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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第08讲向量基本定理及坐标表示(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第08讲向量基本定理及坐标表示(原卷版+解析)，共48页。
1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【考点剖析】
考点一：平面向量基本定理
例1．(2023·新疆喀什·高一期中）如图，点、分别是中（靠近）、（靠近）边上的三等分点，已知，，求：
（1）用与表示；
（2）用与表示．
例2．(2023·福建·厦门一中高一阶段练习）如图，在△ABC中，，，，已知，，CD与AE交于点O．
（1）求的值；
（2）若，求的值
例3．(2023·广东·深圳中学高一期中）如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．
（1）用和表示；
（2）求．
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．(2023·全国·高一课时练习）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
例5．(2023·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
（1）以，为基底表示；
（2）求证：M、N、C三点共线．
例6．(2023·上海闵行·高一期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
考点三：平面向量的坐标运算
例7．(2023·湖北宜昌·高一阶段练习）已知点，向量，则（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点P在边上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
考点四：平面向量平行的坐标表示
例10．(2023·陕西渭南·高一期末）设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
例11．(2023·山东·费县实验中学高一期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
例14．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
例15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
考点六：平面向量数量积的综合应用
例16．(2023·浙江杭州·高一期中）在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．
例17．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一阶段练习）在中，，D是的中点，若向量，且的终点M在的内部（不含边界），则的取值范围是___________．
例18．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例19．如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
3．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．(2023·山东·高考真题（理））设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且．设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
6．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
8．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点．若，则的值是_____．
9．(2023·江西·高考真题（文））已知向量，则的最大值为___________．
10．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东东营·高一期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
5．(2023·全国·高一课时练习）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．12C．4D．16
6．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·山西忻州·高一期末）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
10．(2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
11．(2023·山东东营·高一期末）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
12．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
三、填空题
13．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______．
14．(2023·山东聊城·高一期末）在中，是中点，，与交于，若，则___________．
15．(2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________．
16．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高一期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________．
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
18．(2023·上海市浦东中学高一期末）设，是两个不共线的非零向量，．
（1）记，那么当实数为何值时，三点共线；
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?
19．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，在梯形中，，且，设．
（1）试用和表示；
（2）若点满足，且三点共线，求实数的值．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标．
21．(2023·全国·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
（1）求与的面积之比；
（2）若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答．
①；②；③．
22．(2023·河北邯郸·高一期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，．
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围．
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）
第08讲 向量基本定理及坐标表示
【学习目标】
1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【考点剖析】
考点一：平面向量基本定理
例1．(2023·新疆喀什·高一期中）如图，点、分别是中（靠近）、（靠近）边上的三等分点，已知，，求：
（1）用与表示；
（2）用与表示．
【解析】（1）∵、分别为、边上的三等分点，
∴，，
又∵，，
∴；
（2）∵、分别为、边上的三等分点，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
例2．(2023·福建·厦门一中高一阶段练习）如图，在△ABC中，，，，已知，，CD与AE交于点O．
（1）求的值；
（2）若，求的值
【解析】（1），
，
则．
（2）设，在中，有，则，即，
则，即
而，则
又，则
例3．(2023·广东·深圳中学高一期中）如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．
（1）用和表示；
（2）求．
【解析】（1）由题意可知，因为，所以．
又因为M为上靠近B的三等分点，所以．
．
．
（2）因为交于，由（1）知，，
所以，
因为三点共线，所以，解得，
所以，即，于是有．
所以．
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．(2023·全国·高一课时练习）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
【解析】因为，，，
所以，
所以与共线．
又因为与公共点A，
所以A，B，D三点共线．
例5．(2023·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
（1）以，为基底表示；
（2）求证：M、N、C三点共线．
【解析】（1）
；
（2）证明：∵，
，
∴，
∴
且与有公共点，
所以、、三点共线．
例6．(2023·上海闵行·高一期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
【解析】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，则，
，，
所以，，，．
（2）由（1）知，，，于是有，
所以B，E，F三点共线．
考点三：平面向量的坐标运算
例7．(2023·湖北宜昌·高一阶段练习）已知点，向量，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，所以．
故选：D．
例8．(2023·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为点是线段AB的中点，
所以，设，
所以，解得，
所以点的坐标是．
故选：B
例9．(2023·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点P在边上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
【解析】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，
则．
因为，
所以，消去，得，
因为，，所以，
当且仅当时等号成立．
故的最小值为．
故选：D
考点四：平面向量平行的坐标表示
例10．(2023·陕西渭南·高一期末）设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
