【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第14讲正弦定理(原卷版+解析)

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1、会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题．
2、探究在任意三角形中， 边与其对角正弦的比值之间的关系．
【考点目录】
【基础知识】
知识点一、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
= 1 \* GB3 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点二、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
知识点三、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
知识点四：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：


一解 一解


两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
知识点五：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
【考点剖析】
考点一：正弦定理及辨析
例1．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．(2023·山东·临沭县教育和体育局高一期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·天津市求真高级中学高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．
考点二：正弦定理解三角形
例4．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（ ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①②B．②③C．②④D．②③④
例5．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，，则角的值是（ ）
A．B．C．D．或
例6．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）在△ABC中，D是边BC上的一点，，，，则（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
考点三：三角形解的个数问题
例7．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定
例8．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ）
A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定
例9．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（ ）
A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定
考点四：外接圆半径问题
例10．(2023·全国·高一课时练习）在中，，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．2D．4
例11．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．3
例12．(2023·湖南·长沙一中高一期末）在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
考点五：正弦定理边角互化的应用
例13．(2023·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
例14．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
例15．(2023·湖南衡阳·高一期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A．B．C．D．
考点六：面积公式的应用
例16．(2023·福建师大附中高一期末）已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________.
例17．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的面积为_________．
例18．(2023·上海市甘泉外国语中学高一期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求边、的长度；
(2)求的面积及其外接圆半径.
例19．(2023·上海·曹杨二中高一期末）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
例20．(2023·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，.
(1)求a；
(2)求的面积.
【真题演练】
1．（2023·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
2．(2023·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
3．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
4．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
5．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
6．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
7．（2023·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
8．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
9．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
10．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·天津南开·高一期末）已知中，，则（ ）
A．或B．C．D．或
2．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）已知中，，则B等于（ ）
A．或B．或C．D．
3．(2023·全国·高一课时练习）已知中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
4．(2023·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（ ）
A．B．C．D．或，
5．(2023·全国·高一课时练习）在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解
7．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
8．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．3D．
二、多选题
9．(2023·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·广东广州·高一期中）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若A>B，则
D．若，，则外接圆半径为10
11．(2023·安徽池州·高一期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为斜三角形，则
12．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·上海市甘泉外国语中学高一期末）中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则_____．
15．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．在中，已知，设P为的费马点，且满足，则的外接圆直径长为______．
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．
四、解答题
17．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求三角形的面积．
18．(2023·上海·格致中学高一期中）已知向量，向量，函数．
(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调区间；
(2)已知分别为内角、、的对边，且为锐角，，， 恰是在上的最大值，求的面积．
19．(2023·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，其中，，．
(1)求函数的单调递减区间．
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
20．(2023·浙江·高一期中）在中，角的对边分别为已知向量，，且．从①的面积，②角的平分线．这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答：
(1)求角的大小；
(2)若，且________，求的值．
21．(2023·福建省福州格致中学高一期末）在中，内角的对边分别为，且.
(1)若，求的面积.
(2)试问能否成立？若能成立，求此时的周长，若不能成立，请说明理由.
22．(2023·广东广州·高一期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值．
第14讲 正弦定理
【学习目标】
1、会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题．
2、探究在任意三角形中， 边与其对角正弦的比值之间的关系．
【考点目录】
【基础知识】
知识点一、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
= 1 \* GB3 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点二、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
知识点三、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
知识点四：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：


