【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第10章三角恒等变换综合测试卷(原卷版+解析)

这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第10章三角恒等变换综合测试卷(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．－B．1C．D．2
2．已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，给出以下四个命题：
①的最小正周期为；
②在上的值域为；
③的图象关于点中心对称；
④的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
10．方程在区间上有解，则解可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个零点
C．是曲线的一个对称中心
D．当时，函数取得极值
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______.
14．计算：____________．
15．写出一个使等式成立的的值为_______.
16．若，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
18．（12分）
如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
(1)设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
(2)求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
19．（12分）
已知函数.
(1)求的最大值及对应的取值集合；
(2)若函数在上有且只有两个零点，求的取值范围.
20．（12分）
已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的最小值．
21．（12分）
已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.
22．（12分）
已知函数.
(1)求函数的严格单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
(3)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
第10章 三角恒等变换综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．－B．1C．D．2
答案：A
【解析】原式＝
.
故选：A.
2．已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知得，，则原式
.
故选：D
3．已知，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，解得，
由于，所以，，
.
.
故选：C
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，可得
由，可得，
又，则
则
故选：C
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得，所以，
所以，
所以，其中，
所以，则，
所以，
所以
.
故选:D.
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以.
故.
故选：C.
7．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8．已知函数，给出以下四个命题：
①的最小正周期为；
②在上的值域为；
③的图象关于点中心对称；
④的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
对于①：因为，所以周期为，即①正确；
对于②：因为，所以，
所以，，
则的值域为，即②错误；
对于③：因为，
所以的图象不关于点中心对称，即③错误；
对于④：因为为的最大值，
所以的图象关于直线对称，即④正确；
所以正确命题为①④，共2个正确命题.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】设，则，
所以，解得或.
故选：AD.
10．方程在区间上有解，则解可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】因为，
所以，即，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误.
故选：AC.
11．已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】为第一象限角，，则，，
故可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则，
为第三象限角，，则，
故只可能为第三象限角，则，
，
当时，，
当时，.
故选：BD.
12．已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个零点
C．是曲线的一个对称中心
D．当时，函数取得极值
答案：AB
【解析】，
，
对于 恒成立
，解得，
对于A，，，在上单调递减，故在区间单调递减，A正确；
对于B，，，在上有两个零点，故在区间有两个零点，B正确；
对于C，，故不是曲线的对称中心，C错误；
对于D，，故当时，函数不取极值，D错误；
故选：AB.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______.
答案：
【解析】根据题意，，解得或或，又是第二象限角，故；
则，则.
故答案为：.
14．计算：____________．
答案：
【解析】
.
故答案为：
15．写出一个使等式成立的的值为_______.
答案：（答案不唯一）
【解析】因为
所以
所以
解得：
当时，
所以使等式成立的的一个值为：
故答案为：（答案不唯一）
16．若，，则______．
答案：
【解析】因为，
所以，即，
又，
所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
【解析】（1），
所以函数的最小正周期；
（2）当，即时，.
18．（12分）
如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
(1)设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
(2)求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
【解析】（1）利用正弦函数可得，，，，所以
，.
（2）因为，所以，
当，即时，四边形钢板的面积最大.
19．（12分）
已知函数.
(1)求的最大值及对应的取值集合；
(2)若函数在上有且只有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）因为，令，解得，
所以，对应的取值集合为.
（2）因为
，即，
因为，所以，
又在上有且只有两个零点，所以，解得，即.
20．（12分）
已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的最小值．
【解析】（1）题意得，
由得，解得，
由得，
所以，解得，
（2）由得，
则，从而，
要使不等式恒成立，则，解得，
故实数m的最小值为7．
21．（12分）
已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.
【解析】（1），
故的最小正周期.
（2）的图象先向右平移个单位得到的图象；
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象；
令，解得，
故的对称轴为.
22．（12分）
已知函数.
(1)求函数的严格单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
(3)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）
，
令，,
得，,
故严格单调递增区间为.
（2）当时，，
所以，
故值域为.
（3）由题意得
设
当时，则，则
所以.