答案：D
【解析】因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以．
故选：D
例11．(2023·山东·费县实验中学高一期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，由，
因为，所以，
因为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
故选：A
例12．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，，且，
所以，解得．
所以，
所以在上的投影向量为．
故选：C
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
（1）因为，，所以．
（2）因为，，所以，
所以．
（3）因为，，所以，
所以．
例14．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
【解析】
（1）已知，，，，，
．
（2），，，
，，在上的投影为
上的单位向量为
在上的投影向量为．
例15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】
解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
考点六：平面向量数量积的综合应用
例16．(2023·浙江杭州·高一期中）在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．
答案：
【解析】根据题意，建立如图直角坐标系，
此时
设点
故其最大值为1，最小值为0．
故答案为：．
例17．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一阶段练习）在中，，D是的中点，若向量，且的终点M在的内部（不含边界），则的取值范围是___________．
答案：
【解析】以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则．由题意知且，解得，所以．
例18．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是．
故选：B
例19．如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________．
答案：
【解析】
由，
则，，
建立如图所示坐标系，则，，
设，，
由知，
，
化简得：，，
则
，其中，
则当时，最大值为．
故答案为：．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【解析】因为，所以．
故选：D
2．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
答案：C
【解析】，，即，解得，
故选：C
3．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
4．(2023·山东·高考真题（理））设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题可知：，
即．
故选：D．
5．(2023·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且．设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，
又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则，，
又因为，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
6．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
答案：
【解析】由题意知：，解得．
故答案为：．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
答案：
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
8．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点．若，则的值是_____．
答案：．
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA，AO=OD．
，
得即故．
9．(2023·江西·高考真题（文））已知向量，则的最大值为___________．
答案：
【解析】∵，
∴，
则当时，取最大值．
故答案为：．
10．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
答案： 0 3
【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
．
故答案为：0；3．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解析：
．
故选：C．
2．(2023·山东东营·高一期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，
故，所以
故选：C
3．(2023·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为与平行，
所以存在实数，使得，即，
又为不共线，
所以，解得．
故选：B．
4．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
答案：B
【解析】由知：且，则，可得，即，
由知：，可得，即，
所以，故．
故选：B
5．(2023·全国·高一课时练习）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．12C．4D．16
答案：C
【解析】连接，
因为，故，故，
故，
而三点共线，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，
故选：C
6．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
由题意，且，而，
所以，即，
由已知，，则．
故选：D
7．(2023·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由得
因为点是的中点，所以
由三点共线知，存在实数，满足，
由三点共线知，存在实数，满足，
所以，又因为为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，即，
所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；
，故C不正确．
故选：B．
8．(2023·山西忻州·高一期末）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
【解析】，因为，分别为，的中点，所以，
又，所以，解得
故选：D
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
答案：ABD
【解析】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确；
对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确；
对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确；
对于D选项，，
，
当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确．
故选：ABD
10．(2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
答案：CD
【解析】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以．
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为2，故D正确．
故选：CD．
11．(2023·山东东营·高一期末）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
答案：ABC
【解析】如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，故A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，（此时，即P与C重合时取最大值1），C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，如和，D错误．
故选：ABC．
12．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
答案：CD
【解析】对于A，由两边平方得：，而是非零向量，则与共线且反向，A正确；
对于B，，且有，则，不能作为平面内所有向量的一个基底，B正确；
对于C，向量，向量在向量上的投影向量是，C错误；
对于D，，是非零向量，作，因，则是正三角形，如图，
取线段中点，则，有，即与的夹角是，D错误．
故选：CD
三、填空题
13．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______．
答案：
【解析】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为．
故答案为：．
14．(2023·山东聊城·高一期末）在中，是中点，，与交于，若，则___________．
答案：
【解析】设，
所以，，
，
因为，
所以，，解得．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________．
答案：
【解析】因为，分别为线段，的中点，
所以，
，
，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以的值为．
故答案为：．
16．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高一期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________．
答案：8
【解析】设，，则，
所以，，
于是．
当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，，，
∴
∴；
（2）因为，
所以．
18．(2023·上海市浦东中学高一期末）设，是两个不共线的非零向量，．
（1）记，那么当实数为何值时，三点共线；
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?
