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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第02讲一元二次函数、方程和不等式(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第02讲一元二次函数、方程和不等式(原卷版+解析)，共43页。
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．(2023·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（多选题）(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，给出下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（多选题）(2023·重庆·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
考点二：利用基本不等式求最值
例4．(2023·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．
例5．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
例6．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
例7．(2023·湖南·长郡中学高一期末）已知，，若，则的最大值为_________
例8．(2023·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
例9．(2023·广东珠海·高一期末）已知，且，则的最小值为__________.
例10．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若，，且，则的最小值为__________．
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例11．(2023·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例13．(2023·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
例14．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
例18．(2023·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
考点四：恒成立问题
例19．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
例20．(2023·重庆·高一期末）从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、，；
条件二、方程有两个实数根，；
条件三、，.
已知函数为二次函数，，， .
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
例21．(2023·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
考点五：二次函数根的分布问题
例22．(2023·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
例24．(2023·河南·高一期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________．
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．(2023·重庆南开中学高一阶段练习）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？
例26．(2023·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
例27．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销，每辆单车的营运累计收入（单位：元）与营运天数满足.
(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；
(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．(2023·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
4．（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
5．（2023·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
6．(2023·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
7．(2023·上海·高考真题（文））解不等式：．
8．(2023·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·青海玉树·高一期末）不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
2．(2023·湖北武汉·高一期末）关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
4．(2023·云南红河·高一期末）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·内蒙古赤峰·高一期末（文））若，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C．D．
6．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则的（ ）
A．最大值为9B．最小值为9
C．最大值为8D．最小值为8
7．(2023·四川资阳·高一期末）若，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（ ）
A．时，最小值是2
B．的最小值为
C．正数，满足，则的最大值为
D．，，，则的最小值为2
10．(2023·湖南·雅礼中学高一期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为D．最大值为2
12．(2023·福建·福州第十五中学高一期末）设，且，则( )
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于的方程的两根为，且，则实数 __．
14．(2023·天津南开·高一期末）不等式的解集是________.
15．(2023·上海市崇明中学高一期末）若，则的最小值为______．
16．(2023·湖北省汉川市第一高级中学高一期末），，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.
四、解答题
17．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：
(1)求函数的最小值；
(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.
18．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
19．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知函数
(1)若，解关于的不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的值．
20．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
21．(2023·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
22．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
第02讲 一元二次函数、方程和不等式
【学习目标】
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．(2023·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，，
则 ，
则，
∵ ，
∴ ．
又，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
例2．（多选题）(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，给出下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】对于A：，
因为，
所以，，
所以，即，故A错误，
对于B：，
因为，
所以，，
所以，即，故B正确，
对于C：当，时，，，
所以，故C错误，
对于D：，
因为，
所以，，
所以，即，故D正确，
故选：BD．
例3．（多选题）(2023·重庆·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
答案：ABC
【解析】对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
考点二：利用基本不等式求最值
例4．(2023·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．
答案：2
【解析】因为， 所以，
因为，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
例5．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
答案：
【解析】因为点在上，所以.
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
例6．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
答案：
【解析】因为且，，
当且仅当时取等号，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
例7．(2023·湖南·长郡中学高一期末）已知，，若，则的最大值为_________
答案：
【解析】正数，满足，
，即，
解得，
故，当且仅当时取等号．
的最大值为，
故答案为：4
例8．(2023·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
答案：17
【解析】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故答案为：17
例9．(2023·广东珠海·高一期末）已知，且，则的最小值为__________.
答案：
【解析】由，得，即.
因为 所以，,则
=
，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
例10．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若，，且，则的最小值为__________．
答案：
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例11．(2023·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
将代入方程得，
解得，
故选：C
例12．(2023·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
解得：.
故选：C.
例13．(2023·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
答案：A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
例14．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【解析】（1）可变形为，由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论
例15．当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
例16．当时，由已知可得，即，解得
综上两种情况，的取值范围是；
（2）不等式化为，
1､当时，解集为；
2､当时，解集为；
3､当时，解集为；
4､当时，解集为；
例17．当时，解集为.
