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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第06讲向量概念(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第06讲向量概念(原卷版+解析)，共29页。
1、了解向量的实际背景和概念．
2、清楚向量的几何表示．
3、区分相等向量与共线向量．
【考点目录】
考点一：向量的基本概念
考点二：向量的表示方法
考点三：利用向量相等或共线进行证明
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
【基础知识】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【考点剖析】
考点一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点二：向量的表示方法
例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【真题演练】
1．(2023·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B．
C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等
2．(2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
3．(2023·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．(2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
5．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
6．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
7．（多选题）(2023·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
8．(2023·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
9．(2023·全国·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
2．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
3．(2023·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若，则
4．(2023·河南许昌·高一期末（理））已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
5．(2023·浙江丽水·高一期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．(2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得
B．零向量是没有方向的向量
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
7．(2023·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：
①若，，则； ②零向量的模长是；
③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一向量，是一个单位向量
10．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若，，则
11．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．
14．(2023·上海市浦东中学高一期末）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）
15．(2023·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
16．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有________个与向量相反的向量，模长为的向量共有________个．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有哪些？
18．(2023·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
19．(2023·湖南·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
20．(2023·全国·高一专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
21．(2023·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？
第06讲 向量概念
【学习目标】
1、了解向量的实际背景和概念．
2、清楚向量的几何表示．
3、区分相等向量与共线向量．
【考点目录】
考点一：向量的基本概念
考点二：向量的表示方法
考点三：利用向量相等或共线进行证明
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
【基础知识】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【考点剖析】
考点一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：A
【解析】
①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若，则向量方向相同，故③正确；
当时，向量的方向不能确定，故④错误.
所以正确命题的个数是2个.
故选：C.
考点二：向量的表示方法
例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【解析】
（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
【解析】
（1）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】
因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．即证.
例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
【解析】
（1）根据题意，与向量共线的向量为：，，.
（2）∵ABCD是平行四边形，，，且E，F分别为边CD，AB的中点，
∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【解析】
（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
【真题演练】
1．(2023·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B．
C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等
答案：B
【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
由于与方向相反，长度相等，故B正确；
因为零向量的模为0，故C错误；
与线段的长度相等，故D错误．
故选：B．
2．(2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
答案：B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
3．(2023·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；
对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.
综上，错误的是②③⑤，共3个.
故选：B.
4．(2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.
故选：B.
5．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
答案：BC
【解析】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；
对于B，由平面向量相等可得B正确；
对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；
当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；
对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；
故选：BC
6．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
答案：AB
【解析】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确．
故选：AB．
7．（多选题）(2023·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
答案：ABCD
【解析】根据向量的定义可得，模为的向量为单位向量，模为的向量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，
故选：ABCD．
8．(2023·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
答案：④
【解析】根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.
故答案为：④.
9．(2023·全国·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【解析】（1）依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
由题可得：，；
（2）与共线的向量有，，.
（3）与的模相等的向量有：，，，，，，.
（4）与的夹角为的向量有，，，；
（5）向量与不相等，因为它们的方向不相同．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
答案：C
【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；
对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.
故选：C
2．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
答案：A
【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；
对于C,时，或，故错误；
对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．
故选：A．
3．(2023·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若，则
答案：B
【解析】对于A；当，则不一定平行，故A错，
对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，
对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，
对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，
故选：B
4．(2023·河南许昌·高一期末（理））已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
答案：A
【解析】表示到三点距离相等，为外心．
故选：A．
5．(2023·浙江丽水·高一期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
6．(2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得
B．零向量是没有方向的向量
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
答案：A
【解析】∵与为非零向量，且共线，∴存在实数，使得，A正确；
零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；
任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；
不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.
故选：A.
7．(2023·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】数轴上点A，B分别对应，
则向量的长度即.
故选：C．
8．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：
①若，，则； ②零向量的模长是；
③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
答案：A
【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，
模为的向量叫做零向量，故②正确，
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；
故选：A
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一向量，是一个单位向量
答案：ABCD
【解析】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，当时，无意义，故D错误．
故选：ABCD
10．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若，，则
答案：CD
【解析】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故C正确．若，则，的长度相等且方向相同；若，则，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，故，故D正确．
故选：CD．
11．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
答案：ABD
【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线故C正确，D错误.
故选：ABD．
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
答案：AB
【解析】向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，
选项D，也有可能直线AB与直线CD平行；
故选：AB
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．
答案：西北方向
【解析】根据题意画出图形如图所示，由图可知，且，故地相对于地的位移是西北方向．
故答案为：西北方向.
14．(2023·上海市浦东中学高一期末）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）
答案：假命题
【解析】当向量时，若，可得；
当向量时，若，则与不一定共线，
所以命题为假命题.
故答案为：假命题
15．(2023·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
答案：
【解析】向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；
向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线
则＝.
故答案为：
16．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有________个与向量相反的向量，模长为的向量共有________个．
答案：
【解析】如图所示，
其中单位向量有与相反，共个；
正方体棱长为，正方体体对角线长为，
模长为的向量有，，，，，，，，共个．
故答案为：，．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有哪些？
【解析】由方向相同且长度相等的两个向量是相等向量的定义，
可知在向量、、、、和中，相等的有，
18．(2023·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
【解析】(1)在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
19．(2023·湖南·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
【解析】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
20．(2023·全国·高一专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
【解析】与方向相同的向量仅有，
又，故；
与向量的模相等的向量有两类：
(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是
以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)；
(2)正六边形的六条边上的向量，有(个)
故.
21．(2023·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？
【解析】(1)在模为1的向量中，相等的向量有:
①，共有6对；
②，共有6对；
③，共有3对；
④，共有3对；
所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.
