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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第9章平面向量综合测试卷(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第9章平面向量综合测试卷(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，设，，又，，则（ ）
A．B．C．D．
5．给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
6．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
7．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
8．已知为所在平面上的一点，且．若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
11．，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
12．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，若满足且，则___________．
14．已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．
15．如图，点O为内一点，且，，，则______
16．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
已知向量，，．
（1）若，，三点共线，求实数的值；
（2）若为锐角，求实数的取值范围．
18．（12分）
已知向量．
（1）已知，求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
19．（12分）
已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式．
20．（12分）
如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
21．（12分）
已知，是的中点
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
22．（12分）
如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求·的最小值．
第9章 平面向量综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
答案：B
【解析】因为平面向量与的夹角为，
所以，，
所以
，
故选：B
2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
3．己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
又，，
所以，
所以，
∴，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
4．在中，设，，又，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，，
， ，
，
故选：A
5．给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案：C
【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；
②正确．∵＝，∴||＝||且；
又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．
反之，若四边形是平行四边形，
则且与方向相同，因此＝；
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当时，与可以为任意向量，
满足λ＝μ，但与不一定共线．
故选：．
6．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
．
故选：C．
7．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
答案：C
【解析】∵是边的中点，
∴．
∵，
∴，
即．
∵与不共线，
∴且，
∴，
∴是等边三角形．
故选：C
8．已知为所在平面上的一点，且．若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
答案：B
【解析】因为，所以
，
所以，所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】由得：，又，
在方向上的投影为；在方向上的投影为．
故选：AC．
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
答案：BCD
【解析】对选项A，或时，比例式无意义，故错误；
对选项B，若，与共线，则一定有，故正确；
对选项C，若A，B，C三点共线，则在一条直线上，则都是共线向量，故正确；
对选项D，若向量，且，则，即，故正确；
故选：BCD
11．，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】由向量，是夹角为的单位向量，可得，
∵，，
∴，
∴不成立，故A错误；
，
∴，故B正确；
由，可得，故C错误；
，则，故D正确．
故选：BD．
12．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
答案：ABC
【解析】如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，故A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，（此时，即P与C重合时取最大值1），C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，如和，D错误．
故选：ABC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，若满足且，则___________．
答案：
【解析】设，
，
由于且，
所以，解得，
所以．
故答案为：
14．已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．
答案：
【解析】由题可知，
设，则，，
，
∴，即
故答案为：．
15．如图，点O为内一点，且，，，则______
答案：8
【解析】由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．
又，所以．
在中，，所以．
故答案为：8．
16．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
答案：
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，分别在线段、上，
设（），
则，
所以，
所以，
，
所以
，
设，则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
已知向量，，．
（1）若，，三点共线，求实数的值；
（2）若为锐角，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，，，
所以，，
因为，，三点共线，所以与共线，
所以，解得．
所以实数的值
（2）因为向量，，，
所以，，
因为为锐角，
所以且与不共线，即，解得且，
所以，实数的取值范围是
18．（12分）
已知向量．
（1）已知，求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【解析】（1）因为，所以，
故，
因为，所以向量与的夹角；
（2），
，
由于，
所以，
解得：或，
从而或．
19．（12分）
已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式．
【解析】（1）由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）由，得：，
代入，得：，消去，得：
20．（12分）
如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
【解析】（1）由，可得．
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即．
21．（12分）
已知，是的中点
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
【解析】（1）因为，所以，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令，则，所以，
设向量与向量的夹角为，
所以；
（2）因为，所以，
设，
所以，
当且仅当时，取得最小值．
22．（12分）
如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求·的最小值．
【解析】（1）由题意，
即，故，
因为Q为线段AP上一点，
设，又不共线，
所以，解得
所以；
（2），
由（1）知，，
，
所以
，
当时，，
所以的最小值为
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，设，，又，，则（ ）
A．B．C．D．
5．给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
6．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
7．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
8．已知为所在平面上的一点，且．若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
11．，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
12．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，若满足且，则___________．
14．已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．
15．如图，点O为内一点，且，，，则______
16．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
已知向量，，．
（1）若，，三点共线，求实数的值；
（2）若为锐角，求实数的取值范围．
18．（12分）
已知向量．
（1）已知，求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
19．（12分）
已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式．
20．（12分）
如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
21．（12分）
已知，是的中点
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
22．（12分）
如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求·的最小值．
第9章 平面向量综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
答案：B
【解析】因为平面向量与的夹角为，
所以，，
所以
，
故选：B
2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
3．己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
又，，
所以，
所以，
∴，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
4．在中，设，，又，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，，
， ，
，
故选：A
5．给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案：C
【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；
②正确．∵＝，∴||＝||且；
又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．
反之，若四边形是平行四边形，
则且与方向相同，因此＝；
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当时，与可以为任意向量，
满足λ＝μ，但与不一定共线．
故选：．
6．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
．
故选：C．
7．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
答案：C
【解析】∵是边的中点，
∴．
∵，
∴，
即．
∵与不共线，
∴且，
∴，
∴是等边三角形．
故选：C
8．已知为所在平面上的一点，且．若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
答案：B
【解析】因为，所以
，
所以，所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】由得：，又，
在方向上的投影为；在方向上的投影为．
故选：AC．
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
答案：BCD
【解析】对选项A，或时，比例式无意义，故错误；
对选项B，若，与共线，则一定有，故正确；
对选项C，若A，B，C三点共线，则在一条直线上，则都是共线向量，故正确；
对选项D，若向量，且，则，即，故正确；
故选：BCD
11．，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】由向量，是夹角为的单位向量，可得，
∵，，
∴，
∴不成立，故A错误；
，
∴，故B正确；
由，可得，故C错误；
，则，故D正确．
故选：BD．
12．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
答案：ABC
【解析】如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，故A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，（此时，即P与C重合时取最大值1），C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，如和，D错误．
故选：ABC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，若满足且，则___________．
答案：
【解析】设，
，
由于且，
所以，解得，
所以．
故答案为：
14．已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．
答案：
【解析】由题可知，
设，则，，
，
∴，即
故答案为：．
15．如图，点O为内一点，且，，，则______
答案：8
【解析】由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．
又，所以．
在中，，所以．
故答案为：8．
16．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
答案：
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，分别在线段、上，
设（），
则，
所以，
所以，
，
所以
，
设，则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
已知向量，，．
（1）若，，三点共线，求实数的值；
（2）若为锐角，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，，，
所以，，
因为，，三点共线，所以与共线，
所以，解得．
所以实数的值
（2）因为向量，，，
所以，，
因为为锐角，
所以且与不共线，即，解得且，
所以，实数的取值范围是
18．（12分）
已知向量．
（1）已知，求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【解析】（1）因为，所以，
故，
因为，所以向量与的夹角；
（2），
，
由于，
所以，
解得：或，
从而或．
19．（12分）
已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式．
【解析】（1）由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）由，得：，
代入，得：，消去，得：
20．（12分）
如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
【解析】（1）由，可得．
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即．
21．（12分）
已知，是的中点
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
【解析】（1）因为，所以，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令，则，所以，
设向量与向量的夹角为，
所以；
（2）因为，所以，
设，
所以，
当且仅当时，取得最小值．
22．（12分）
如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求·的最小值．
【解析】（1）由题意，
即，故，
因为Q为线段AP上一点，
设，又不共线，
所以，解得
所以；
（2），
由（1）知，，
，
所以
，
当时，，
所以的最小值为
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