人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第09课 平面向量的应用一（2份打包，原卷版+教师版）

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第1课时 余弦定理
1.余弦定理
思考：在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？
[提示] 不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形.
2.解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于( )
A.eq \r(39) B.8eq \r(3) C.10eq \r(2) D.7eq \r(3)
2.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A.60° B.45° C.120° D.30°
3.在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，则B＝________.
4.在△ABC中，若a2﹣c2＋b2＝ab，则cs C＝________.
【例1】(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角.
1.在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形.
【例2】 在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
1.已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.
2.若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解.
2.已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数.
[探究问题]
在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝eq \f(π,2)成立吗？反之若C＝eq \f(π,2)，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2﹣c2＝0，
由余弦定理的变形cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，即cs C＝0，所以C＝eq \f(π,2)，
反之若C＝eq \f(π,2)，则cs C＝0，即eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，所以a2＋b2﹣c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】 在△ABC中，若(a﹣c·cs B)·sin B＝(b﹣c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状.
1.(变条件)将例题中的条件“(a﹣ccs B)·sin B＝(b﹣ccs A)·sin A”换为“acs A＋bcs B＝ccs C”其它条件不变，试判断三角形的形状.
2.(变条件)将例题中的条件“(a﹣ccs B)·sin B＝(b﹣ccs A)·sin A”换为“lg a﹣lg c＝lg sin B＝﹣lg eq \r(2)且B为锐角”判断△ABC的形状.
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.
2.用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形.
(2)已知两边及一角解三角形.
3.已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍.
1.判断正误
(1)余弦定理适用于任意三角形.( )
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形.( )
(3)在△ABC中，已知两边和它们的夹角，△ABC不唯一.( )
2.在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,12)
3.在△ABC中，若a＝2bcs C，则△ABC的形状为________.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，则cs A＝________.
5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x﹣6＝0的根，求第三边c的长.
第2课时 正弦定理(1)
正弦定理
思考：如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？
[提示] eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c.
1.在△ABC中，下列式子与eq \f(sin A,a)的值相等的是( )
A.eq \f(b,c) B.eq \f(sin B,sin A) C.eq \f(sin C,c) D.eq \f(c,sin C)
2.在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A.5eq \r(2) B.10eq \r(3) C.eq \f(10\r(3),3) D.5eq \r(6)
3.在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________.
4.在△ABC中，若a＝3，b＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，则C＝________.
【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理.
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：eq \f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°﹣A)＝sin A，eq \f(CD,a)＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B.∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).同理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).故eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
1.本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.
2.要证eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.
1.如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq \f(a,sin A)＝2R.
【例2】 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
1.正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
2.适用正弦定理的两种情形：
(1)已知三角形的任意两角与一边.
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
2.已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，求A，C，a.
[探究问题]
1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，
在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即eq \f(a,sin A)＝2R，同理eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R，
所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.
2.由eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？
[提示] 由eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R可以得到的变形：
sin A＝eq \f(a,2R)，a＝2Rsin A；sin B＝eq \f(b,2R)，b＝2Rsin B；sin C＝eq \f(c,2R)，c＝2Rsin C.
由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化.
【例3】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acs C”其它条件不变，试判断△ABC的形状.
[解] ∵b＝acs C，
由正弦定理，得sin B＝sin Acs C.(*)
∵B＝π﹣(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sin Acs C.
∴cs Asin C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，∴cs A＝0，A＝eq \f(π,2)，即△ABC是直角三角形.
1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.
2.注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)等.
1.正弦定理的表示形式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k＞0).
2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
1.判断正误
(1)正弦定理不适用直角三角形.( )
(2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立.( )
(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.( )
2.在△ABC中，若sin A＞sin B，则有( )
A.a＜b B.a≥b C.a＞b D.a，b的大小无法判定
3.在△ABC中，若c＝2acs B，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形
4.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么A等于( )
A.135° B.90° C.45° D.30°
5.已知在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形.
第3课时 正弦定理(2)
1.正弦定理及其变形
(1)定理内容：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为外接圆半径).
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
②eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
④sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
思考：在△ABC中，已知acs B＝bcs A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acs B＝2Rsin Bcs A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acs B﹣cs Asin B＝0.
2.三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq \f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
1.在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
2.在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定
3.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A.3 B.3eq \r(3) C.6 D.6eq \r(3)
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°.