例18．(2023·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以是方程的解，即，故的解为或，故；
（2），即，
当时，无解；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
考点四：恒成立问题
例19．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）即，
整理得，
解得：，
∴的解集为.
（2）∵，
即恒成立，
恒成立，
只需，
即，
解得：，所以m的取值范围为
例20．(2023·重庆·高一期末）从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、，；
条件二、方程有两个实数根，；
条件三、，.
已知函数为二次函数，，， .
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）选条件一：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件二：设
因为方程有两个实数根，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件三：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
（2）
对恒成立
对恒成立
当且仅当时取等号，
∴
所求实数k的取值范围为.
例21．(2023·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
（2）由题设，在上恒成立．
令，则对称轴 且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则．
②当时，开口向上，只需，即.
综上，．
考点五：二次函数根的分布问题
例22．(2023·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
例23．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
答案：-1【解析】令f(x)= x2+ax+a2-1,由题意得f(0)<0即a2-1<0∴-1例24．(2023·河南·高一期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________．
答案：
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．(2023·重庆南开中学高一阶段练习）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？
【解析】（1）总利润=总售价—总成本，
由题意可知：总售价为（万元），总成本为（万元），
所以总利润，
化简得：.
（2）当时，
，函数图像开口朝下，对称轴为，
故的最大值为（万元）；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，
则封装160万片时，公司可获得最大利润，最大利润为730（万元）.
例26．(2023·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
【解析】设画面的高为厘米，宽为厘米，
因为画面面积为，所以，所以，
纸张的面积的表达式，
所以，
当且仅当，即，且时等号成立，
所以画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是
例27．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销，每辆单车的营运累计收入（单位：元）与营运天数满足.
(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；
(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
【解析】（1）由题意可知：
，
所以每辆单车最多营运100天；
（2）由题意可知：，
，
当且仅当时取等号 ，即取等号，
每辆单车营运40天时，才能使每天的平均营运收入最大.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，解得或.
故选：C
2．(2023·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
3．(2023·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
答案：C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
4．（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
答案：
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5．（2023·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
答案：
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
6．(2023·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
【解析】（1）将代入方程，得，
解得，
所以；
（2）由（1）知，不等式即为，
可化为即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为解集为，
当时，不等式的解集为.
7．(2023·上海·高考真题（文））解不等式：．
【解析】将两边同乘6得，即.
所以.
故不等式的解集为.
8．(2023·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
答案：
【解析】不等式的解集为，则，解得；
不等式的解集不是空集，即，
故，解得或.
故答案为：；
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·青海玉树·高一期末）不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为不等式可化为，
解得：，所以不等式的解集为，
故选：.
2．(2023·湖北武汉·高一期末）关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，且，
所以，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故选：C
3．(2023·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
答案：C
【解析】对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
4．(2023·云南红河·高一期末）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
5．(2023·内蒙古赤峰·高一期末（文））若，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C．D．
答案：D
【解析】，，解得，当且仅当时取等号，故选项A错误；
，，当且仅当时取等号，故选项B错误；
由A可得，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
，当且仅当时取等号，故选项D正确；
故选：D
6．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则的（ ）
A．最大值为9B．最小值为9
C．最大值为8D．最小值为8
答案：B
【解析】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为9，无最大值.
故选：B
7．(2023·四川资阳·高一期末）若，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对，，
当时，则有恒成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．(2023·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（ ）
A．时，最小值是2
B．的最小值为
C．正数，满足，则的最大值为
D．，，，则的最小值为2
答案：CD
【解析】A. 时，，有最大值，无最小值.故选项A错误；
B. ，当且仅当时，等号成立，即.而，故无解，即该式无法取得等号. 故选项B错误；
C. 对于正数，，有，当且仅当时，取得等号，即.故选项C正确；
D. ，，，当且仅当时，取得等号，则.故选项D正确.
故选：CD
10．(2023·湖南·雅礼中学高一期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】因为不等式的解集是，
所以，且，
所以所以，，，
故AC正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，
所以当时，，故B正确．
故选：ABC．
11．(2023·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为D．最大值为2
答案：BC
【解析】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
12．(2023·福建·福州第十五中学高一期末）设，且，则( )
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；
对于B：，即，，故B错误；
对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
∵－3＝，∴，∴D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于的方程的两根为，且，则实数 __．
答案：
【解析】因为关于的方程的两根为，
所以，则有，
由韦达定理可知：，则，
又因为，所以，解得：，
故答案为：.
