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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第15讲余弦定理、正弦定理的应用(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第15讲余弦定理、正弦定理的应用(原卷版+解析)，共60页。
1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；
2、了解常用的测量相关术语；
3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【考点目录】
考点一：判定三角形的形状
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
考点三：求三角形面积范围与最值问题
考点四：几何图形的计算
考点五：距离测量问题
考点六：高度测量问题
考点七：角度测量问题
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
【基础知识】
知识点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：判定三角形的形状
例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三：求三角形面积范围与最值问题
例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点四：几何图形的计算
例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.
(1)求的长以及四边形的面积；
(2)设，，求的值.
考点五：距离测量问题
例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.
考点六：高度测量问题
例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．
考点七：角度测量问题
例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．
(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；
(2)求面积S的最小值．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
3．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
10．(2023·湖南·高考真题（理）） 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cs∠CAD的值；
（2）若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考最据：）
A．9米B．57米C．54米D．51米
4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则
B．若满足，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A．B．40C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）
A．B．C．3D．6
10．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9]D．AD的最大值为
三、填空题
13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
14．(2023·青海·海东市教育研究室高一期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．
15．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
18．(2023·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
19．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求csB的值；
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为.
(1)若，求梯形的面积；
(2)写出的解析式；
(3)求的最小值.
22．(2023·江西·临川一中高一阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．
(1)若M在距离A点处，求的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
第15讲 余弦定理、正弦定理的应用
【学习目标】
1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；
2、了解常用的测量相关术语；
3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【考点目录】
考点一：判定三角形的形状
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
考点三：求三角形面积范围与最值问题
考点四：几何图形的计算
考点五：距离测量问题
考点六：高度测量问题
考点七：角度测量问题
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
【基础知识】
知识点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：判定三角形的形状
例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
答案：A
【解析】因为，所以
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，即是直角三角形.
故选：A
例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
【解析】由正弦定理及题意，得，
．
∵，∴，
∴或，
即或．
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，
所以，
即，
由正弦定理可得，
由余弦定理，
因为，所以，
由正弦定理，所以，
因为，所以，所以.
故选：A
例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
答案：A
【解析】因为是的中点，所以，
因为，，所以，
在中由正弦定理，有，
所以，．
所以
，（其中，，所以时，此时取得最大值为，所以的最大值为．
故选：A
例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】,
由正弦定理可得，
再由余弦定理可得，
,.
所以在锐角中，，
由正弦定理得：
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
故选：D.
考点三：求三角形面积范围与最值问题
例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
答案：C
【解析】，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当a2=3c2⇔c=83,a=83时取等号，
，
则．
故选：C．
例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
答案：A
【解析】，故，因为，所以，又，由余弦定理得：，由面积公式得：，由三角形三边关系得：，解得：，故当时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.
故选：A
例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，；
，，，解得：，
；
由正弦定理得：；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
.
故选：D.
考点四：几何图形的计算
例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【解析】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.
(1)求的长以及四边形的面积；
(2)设，，求的值.
【解析】(1)由余弦定理可得，
整理可得，因为，解得.
由圆内接四边形的性质可知，
所以，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，
因为，
所以，
.
(2)由余弦定理可得，
，则为锐角，为钝角，
所以，，，
则，，
因此，.
考点五：距离测量问题
例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
所以.
在中，，，
.
由正弦定理得（千米）.
所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.
例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.
【解析】根据题意，在中，，，，
所以由余弦定理得：，即；
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，在中，，，
所以，，即.
所以，景点与的距离大约为
考点六：高度测量问题
例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【解析】（1）在中，因为，所以，
则，所以，所以，
又，所以，
则；
（2）在中，因为，
所以米，
则中，米，
所以塔高AB为47米.
例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．
【解析】在中，因，则，
在，，则，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，，，则．
所以山高为.
考点七：角度测量问题
例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
【解析】由勾股定理得：，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以.