【解析】（1），，因为三点共线，所以，所以，，
则解得．
（2）因为且与夹角为°，所以
所以当时，的值最小．
19．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，在梯形中，，且，设．
（1）试用和表示；
（2）若点满足，且三点共线，求实数的值．
【解析】（1），，，
，
则整理得：．
（2），，三点共线，
．
，，
，
又．
．
，解得，．
．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标．
【解析】由题意设，则，所以，，，
从而．
所以当时，取得最小值．此时．
故答案为：
21．(2023·全国·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
（1）求与的面积之比；
（2）若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答．
①；②；③．
【解析】（1）由，可知三点共线．
设．
则．
所以，即为靠近点的四等分点，
所以，．
（2）①②③对应的条件都是为的中点，
由，得．
因为与三点分别共线，
所以，，解得．
故
22．(2023·河北邯郸·高一期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，．
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）
，
所以；
因为，所以
，
所以；
（2）
，
所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为．运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）
1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【考点剖析】
考点一：平面向量基本定理
例1．(2023·新疆喀什·高一期中）如图，点、分别是中（靠近）、（靠近）边上的三等分点，已知，，求：
（1）用与表示；
（2）用与表示．
例2．(2023·福建·厦门一中高一阶段练习）如图，在△ABC中，，，，已知，，CD与AE交于点O．
（1）求的值；
（2）若，求的值
例3．(2023·广东·深圳中学高一期中）如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．
（1）用和表示；
（2）求．
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．(2023·全国·高一课时练习）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
例5．(2023·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
（1）以，为基底表示；
（2）求证：M、N、C三点共线．
例6．(2023·上海闵行·高一期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
考点三：平面向量的坐标运算
例7．(2023·湖北宜昌·高一阶段练习）已知点，向量，则（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点P在边上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
考点四：平面向量平行的坐标表示
例10．(2023·陕西渭南·高一期末）设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
例11．(2023·山东·费县实验中学高一期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
例14．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
例15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
考点六：平面向量数量积的综合应用
例16．(2023·浙江杭州·高一期中）在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．
例17．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一阶段练习）在中，，D是的中点，若向量，且的终点M在的内部（不含边界），则的取值范围是___________．
例18．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例19．如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
3．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．(2023·山东·高考真题（理））设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且．设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
6．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
8．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点．若，则的值是_____．
9．(2023·江西·高考真题（文））已知向量，则的最大值为___________．
10．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东东营·高一期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
5．(2023·全国·高一课时练习）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．12C．4D．16
6．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·山西忻州·高一期末）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
10．(2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
11．(2023·山东东营·高一期末）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
12．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
三、填空题
13．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______．
14．(2023·山东聊城·高一期末）在中，是中点，，与交于，若，则___________．
15．(2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________．
16．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高一期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________．
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
18．(2023·上海市浦东中学高一期末）设，是两个不共线的非零向量，．
（1）记，那么当实数为何值时，三点共线；
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?