14．(2023·天津南开·高一期末）不等式的解集是________.
答案：或
【解析】因为，所以，
故，
解得或，
所以的解集是或.
故答案为：或.
15．(2023·上海市崇明中学高一期末）若，则的最小值为______．
答案：3
【解析】因为，
当且仅当时，即，等号成立，
所以的最小值为3.
即答案为:3.
16．(2023·湖北省汉川市第一高级中学高一期末），，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.
答案：
【解析】因为，，且，所以
又，当且仅当时，即时，等号成立；
所以的最小值为.
所以有，解得，
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：
(1)求函数的最小值；
(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.
答案：(1)8；
(2)
分析：
利用基本不等式求函数的最小值
易知，是方程的解，求出就可求出下一个不等式的解.
（1），当且仅当时，等号成立.故的最小值为8.
（2）因为关于的不等式的解集为，所以方程的实数根为和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集为.
18．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【解析】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
19．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知函数
(1)若，解关于的不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的值．
【解析】（1）当时，，
由得；，
解得；
（2）不等式的解集为，根据题意得，且，解得．
20．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
【解析】（1）的解集为或，
与是一元二次方程的两个实数根，
，解得．
（2），关于的不等式化为：，
因式分解为：，
当时，化为，则；
当时，，解得，不等式的解集为；
时，，解得不等式的解集为；
时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或．
21．(2023·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
【解析】（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以，、是方程的两个根，所以，，解得.
（2）由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为.
22．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．
【解析】(1)当时，原不等式可化为…①．
（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；
（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以．
综上，原不等式的解集为．
(2)依题意，．
因为，且二次函数开口向上，
所以当时，函数有且仅有一个零点．
所以时，函数恰有两个零点．
所以解得．
不妨设，所以，是方程的两相异实根，
则，所以．
因为是方程的根，且，
由求根公式得．
因为函数在上单调递增，
所以，所以．所以．所以a的取值范围是．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．(2023·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（多选题）(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，给出下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（多选题）(2023·重庆·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
考点二：利用基本不等式求最值
例4．(2023·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．
例5．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
例6．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
例7．(2023·湖南·长郡中学高一期末）已知，，若，则的最大值为_________
例8．(2023·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
例9．(2023·广东珠海·高一期末）已知，且，则的最小值为__________.
例10．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若，，且，则的最小值为__________．
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例11．(2023·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例13．(2023·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
例14．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
例18．(2023·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
考点四：恒成立问题
例19．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
例20．(2023·重庆·高一期末）从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、，；
条件二、方程有两个实数根，；
条件三、，.
已知函数为二次函数，，， .
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
例21．(2023·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
考点五：二次函数根的分布问题
例22．(2023·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
例24．(2023·河南·高一期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________．
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．(2023·重庆南开中学高一阶段练习）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？
例26．(2023·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
例27．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销，每辆单车的营运累计收入（单位：元）与营运天数满足.
(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；
(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．(2023·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
4．（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
5．（2023·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
6．(2023·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
7．(2023·上海·高考真题（文））解不等式：．
8．(2023·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·青海玉树·高一期末）不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
2．(2023·湖北武汉·高一期末）关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
4．(2023·云南红河·高一期末）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·内蒙古赤峰·高一期末（文））若，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C．D．
6．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则的（ ）
A．最大值为9B．最小值为9
C．最大值为8D．最小值为8
7．(2023·四川资阳·高一期末）若，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（ ）
A．时，最小值是2
B．的最小值为
C．正数，满足，则的最大值为
D．，，，则的最小值为2
10．(2023·湖南·雅礼中学高一期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为D．最大值为2
12．(2023·福建·福州第十五中学高一期末）设，且，则( )
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于的方程的两根为，且，则实数 __．
14．(2023·天津南开·高一期末）不等式的解集是________.