例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．
【解析】设护航舰靠近货船所需时间为t小时，营救地点为，可得，．
在△ABC中，由余弦定理可得，
∴，化简可得，
∴或（舍去）．∴护航舰需要1小时靠近货船．∴，BC＝20，
在△ABC中，根据正弦定理得：，
∴，为三角形内角，
∴，∴可得护航舰航行的方位角为75°，所需时间为1小时．
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．
(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；
(2)求面积S的最小值．
【解析】（1）由题意知，
．
（2）
．
当且仅当时，取“”．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【解析】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
答案：A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
答案：B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
3．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
答案：150
【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为150．
考点：正弦定理的应用．
5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】
解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）因为
；
（2）根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，故的最大值是．
9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
（1）由，根据正弦定理得
，
所以，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）
由△ABC为锐角的三角形知，
所以，，
，
由此有，
所以，的取值范围为
10．(2023·湖南·高考真题（理）） 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cs∠CAD的值；
（2）若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
答案：(1) (2)
【解析】
分析：
试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得；
(2)利用题意结合正弦定理可得：.
试题解析：
（I）在中，由余弦定理得
(II)设
在中，由正弦定理，
故
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
答案：C
【解析】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；
③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.
综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.
故选：C
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
答案：C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考最据：）
A．9米B．57米C．54米D．51米
答案：B
【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，
所以，则，
又，可得米.
故选：B
4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
答案：A
【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；
若，由正弦定理得，即，
，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；
例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；
时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．
故选：A．
5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则
B．若满足，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
答案：B
【解析】对于A：因为为等边三角形且边长为2，所以，故A错误；
对于B：因为，即，
所以，因为，所以，故B正确；
对于C：因为，可得，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于D：因为，即，即，
所以，则角为锐角，但角，角不确定，故D错误；
故选：B
6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在直角三角形ABM中，
在△ACM中，，
故
由正弦定理，，
故
在直角三角形CDM中，
，
∵
∴.
故选：D
7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，
，
故选：A
8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A．B．40C．D．
答案：B
【解析】由图所示：由题意可知：，，，
由正弦定理可知：，
所以，所以，
即此时，两船相距；
故选：B
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）
A．B．C．3D．6
答案：AB
【解析】
由题意设．
由余弦定理得，
解得或．
故选：AB.
10．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
答案：AB
【解析】画出示意图如图所示，由题意得，，，
所以，解得，
所以或．
当船在B处时，，所以；
当船在处时，，所以．
综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．
故选：AB.
11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
答案：AB
【解析】因为，
所以由正弦定理，得，
所以，
又因为，所以，所以
因为所以，
又因为，所以， 所以，
所以，因此A，B正确；
四边形面积等于
，
所以当即时，取最大值，
所以四边形面积的最大值为，
因此C，D错误
故选：AB
12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9]D．AD的最大值为
答案：ABD
【解析】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；
连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；
△ABC周长
因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，
所以，所以，故C错误；
易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
答案：
【解析】根据题意可得：，
在三角形中，，故可得，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，
在三角形中，，故可得.
即索菲亚教堂的高度为.
故答案为：.
14．(2023·青海·海东市教育研究室高一期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．
答案：30
【解析】如图，由题意得，，所以，
由正弦定理，得．
故答案为：
15．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
答案：
【解析】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理得，
而，，
故，
在中，利用余弦定理 ，即，
在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为.
故答案为：.
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．
答案：
【解析】由题意得，
所以，
因为，所以，所以，
由正弦定理得，
所以，，
则
．
因为是锐角三角形，所以，，又，
所以，即，
所以，所以，
故．
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
所以.
在中，，，
.
由正弦定理得（千米）.
所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.
18．(2023·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
【解析】（1）由余弦定理得：＝7
∴
（2）由正弦定理：得.
（3）如图所示：
过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，
∴，，在Rt中，=.
∴
∴
∴
19．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求csB的值；
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，因为，
所以由正弦定理得，所以，
所以由余弦定理得.
（2）假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，
上式两边平方得：，
所以，由于，
所以，，与矛盾，
故不存在满足B为直角.
20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为.
(1)若，求梯形的面积；
(2)写出的解析式；
(3)求的最小值.
【解析】（1）因为，在中，，
所以，所以，
又因为，
在中， 因为，所以，
所以，
所以，
即梯形的面积为.
（2）在中，，所以，，
又因为，所以，
在中，，所以，
所以，
又因为，，
所以，
即.
（3）由（2）得，因为
，
因为，所以，
所以当即时，有最小值，
又因为，
所以的最小值为
22．(2023·江西·临川一中高一阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．
(1)若M在距离A点处，求的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
【解析】（1）在中，其中，
，
在中，，
则.