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.
1.△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是 .
【例2】 在△ABC中，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq \f(1,2)ab·sin C＝eq \f(1,2)ac·sin B＝eq \f(1,2)bc·sin A.
2.(1)在△ABC中，若a＝3eq \r(2)，cs C＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，则b＝ .
(2)在△ABC中，AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于 .
[探究问题]
1.你能用坐标法证明S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B吗？
[提示] (以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcs C，bsin C).
过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsin C，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)·BC·AE＝eq \f(1,2)·a·bsin C＝eq \f(1,2)absin C.
同理可得S＝eq \f(1,2)bcsin A，S＝eq \f(1,2)acsin B.故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B.
2.应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？
[提示] (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sin C，cs (A＋B)＝﹣cs C；
eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)﹣eq \f(C,2)⇒sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞eq \f(π,2)，A＋C＞eq \f(π,2)，B＋C＞eq \f(π,2)；A＋B＞eq \f(π,2)⇔A＞eq \f(π,2)﹣B
⇔sin A＞cs B，cs A＜sin B.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝﹣sin 2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2eq \r(3)，A＝eq \f(π,6)，求△ABC的面积.
(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝﹣sin 2C”换为“若a＋c＝2b,2cs 2B﹣8cs B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状.
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.
1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.
2.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.
1.判断正误
(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝2eq \r(3)，则B＝60°.( )
(2)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，但无法确定具体值.( )
(3)由两边和一角就可求三角形的面积.( )
2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝eq \r(3)，B＝60°，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.1 D.eq \r(3)
3.在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ .
4.在△ABC中，若b＝5，B＝eq \f(π,4)，tan A＝2，则sin A＝ ，a＝ .
5.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq \f(2sin A－sin B,sin C)的值.
平面向量的应用一 课时跟踪练习
1.钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为( )
A.eq \f(3,2)＜a＜3 B.eq \f(3,2)≤a＜3 C.eq \f(3,2)≤a≤3 D.eq \f(3,2)＜a≤3
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝eq \r(3)a，B＝30°，那么角C等于( )
A.120° B.105° C.90° D.75°
3.已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2﹣1和2x＋1(x＞1)，则△ABC的最大角为( )
A.150° B.120° C.60° D.75°
4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
5.在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A.[3eq \r(3)，6] B.(2,4eq \r(3)) C.(3eq \r(3)，4eq \r(3)] D.(3,6]
6.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq \r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq \f(2\r(3),5)，则CD的长度等于________.
7.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
8.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \f(2a－c,c)＝eq \f(tanB,tanC)，则角B的大小为________.
9.△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，csA＝eq \f(12,13).
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)若c﹣b＝1，求a的值.
10.在△ABC中，acsA＋bcsB＝ccsC，试判断三角形的形状.
11.在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求eq \f(a,b)的取值范围.
平面向量的应用一 随堂检测
1.在△ABC中，已知a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A.2eq \r(5) B.eq \r(5) C.2eq \r(5)或eq \r(5) D.以上都不对
2.在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋eq \r(2)ab＝c2，则角C为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
4.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( )
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.eq \r(2)∶1∶1 D.eq \r(3)∶1∶1
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(15)，b＝2，A＝60°，则tanB等于( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(5,2) D.eq \f(\r(3),2)
6.若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝﹣3，则△ABC的周长为________.
7.三角形三边长分别为a，b, eq \r(a2＋ab＋b2)(a＞0，b＞0)，则最大角为________.
8.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(5,13)，b＝3，则c＝________.
9.(1)在△ABC中，已知a＝2eq \r(2)，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°，解三角形.
10.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b﹣2，a﹣2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝eq \f(π,3)，求△ABC的面积.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握余弦定理及其推论.(重点)
2.掌握余弦定理的综合应用.(难点)
3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)
1.借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养.
2.通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2﹣2bccs_A，
b2＝a2＋c2﹣2accs_B，
c2＝a2＋b2﹣2abcs_C
变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
已知两边与一角解三角形
已知三边解三角形
余弦定理的综合应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(难点)
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(重点)
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养.
2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.
定理证明
用正弦定理解三角形
三角形形状的判断
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题.(重点)
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(难点)
1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养.
2.借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.
三角形解的个数的判断
三角形的面积
正弦定理的综合应用