15．(2023·上海市崇明中学高一期末）若，则的最小值为______．
16．(2023·湖北省汉川市第一高级中学高一期末），，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.
四、解答题
17．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：
(1)求函数的最小值；
(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.
18．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
19．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知函数
(1)若，解关于的不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的值．
20．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
21．(2023·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
22．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
第02讲 一元二次函数、方程和不等式
【学习目标】
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．(2023·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，，
则 ，
则，
∵ ，
∴ ．
又，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
例2．（多选题）(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，给出下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】对于A：，
因为，
所以，，
所以，即，故A错误，
对于B：，
因为，
所以，，
所以，即，故B正确，
对于C：当，时，，，
所以，故C错误，
对于D：，
因为，
所以，，
所以，即，故D正确，
故选：BD．
例3．（多选题）(2023·重庆·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
答案：ABC
【解析】对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
考点二：利用基本不等式求最值
例4．(2023·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．
答案：2
【解析】因为， 所以，
因为，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
例5．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
答案：
【解析】因为点在上，所以.
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
例6．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
答案：
【解析】因为且，，
当且仅当时取等号，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
例7．(2023·湖南·长郡中学高一期末）已知，，若，则的最大值为_________
答案：
【解析】正数，满足，
，即，
解得，
故，当且仅当时取等号．
的最大值为，
故答案为：4
例8．(2023·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
答案：17
【解析】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故答案为：17
例9．(2023·广东珠海·高一期末）已知，且，则的最小值为__________.
答案：
【解析】由，得，即.
因为 所以，,则
=
，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
例10．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若，，且，则的最小值为__________．
答案：
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例11．(2023·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
将代入方程得，
解得，
故选：C
例12．(2023·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
解得：.
故选：C.
例13．(2023·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
答案：A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
例14．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【解析】（1）可变形为，由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论
例15．当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
例16．当时，由已知可得，即，解得
综上两种情况，的取值范围是；
（2）不等式化为，
1､当时，解集为；
2､当时，解集为；
3､当时，解集为；
4､当时，解集为；
例17．当时，解集为.
例18．(2023·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以是方程的解，即，故的解为或，故；
（2），即，
当时，无解；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
考点四：恒成立问题
例19．(2023·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）即，
整理得，
解得：，
∴的解集为.
（2）∵，
即恒成立，
恒成立，
只需，
即，
解得：，所以m的取值范围为
例20．(2023·重庆·高一期末）从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、，；
条件二、方程有两个实数根，；
条件三、，.
已知函数为二次函数，，， .
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）选条件一：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件二：设
因为方程有两个实数根，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件三：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
（2）
对恒成立
对恒成立
当且仅当时取等号，
∴
所求实数k的取值范围为.
例21．(2023·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
（2）由题设，在上恒成立．
令，则对称轴 且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则．
②当时，开口向上，只需，即.
综上，．
考点五：二次函数根的分布问题
例22．(2023·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
例23．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
答案：-1
答案：
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．(2023·重庆南开中学高一阶段练习）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？
【解析】（1）总利润=总售价—总成本，
由题意可知：总售价为（万元），总成本为（万元），
所以总利润，
化简得：.
（2）当时，
，函数图像开口朝下，对称轴为，
故的最大值为（万元）；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，
则封装160万片时，公司可获得最大利润，最大利润为730（万元）.
例26．(2023·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
【解析】设画面的高为厘米，宽为厘米，
因为画面面积为，所以，所以，
纸张的面积的表达式，
所以，
当且仅当，即，且时等号成立，
所以画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是
例27．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销，每辆单车的营运累计收入（单位：元）与营运天数满足.
(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；
(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
【解析】（1）由题意可知：
，
所以每辆单车最多营运100天；
（2）由题意可知：，
，
当且仅当时取等号 ，即取等号，
每辆单车营运40天时，才能使每天的平均营运收入最大.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，解得或.
故选：C
2．(2023·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
3．(2023·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
答案：C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
4．（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
答案：
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5．（2023·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
答案：
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
6．(2023·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
【解析】（1）将代入方程，得，
解得，
所以；
（2）由（1）知，不等式即为，
可化为即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为解集为，
当时，不等式的解集为.