（2），
在中，，
在中，，
，
因为，所以时面积最小，最小值为
1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；
2、了解常用的测量相关术语；
3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【考点目录】
考点一：判定三角形的形状
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
考点三：求三角形面积范围与最值问题
考点四：几何图形的计算
考点五：距离测量问题
考点六：高度测量问题
考点七：角度测量问题
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
【基础知识】
知识点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：判定三角形的形状
例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三：求三角形面积范围与最值问题
例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点四：几何图形的计算
例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.
(1)求的长以及四边形的面积；
(2)设，，求的值.
考点五：距离测量问题
例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.
考点六：高度测量问题
例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．
考点七：角度测量问题
例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．
(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；
(2)求面积S的最小值．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
3．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
10．(2023·湖南·高考真题（理）） 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cs∠CAD的值；
（2）若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考最据：）
A．9米B．57米C．54米D．51米
4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则
B．若满足，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A．B．40C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）
A．B．C．3D．6
10．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9]D．AD的最大值为
三、填空题
13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
14．(2023·青海·海东市教育研究室高一期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．
15．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
18．(2023·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
19．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求csB的值；
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为.
(1)若，求梯形的面积；
(2)写出的解析式；
(3)求的最小值.
22．(2023·江西·临川一中高一阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．
(1)若M在距离A点处，求的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
第15讲 余弦定理、正弦定理的应用
【学习目标】
1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；
2、了解常用的测量相关术语；
3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【考点目录】
考点一：判定三角形的形状
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
考点三：求三角形面积范围与最值问题
考点四：几何图形的计算
考点五：距离测量问题
考点六：高度测量问题
考点七：角度测量问题
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
【基础知识】
知识点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：判定三角形的形状
例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
答案：A
【解析】因为，所以
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，即是直角三角形.
故选：A
例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
【解析】由正弦定理及题意，得，
．
∵，∴，
∴或，
即或．
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D
考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题
例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，
所以，
即，
由正弦定理可得，
由余弦定理，
因为，所以，
由正弦定理，所以，
因为，所以，所以.
故选：A
例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
答案：A
【解析】因为是的中点，所以，
因为，，所以，
在中由正弦定理，有，
所以，．
所以
，（其中，，所以时，此时取得最大值为，所以的最大值为．
故选：A
例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】,
由正弦定理可得，
再由余弦定理可得，
,.
所以在锐角中，，
由正弦定理得：
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
故选：D.
考点三：求三角形面积范围与最值问题
例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
答案：C
【解析】，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当a2=3c2⇔c=83,a=83时取等号，
，
则．
故选：C．
例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
答案：A
【解析】，故，因为，所以，又，由余弦定理得：，由面积公式得：，由三角形三边关系得：，解得：，故当时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.
故选：A
例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，；
，，，解得：，
；
由正弦定理得：；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
.
故选：D.
考点四：几何图形的计算
例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【解析】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.
(1)求的长以及四边形的面积；
(2)设，，求的值.
【解析】(1)由余弦定理可得，
整理可得，因为，解得.
由圆内接四边形的性质可知，
所以，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，
因为，
所以，
.
(2)由余弦定理可得，
，则为锐角，为钝角，
所以，，，
则，，
因此，.
考点五：距离测量问题
例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
所以.
在中，，，
.
由正弦定理得（千米）.
所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.
例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.
【解析】根据题意，在中，，，，
所以由余弦定理得：，即；
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，在中，，，
所以，，即.
所以，景点与的距离大约为
考点六：高度测量问题
例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．
(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【解析】（1）在中，因为，所以，
则，所以，所以，
又，所以，
则；
（2）在中，因为，
所以米，
则中，米，
所以塔高AB为47米.
例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．
【解析】在中，因，则，
在，，则，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，，，则．
所以山高为.
考点七：角度测量问题
例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
【解析】由勾股定理得：，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以.