(2)在模为的向量中，相等的向量有:
.
共有4对.
1、了解向量的实际背景和概念．
2、清楚向量的几何表示．
3、区分相等向量与共线向量．
【考点目录】
考点一：向量的基本概念
考点二：向量的表示方法
考点三：利用向量相等或共线进行证明
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
【基础知识】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【考点剖析】
考点一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点二：向量的表示方法
例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【真题演练】
1．(2023·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B．
C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等
2．(2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
3．(2023·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．(2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
5．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
6．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
7．（多选题）(2023·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
8．(2023·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
9．(2023·全国·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
2．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
3．(2023·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若，则
4．(2023·河南许昌·高一期末（理））已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
5．(2023·浙江丽水·高一期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．(2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得
B．零向量是没有方向的向量
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
7．(2023·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：
①若，，则； ②零向量的模长是；
③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一向量，是一个单位向量
10．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若，，则
11．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．
14．(2023·上海市浦东中学高一期末）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）
15．(2023·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
16．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有________个与向量相反的向量，模长为的向量共有________个．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有哪些？
18．(2023·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
19．(2023·湖南·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
20．(2023·全国·高一专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
21．(2023·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？
第06讲 向量概念
【学习目标】
1、了解向量的实际背景和概念．
2、清楚向量的几何表示．
3、区分相等向量与共线向量．
【考点目录】
考点一：向量的基本概念
考点二：向量的表示方法
考点三：利用向量相等或共线进行证明
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
【基础知识】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【考点剖析】
考点一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：A
【解析】
①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若，则向量方向相同，故③正确；
当时，向量的方向不能确定，故④错误.
所以正确命题的个数是2个.
故选：C.
考点二：向量的表示方法
例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【解析】
（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
【解析】
（1）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】
因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．即证.
例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
【解析】
（1）根据题意，与向量共线的向量为：，，.
（2）∵ABCD是平行四边形，，，且E，F分别为边CD，AB的中点，
∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【解析】
（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
【真题演练】
1．(2023·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B．
C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等
答案：B
【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
由于与方向相反，长度相等，故B正确；
因为零向量的模为0，故C错误；
与线段的长度相等，故D错误．
故选：B．
2．(2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
答案：B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
3．(2023·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；
对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.
综上，错误的是②③⑤，共3个.
故选：B.
4．(2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.
故选：B.
5．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
答案：BC
【解析】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；
对于B，由平面向量相等可得B正确；
对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；
当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；
对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；
故选：BC
6．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
答案：AB
【解析】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确．
故选：AB．
7．（多选题）(2023·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
答案：ABCD
【解析】根据向量的定义可得，模为的向量为单位向量，模为的向量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，
故选：ABCD．
8．(2023·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
答案：④
【解析】根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.
故答案为：④.
9．(2023·全国·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【解析】（1）依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
由题可得：，；
（2）与共线的向量有，，.
（3）与的模相等的向量有：，，，，，，.
（4）与的夹角为的向量有，，，；
（5）向量与不相等，因为它们的方向不相同．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
答案：C
【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；
对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.
故选：C
2．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
答案：A
【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；
对于C,时，或，故错误；
对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．
故选：A．
3．(2023·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若，则
答案：B
【解析】对于A；当，则不一定平行，故A错，
对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，
对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，
对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，
故选：B
4．(2023·河南许昌·高一期末（理））已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
答案：A
【解析】表示到三点距离相等，为外心．
故选：A．
5．(2023·浙江丽水·高一期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
6．(2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得
B．零向量是没有方向的向量
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
答案：A
【解析】∵与为非零向量，且共线，∴存在实数，使得，A正确；
零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；
任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；
不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.
故选：A.
7．(2023·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】数轴上点A，B分别对应，
则向量的长度即.
故选：C．
8．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：
①若，，则； ②零向量的模长是；
③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
答案：A
【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，
模为的向量叫做零向量，故②正确，
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；
故选：A
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一向量，是一个单位向量
答案：ABCD
【解析】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，当时，无意义，故D错误．
故选：ABCD
10．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若，，则
答案：CD
【解析】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故C正确．若，则，的长度相等且方向相同；若，则，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，故，故D正确．
故选：CD．
11．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
答案：ABD
【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线故C正确，D错误.
故选：ABD．
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
答案：AB
【解析】向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，
选项D，也有可能直线AB与直线CD平行；
故选：AB
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．
答案：西北方向
【解析】根据题意画出图形如图所示，由图可知，且，故地相对于地的位移是西北方向．
故答案为：西北方向.
14．(2023·上海市浦东中学高一期末）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）
答案：假命题
【解析】当向量时，若，可得；
当向量时，若，则与不一定共线，
所以命题为假命题.
故答案为：假命题
15．(2023·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
答案：
【解析】向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；
向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线
则＝.
故答案为：
16．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有________个与向量相反的向量，模长为的向量共有________个．
答案：
【解析】如图所示，
其中单位向量有与相反，共个；
正方体棱长为，正方体体对角线长为，
模长为的向量有，，，，，，，，共个．
故答案为：，．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有哪些？
【解析】由方向相同且长度相等的两个向量是相等向量的定义，
可知在向量、、、、和中，相等的有，
18．(2023·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
【解析】(1)在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
19．(2023·湖南·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
【解析】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
20．(2023·全国·高一专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
【解析】与方向相同的向量仅有，
又，故；
与向量的模相等的向量有两类：
(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是
以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)；
(2)正六边形的六条边上的向量，有(个)
故.
21．(2023·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？
【解析】(1)在模为1的向量中，相等的向量有:
①，共有6对；
②，共有6对；
③，共有3对；
④，共有3对；
所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.
(2)在模为的向量中，相等的向量有:
.
共有4对.
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