
【解析】（1）根据题意，画出示意图如下图所示
由题意可知， ，
所以三角形ABD为等边三角形，
则，又 ，
所以，
即为直角三角形，且 ，
所以，
所以 ；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，因为点是线段中点，所以，
则 ，
所以，
22．(2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
【解析】(1)由题意可得，，
，
.
因为，
故向量与向量的夹角为.
(2)
.
当时，取得最小值，且最小值为.
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