例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．
【解析】设护航舰靠近货船所需时间为t小时，营救地点为，可得，．
在△ABC中，由余弦定理可得，
∴，化简可得，
∴或（舍去）．∴护航舰需要1小时靠近货船．∴，BC＝20，
在△ABC中，根据正弦定理得：，
∴，为三角形内角，
∴，∴可得护航舰航行的方位角为75°，所需时间为1小时．
考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用
例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．
(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；
(2)求面积S的最小值．
【解析】（1）由题意知，
．
（2）
．
当且仅当时，取“”．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【解析】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
答案：A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
答案：B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
3．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
答案：150
【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为150．
考点：正弦定理的应用．
5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】
解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）因为
；
（2）根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，故的最大值是．
9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
（1）由，根据正弦定理得
，
所以，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）
由△ABC为锐角的三角形知，
所以，，
，
由此有，
所以，的取值范围为
10．(2023·湖南·高考真题（理）） 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cs∠CAD的值；
（2）若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
答案：(1) (2)
【解析】
分析：
试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得；
(2)利用题意结合正弦定理可得：.
试题解析：
（I）在中，由余弦定理得
(II)设
在中，由正弦定理，
故
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
答案：C
【解析】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；
③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.
综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.
故选：C
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
答案：C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考最据：）
A．9米B．57米C．54米D．51米
答案：B
【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，
所以，则，
又，可得米.
故选：B
4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
答案：A
【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；
若，由正弦定理得，即，
，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；
例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；
时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．
故选：A．
5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则
B．若满足，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
答案：B
【解析】对于A：因为为等边三角形且边长为2，所以，故A错误；
对于B：因为，即，
所以，因为，所以，故B正确；
对于C：因为，可得，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于D：因为，即，即，
所以，则角为锐角，但角，角不确定，故D错误；
故选：B
6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在直角三角形ABM中，
在△ACM中，，
故
由正弦定理，，
故
在直角三角形CDM中，
，
∵
∴.
故选：D
7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，
，
故选：A
8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A．B．40C．D．
答案：B
【解析】由图所示：由题意可知：，，，
由正弦定理可知：，
所以，所以，
即此时，两船相距；
故选：B
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）
A．B．C．3D．6
答案：AB
【解析】
由题意设．
由余弦定理得，
解得或．
故选：AB.
10．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
答案：AB
【解析】画出示意图如图所示，由题意得，，，
所以，解得，
所以或．
当船在B处时，，所以；
当船在处时，，所以．
综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．
故选：AB.
11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
答案：AB
【解析】因为，
所以由正弦定理，得，
所以，
又因为，所以，所以
因为所以，
又因为，所以， 所以，
所以，因此A，B正确；
四边形面积等于
，
所以当即时，取最大值，
所以四边形面积的最大值为，
因此C，D错误
故选：AB
12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9]D．AD的最大值为
答案：ABD
【解析】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；
连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；
△ABC周长
因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，
所以，所以，故C错误；
易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
答案：
【解析】根据题意可得：，
在三角形中，，故可得，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，
在三角形中，，故可得.
即索菲亚教堂的高度为.
故答案为：.
14．(2023·青海·海东市教育研究室高一期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．
答案：30
【解析】如图，由题意得，，所以，
由正弦定理，得．
故答案为：
15．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.
答案：
【解析】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理得，
而，，
故，
在中，利用余弦定理 ，即，
在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为.
故答案为：.
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．
答案：
【解析】由题意得，
所以，
因为，所以，所以，
由正弦定理得，
所以，，
则
．
因为是锐角三角形，所以，，又，
所以，即，
所以，所以，
故．
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
所以.
在中，，，
.
由正弦定理得（千米）.
所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.
18．(2023·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
【解析】（1）由余弦定理得：＝7
∴
（2）由正弦定理：得.
（3）如图所示：
过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，
∴，，在Rt中，=.
∴
∴
∴
19．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求csB的值；
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，因为，
所以由正弦定理得，所以，
所以由余弦定理得.
（2）假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，
上式两边平方得：，
所以，由于，
所以，，与矛盾，
故不存在满足B为直角.
20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为.
(1)若，求梯形的面积；
(2)写出的解析式；
(3)求的最小值.
【解析】（1）因为，在中，，
所以，所以，
又因为，
在中， 因为，所以，
所以，
所以，
即梯形的面积为.
（2）在中，，所以，，
又因为，所以，
在中，，所以，
所以，
又因为，，
所以，
即.
（3）由（2）得，因为
，
因为，所以，
所以当即时，有最小值，
又因为，
所以的最小值为
22．(2023·江西·临川一中高一阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．
(1)若M在距离A点处，求的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
【解析】（1）在中，其中，
，
在中，，
则.
（2），
在中，，
在中，，
，
因为，所以时面积最小，最小值为
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