一解 一解


两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
知识点五：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
【考点剖析】
考点一：正弦定理及辨析
例1．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理，
∴，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
例2．(2023·山东·临沭县教育和体育局高一期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由正弦定理可得，则，，又，则.
故选：C.
例3．(2023·天津市求真高级中学高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．
答案：A
【解析】根据正弦定理，即，解得.
故选：A
考点二：正弦定理解三角形
例4．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（ ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①②B．②③C．②④D．②③④
答案：B
【解析】对于①，则或，故①不满足题意；对于②，则，故②满足题意；对于③，，则，，，∵，∴，∴，则角被唯一确定，故③满足题意；对于④，，，∵，∴如图所示，角不唯一，故④不满足题意．
故选：B．
例5．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，，则角的值是（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】，，，
，
，
或，
或.
故选：D
例6．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）在△ABC中，D是边BC上的一点，，，，则（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
答案：B
【解析】
如图所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
设，，
所以
设，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故选：B.
考点三：三角形解的个数问题
例7．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定
答案：C
【解析】由正弦定理，得，
得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
例8．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ）
A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定
答案：A
【解析】由正弦定理可得，又
所以，所以，
因为，所以 ,又
所以或
∴满足条件的三角形有2个．
故选：A.
例9．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（ ）
A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定
答案：C
【解析】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.
又因为，所以或，
故此三角形有两解，
故选：C.
考点四：外接圆半径问题
例10．(2023·全国·高一课时练习）在中，，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．2D．4
答案：C
【解析】因为，可得，
由正弦定理得外接圆的半径．
故选：C.
例11．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．3
答案：B
【解析】因为，，三角形的面积，
所以,即，解得，
由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得,解得.
故选：B.
例12．(2023·湖南·长沙一中高一期末）在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由及，得，
所以，即，
于是有，因为，所以，
所以外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为．
故选：B.
考点五：正弦定理边角互化的应用
例13．(2023·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在中，，
由正弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，因为，所以.
故选：D.
例14．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：B
【解析】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
例15．(2023·湖南衡阳·高一期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，则为锐角，且，
因为，由正弦定理可得.
故选：B.
考点六：面积公式的应用
例16．(2023·福建师大附中高一期末）已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________.
答案：
【解析】由及正弦定理可得，即，
∴
∵，∴
由的面积为，得
又∵，
∴，整理得，
∴.
故答案为：
例17．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的面积为_________．
答案：或
【解析】由得，
因为，，所以，所以或，
当时，；
当时，，
故答案为：或
例18．(2023·上海市甘泉外国语中学高一期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求边、的长度；
(2)求的面积及其外接圆半径.
【解析】（1）因为，所以在中，，
由正弦定理得：，也即，
所以；
（2）由三角形的面积公式可得：的面积，
由正弦定理可得：外接圆半径.
例19．(2023·上海·曹杨二中高一期末）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以.
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周长为．
例20．(2023·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，.
(1)求a；
(2)求的面积.
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得：，
解得或（不合题意，舍去）.
所以，.
（2）由（1）知，所以，
又，，所以，
所以.
所以的面积为.
【真题演练】
1．（2023·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
答案：A
【解析】，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
2．(2023·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
答案：.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
3．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
答案：
【解析】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
4．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【解析】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
5．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