7．(2023·上海·高考真题（文））解不等式：．
【解析】将两边同乘6得，即.
所以.
故不等式的解集为.
8．(2023·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
答案：
【解析】不等式的解集为，则，解得；
不等式的解集不是空集，即，
故，解得或.
故答案为：；
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·青海玉树·高一期末）不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为不等式可化为，
解得：，所以不等式的解集为，
故选：.
2．(2023·湖北武汉·高一期末）关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，且，
所以，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故选：C
3．(2023·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
答案：C
【解析】对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
4．(2023·云南红河·高一期末）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
5．(2023·内蒙古赤峰·高一期末（文））若，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C．D．
答案：D
【解析】，，解得，当且仅当时取等号，故选项A错误；
，，当且仅当时取等号，故选项B错误；
由A可得，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
，当且仅当时取等号，故选项D正确；
故选：D
6．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则的（ ）
A．最大值为9B．最小值为9
C．最大值为8D．最小值为8
答案：B
【解析】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为9，无最大值.
故选：B
7．(2023·四川资阳·高一期末）若，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对，，
当时，则有恒成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．(2023·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（ ）
A．时，最小值是2
B．的最小值为
C．正数，满足，则的最大值为
D．，，，则的最小值为2
答案：CD
【解析】A. 时，，有最大值，无最小值.故选项A错误；
B. ，当且仅当时，等号成立，即.而，故无解，即该式无法取得等号. 故选项B错误；
C. 对于正数，，有，当且仅当时，取得等号，即.故选项C正确；
D. ，，，当且仅当时，取得等号，则.故选项D正确.
故选：CD
10．(2023·湖南·雅礼中学高一期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】因为不等式的解集是，
所以，且，
所以所以，，，
故AC正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，
所以当时，，故B正确．
故选：ABC．
11．(2023·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为D．最大值为2
答案：BC
【解析】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
12．(2023·福建·福州第十五中学高一期末）设，且，则( )
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；
对于B：，即，，故B错误；
对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
∵－3＝，∴，∴D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于的方程的两根为，且，则实数 __．
答案：
【解析】因为关于的方程的两根为，
所以，则有，
由韦达定理可知：，则，
又因为，所以，解得：，
故答案为：.
14．(2023·天津南开·高一期末）不等式的解集是________.
答案：或
【解析】因为，所以，
故，
解得或，
所以的解集是或.
故答案为：或.
15．(2023·上海市崇明中学高一期末）若，则的最小值为______．
答案：3
【解析】因为，
当且仅当时，即，等号成立，
所以的最小值为3.
即答案为:3.
16．(2023·湖北省汉川市第一高级中学高一期末），，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.
答案：
【解析】因为，，且，所以
又，当且仅当时，即时，等号成立；
所以的最小值为.
所以有，解得，
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：
(1)求函数的最小值；
(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.
答案：(1)8；
(2)
分析：
利用基本不等式求函数的最小值
易知，是方程的解，求出就可求出下一个不等式的解.
（1），当且仅当时，等号成立.故的最小值为8.
（2）因为关于的不等式的解集为，所以方程的实数根为和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集为.
18．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【解析】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
19．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知函数
(1)若，解关于的不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的值．
【解析】（1）当时，，
由得；，
解得；
（2）不等式的解集为，根据题意得，且，解得．
20．(2023·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
【解析】（1）的解集为或，
与是一元二次方程的两个实数根，
，解得．
（2），关于的不等式化为：，
因式分解为：，
当时，化为，则；
当时，，解得，不等式的解集为；
时，，解得不等式的解集为；
时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或．
21．(2023·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
【解析】（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以，、是方程的两个根，所以，，解得.
（2）由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为.
22．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．
【解析】(1)当时，原不等式可化为…①．
（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；
（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以．
综上，原不等式的解集为．
(2)依题意，．
因为，且二次函数开口向上，
所以当时，函数有且仅有一个零点．
所以时，函数恰有两个零点．
所以解得．
不妨设，所以，是方程的两相异实根，
则，所以．
因为是方程的根，且，
由求根公式得．
因为函数在上单调递增，
所以，所以．所以．所以a的取值范围是．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
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