19．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，在梯形中，，且，设．
（1）试用和表示；
（2）若点满足，且三点共线，求实数的值．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标．
21．(2023·全国·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
（1）求与的面积之比；
（2）若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答．
①；②；③．
22．(2023·河北邯郸·高一期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，．
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围．
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）
第08讲 向量基本定理及坐标表示
【学习目标】
1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【考点剖析】
考点一：平面向量基本定理
例1．(2023·新疆喀什·高一期中）如图，点、分别是中（靠近）、（靠近）边上的三等分点，已知，，求：
（1）用与表示；
（2）用与表示．
【解析】（1）∵、分别为、边上的三等分点，
∴，，
又∵，，
∴；
（2）∵、分别为、边上的三等分点，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
例2．(2023·福建·厦门一中高一阶段练习）如图，在△ABC中，，，，已知，，CD与AE交于点O．
（1）求的值；
（2）若，求的值
【解析】（1），
，
则．
（2）设，在中，有，则，即，
则，即
而，则
又，则
例3．(2023·广东·深圳中学高一期中）如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．
（1）用和表示；
（2）求．
【解析】（1）由题意可知，因为，所以．
又因为M为上靠近B的三等分点，所以．
．
．
（2）因为交于，由（1）知，，
所以，
因为三点共线，所以，解得，
所以，即，于是有．
所以．
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．(2023·全国·高一课时练习）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
【解析】因为，，，
所以，
所以与共线．
又因为与公共点A，
所以A，B，D三点共线．
例5．(2023·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
（1）以，为基底表示；
（2）求证：M、N、C三点共线．
【解析】（1）
；
（2）证明：∵，
，
∴，
∴
且与有公共点，
所以、、三点共线．
例6．(2023·上海闵行·高一期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
【解析】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，则，
，，
所以，，，．
（2）由（1）知，，，于是有，
所以B，E，F三点共线．
考点三：平面向量的坐标运算
例7．(2023·湖北宜昌·高一阶段练习）已知点，向量，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，所以．
故选：D．
例8．(2023·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为点是线段AB的中点，
所以，设，
所以，解得，
所以点的坐标是．
故选：B
例9．(2023·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点P在边上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
【解析】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，
则．
因为，
所以，消去，得，
因为，，所以，
当且仅当时等号成立．
故的最小值为．
故选：D
考点四：平面向量平行的坐标表示
例10．(2023·陕西渭南·高一期末）设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
答案：D
【解析】因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以．
故选：D
例11．(2023·山东·费县实验中学高一期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，由，
因为，所以，
因为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
故选：A
例12．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，，且，
所以，解得．
所以，
所以在上的投影向量为．
故选：C
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
（1）因为，，所以．
（2）因为，，所以，
所以．
（3）因为，，所以，
所以．
例14．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
【解析】
（1）已知，，，，，
．
（2），，，
，，在上的投影为
上的单位向量为
在上的投影向量为．
例15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】
解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
考点六：平面向量数量积的综合应用
例16．(2023·浙江杭州·高一期中）在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．
答案：
【解析】根据题意，建立如图直角坐标系，
此时
设点
故其最大值为1，最小值为0．
故答案为：．
例17．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一阶段练习）在中，，D是的中点，若向量，且的终点M在的内部（不含边界），则的取值范围是___________．
答案：
【解析】以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则．由题意知且，解得，所以．
例18．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是．
故选：B
例19．如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________．
答案：
【解析】
由，
则，，
建立如图所示坐标系，则，，
设，，
由知，
，
化简得：，，
则
，其中，
则当时，最大值为．
故答案为：．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【解析】因为，所以．
故选：D
2．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
答案：C
【解析】，，即，解得，
故选：C
3．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
4．(2023·山东·高考真题（理））设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题可知：，
即．
故选：D．
5．(2023·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且．设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，
又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则，，
又因为，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
6．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
答案：
【解析】由题意知：，解得．
故答案为：．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
答案：
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