6．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
7．（2023·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【解析】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
8．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
9．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
10．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·天津南开·高一期末）已知中，，则（ ）
A．或B．C．D．或
答案：B
【解析】因为在中，，所以，
所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，
所以，
所以.
故选：B.
2．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）已知中，，则B等于（ ）
A．或B．或C．D．
答案：A
【解析】中，因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以或.
故选：A.
3．(2023·全国·高一课时练习）已知中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
【解析】根据正弦定理，得，故，
因为，所以或，
又因为，所以，故.
故选：A.
4．(2023·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（ ）
A．B．C．D．或，
答案：B
【解析】根据题意，由正弦定理，可得:，
解得，故可得或，
由，可得，故.
故选:B.
5．(2023·全国·高一课时练习）在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在中，．
由正弦定理可知，所
以，
故．
故选：D.
6．(2023·全国·高一课时练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解
答案：A
【解析】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A
7．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
答案：C
【解析】由及正弦定理得，即①，
又，即②，
将②代入①可得即③，将③代入①得，
所以，从而为等边三角形，
故选：C
8．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．3D．
答案：A
【解析】由正弦定理得，∵，
∴
，
∵，∴，
∴，由正弦定理得，∴，
由余弦定理得，
解得，∴，∴．
故选：A．
二、多选题
9．(2023·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以AC错误，BD正确，
故选：BD
10．(2023·广东广州·高一期中）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若A>B，则
D．若，，则外接圆半径为10
答案：ABC
【解析】A.因为，，，
由余弦定理得：，解得，故A正确；
B.因为，，，由正弦定理得：，
解得，故B正确；
C.因为，所以，
由正弦定理，得(R为外接圆半径)，
所以，故C正确；
D.因为，，设R为外接圆半径，
由正弦定理，，所以，故D错误.
故选：ABC
11．(2023·安徽池州·高一期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为斜三角形，则
答案：ABD
【解析】对于A，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，根据正弦定理的单调性，
可得，所以，故A正确；
对于B，在中，由知，根据正弦定理可得，故B正确；
对于C，由正弦定理知，，则
可得，故或，
是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，在中，可得则，
所以，即，
可得，故D正确.
故选：ABD.
12．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【解析】由正弦定理可得，即
又，所以
因为，所以或.
所以或
故选：CD
三、填空题
13．(2023·上海市甘泉外国语中学高一期末）中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.
答案：等腰三角形
【解析】因为，所以由正弦定理可得，
又在中,
所以，
所以即，
由，故，则此三角形的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则_____．
答案：
【解析】由正弦定理可得，即
故答案为:
15．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．在中，已知，设P为的费马点，且满足，则的外接圆直径长为______．
答案：
【解析】，
，
在中，，故，
在中，由正弦定理得，则，
，
，
在中，由余弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
故的外接圆直径长为．
故答案为：．
16．(2023·全国·高一课时练习）在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．
答案：
【解析】由可得
因为，所以
要使三角形有两解，所以且
所以，即，解得，
故答案为：
四、解答题
17．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求三角形的面积．
【解析】（1）∵，
∴，
，
∵，∴，
又，∴，∵，∴；
（2）∵，
∴，
∴；
18．(2023·上海·格致中学高一期中）已知向量，向量，函数．
(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调区间；
(2)已知分别为内角、、的对边，且为锐角，，， 恰是在上的最大值，求的面积．
【解析】（1）因为向量，向量，函数，
所以
所以函数的最小正周期.
令，因为，所以.
因为在上递增，在上单减，
所以在上递增，在上单减.
（2）由题意及（1）中的单调性，可得：.
在中，，，由正弦定理得：，解得：.
所以或.
当时，,所以的面积;
当时，,所以的面积.
故的面积为或.
19．(2023·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，其中，，．
(1)求函数的单调递减区间．
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
【解析】（1）
，
由题意有，
解得
所以单调递减区间为；
（2），
，
，
与向量共线，
，
.
20．(2023·浙江·高一期中）在中，角的对边分别为已知向量，，且．从①的面积，②角的平分线．这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答：
(1)求角的大小；
(2)若，且________，求的值．
【解析】（1）因为，，且，
所以,即，于是有，
因为，所以，所以,解得.
所以角的大小为.
（2）选①，由（1）知，，因为，，
所以，解得，
由余弦定理，得,解得，
由正弦定理，得,
因为，所以.
.
所以.
选②，由（1）知，，因为是角的平分线，所以.
在中,由余弦定理及，，得，解得.
在中,由正弦定理，得,
在中,由余弦定理,得.
所以.
21．(2023·福建省福州格致中学高一期末）在中，内角的对边分别为，且.
(1)若，求的面积.
(2)试问能否成立？若能成立，求此时的周长，若不能成立，请说明理由.
【解析】（1），∴，∴，
由正弦定理得，，∴，
∴；
（2）假设成立，则，
∵，∴，
即，解得或（舍），
则有，不满足，故不成立.
22．(2023·广东广州·高一期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值．
【解析】（1）∵，则为锐角，∴，
，则，在中，由正弦定理得，
，解得．
（2）∵，故，，
由余弦定理可得
，
在中，由正弦定理可得，
故，
在中，由正弦定理可得，
故，
∵，
∴