8．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点．若，则的值是_____．
答案：．
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA，AO=OD．
，
得即故．
9．(2023·江西·高考真题（文））已知向量，则的最大值为___________．
答案：
【解析】∵，
∴，
则当时，取最大值．
故答案为：．
10．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
答案： 0 3
【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
．
故答案为：0；3．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解析：
．
故选：C．
2．(2023·山东东营·高一期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，
故，所以
故选：C
3．(2023·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为与平行，
所以存在实数，使得，即，
又为不共线，
所以，解得．
故选：B．
4．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
答案：B
【解析】由知：且，则，可得，即，
由知：，可得，即，
所以，故．
故选：B
5．(2023·全国·高一课时练习）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．12C．4D．16
答案：C
【解析】连接，
因为，故，故，
故，
而三点共线，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，
故选：C
6．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
由题意，且，而，
所以，即，
由已知，，则．
故选：D
7．(2023·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由得
因为点是的中点，所以
由三点共线知，存在实数，满足，
由三点共线知，存在实数，满足，
所以，又因为为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，即，
所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；
，故C不正确．
故选：B．
8．(2023·山西忻州·高一期末）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
【解析】，因为，分别为，的中点，所以，
又，所以，解得
故选：D
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
答案：ABD
【解析】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确；
对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确；
对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确；
对于D选项，，
，
当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确．
故选：ABD
10．(2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
答案：CD
【解析】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以．
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为2，故D正确．
故选：CD．
11．(2023·山东东营·高一期末）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
答案：ABC
【解析】如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，故A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，（此时，即P与C重合时取最大值1），C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，如和，D错误．
故选：ABC．
12．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）下列说法中错误的有（ ）
A．两个非零向量，若，则与共线且反向
B．已知不能作为平面内所有向量的一个基底
C．已知向量，向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
答案：CD
【解析】对于A，由两边平方得：，而是非零向量，则与共线且反向，A正确；
对于B，，且有，则，不能作为平面内所有向量的一个基底，B正确；
对于C，向量，向量在向量上的投影向量是，C错误；
对于D，，是非零向量，作，因，则是正三角形，如图，
取线段中点，则，有，即与的夹角是，D错误．
故选：CD
三、填空题
13．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______．
答案：
【解析】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为．
故答案为：．
14．(2023·山东聊城·高一期末）在中，是中点，，与交于，若，则___________．
答案：
【解析】设，
所以，，
，
因为，
所以，，解得．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________．
答案：
【解析】因为，分别为线段，的中点，
所以，
，
，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以的值为．
故答案为：．
16．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高一期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________．
答案：8
【解析】设，，则，
所以，，
于是．
当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，，，
∴
∴；
（2）因为，
所以．
18．(2023·上海市浦东中学高一期末）设，是两个不共线的非零向量，．
（1）记，那么当实数为何值时，三点共线；
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?
【解析】（1），，因为三点共线，所以，所以，，
则解得．
（2）因为且与夹角为°，所以
所以当时，的值最小．
19．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，在梯形中，，且，设．
（1）试用和表示；
（2）若点满足，且三点共线，求实数的值．
【解析】（1），，，
，
则整理得：．
（2），，三点共线，
．
，，
，
又．
．
，解得，．
．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标．
【解析】由题意设，则，所以，，，
从而．
所以当时，取得最小值．此时．
故答案为：
21．(2023·全国·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
（1）求与的面积之比；
（2）若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答．
①；②；③．
【解析】（1）由，可知三点共线．
设．
则．
所以，即为靠近点的四等分点，
所以，．
（2）①②③对应的条件都是为的中点，
由，得．
因为与三点分别共线，
所以，，解得．
故
22．(2023·河北邯郸·高一期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，．
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）
，
所以；
因为，所以
，
所以；
（2）
，
所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为．运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）
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