2.5一元二次方程跟与系数的关系 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.5一元二次方程跟与系数的关系北师大版初中数学九年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若α，β是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，则βα+αβ的值是(    )A. 427 B. −427 C. −5827 D. 58272.已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为(    )A. −12 B. 2 C. 12 D. −23.已知m，n是一元二次方程x2+2x−2022=0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于(    )A. 2024 B. 2022 C. 2020 D. 20184.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，则ab−mn的值为(    )A. 4 B. 1 C. −2 D. −15.关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是(    )A. a≤1 B. a≤1且a≠0 C. a取一切实数 D. a<16.已知关于x的方程x2−(m−4)x+14m2=0(m>0)的两个根分别为x1，x2，若t=x1+x2m，则t的最大值是(    )A. −2 B. −1 C. 1 D. 27.已知：关于x的方程x2+m(1−x)−2(1−x)=0，下面结论中正确的是(    )．A. m不能为零，否则方程没有实数根B. m为任何实数时，方程都有实数根C. 当22 B. m<2 C. m>4 D. m<4二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.已知一元二次方程x2+2x−8=0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2=______．14.如果关于x的一元二次方程x2+3x−7=0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β=          ．15.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1+1x2=−1，则k的值为______．16.已知关于x的一元二次方程(x−m)2+3x=2m−3有两个不相等的实数根x1，x2,若x1⋅x2−x12−x22+7=0，则m=____．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)已知关于x的方程kx2+(k+1)x+k4=0有实根．(1)当k=4时，求解上述方程；(2)求k的取值范围；(3)是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2−5mx+4m2=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程两个实数根的差为2，求m的值．19.(本小题8分)若关于x的方程x2+kx−12=0与3x2−8x−3k=0有一个公共根.求实数k的所有可能值．20.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1、x2．(1)求实数k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得x1x2−x1−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+1=0．(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；(2)当m取最大的整数时，求这个方程的根．22.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0(1)试判断上述方程根的情况．(2)已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．23.(本小题8分)(1)解一元二次方程：x2−2x−8=0 (2)关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x−1=0有实数根，求m的取值范围．24.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2+ax+a−1=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．25.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键.根据根与系数的关系可得出α+β=−23、αβ=−3，将其代入βα+αβ=α+β2−2αβαβ中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，∴α+β=−23，αβ=−3，∴βα+αβ=β2+α2αβ=α+β2−2αβαβ=−232−2×−3−3=−5827．故选C．2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．先把方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=−1，然后把1x1+1x2通分得到x1+x2x1x2，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据题意得x1+x2=2，x1x2=−1，∴原式=x1+x2x1x2=−2．故选D．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得m2+2m−2022=0，m+n=−2，变形后代入代数式即可．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x−2022=0的两个实数根，∴m2+2m−2022=0，m+n=−2，∴m2=2022−2m，∴m2+4m+2n=2022−2m+4m+2n=2022+2m+2n=2022+2(m+n)=2022−4=2018，故选D．4.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.先把已知条件变形得到a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，则可把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn−2，从而得到ab−mn的值．【解答】解：∵(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，∴a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b可以看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，∴ab=mn−2，∴ab−mn=−2．故选：C．5.【答案】A 【解析】解：分为两种情况：①当a=0时，2x+1=0，解得：x=−12；②当a≠0时，∵关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根，∴Δ=22−4×a×1=4−4a≥0，解得：a≤1，故选：A．分为两种情况：①当a=0，②a≠0，根据已知得出△≥0，求出即可．本题考查了根的判别式的应用，能得出关于a的不等式是解此题的关键，6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用方程有实数根求出m的取值范围是解题的关键．根据根与系数的关系可得出x1+x2=m−4，将其代入t=x1+x2m中可得出t=1−4m，由方程有实数根，利用根的判别式△≥0可求出m的取值范围，进而即可求出t的最大值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−(m−4)x+14m2=0(m>0)的两实数根为x1、x2，∴x1+x2=m−4，∴t=x1+x2m=m−4m=1−4m，∵关于x的一元二次方程x2−(m−4)x+14m2=0有实数根，∴Δ=[−(m−4)]2−4×1×14m2=−8m+16≥0，解得：m≤2，∵m>0，∴00，此时方程有两个不相等的解，故本选项错误；B.b2−4ac=(−m+2)2−4×1×(m−2)=m2−8m+12=(m−4)2−4≥0，∴说m为任何实数时，方程都有实数解不对，故本选项错误；C.(m−4)2−4≥0，∴25，∴k=9满足条件；当m=5时，5+n=6，5n=k，解得n=1，k=5，当n=5时，同理可得m=1，k=5，综上所述，k的值为9或5．故选：B．讨论：当m=n时，利用判别式的意义得到Δ=(−6)2−4k=0，则k=9；当m=5时，根据根与系数的关系得5+n=6，5n=k，解得n=1，k=5；当n=5时，同理可得m=1，k=5．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了三角形三边的关系和根的判别式．12.【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m>0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．【解答】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m>0，解得m<4．故选：D．13.【答案】−372 【解析】解：∵一元二次方程x2+2x−8=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=−2，x1⋅x2=−8，∴x2x1+2x1x2+x1x2=2x1x2+x22+x12x1x2=2×(−8)+(x1+x2)2−2x1x2−8=−16+(−2)2−2×(−8)−8=−372，故答案为：−372．根据根与系数的关系得出x1+x2=−2，x1⋅x2=−8，再通分后根据完全平方公式变形，再代入求出即可．本题考查了根与系数的关系和求代数式的值，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14.【答案】4 【解析】解：∵α为方程x2+3x−7=0的根，∴α2+3α−7=0，∴α2=−3α+7，∴α2+4α+β=−3α+7+4α+β=α+β+7，∵方程x2+3x−7=0的两根分别为α，β，∴α+β=−3，∴α2+4α+β=−3+7=4．故答案为：4．15.【答案】3 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)根据根与系数的关系结合1x1+1x2=−1找出关于k的分式方程．根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2k−3、x1x2=k2，结合1x1+1x2=−1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k+3)2−4k2>0，解得：k>−34．∵x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根，∴x1+x2=−2k−3，x1x2=k2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−(2k+3)k2=−1，解得：k1=3，k2=−1，经检验，k1=3，k2=−1都是原分式方程的根．又∵k>−34，∴k=3．故答案为3．16.【答案】−1 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△>0的条件．先整理成一般形式，求出m<−34，得出x1+x2和x1x2,得出关于m的方程，即可解答．【解答】解：(x−m)2+3x=2m−3x2+3−2mx+m2−2m+3=0∵方程有两个不相等实根，∴△=(3−2m)2−4(m2−2m+3)>0，解得m<−34，由根与系数关系可得：x1+x2=2m−3和x1x2=m2−2m+3∵x1⋅x2−x12−x22+7=0∴3x1⋅x2−(x1+x2)2+7=0∴3(m2−2m+3)−(2m−3)2+7=0∴m2−6m−7=0∴m=−1或m=7(舍去)17.【答案】解：(1)k=4，方程化为：4x2+5x+1=0，(4x+1)(x+1)=0，4x+1=0或x+1=0，所以x1=−14，x2=−1；(2)当k=0时，方程化为x=0，方程有实数解；当k≠0时，根据题意得Δ=(k+1)2−4k×k4≥0，解得k≥−12且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≥−12；(3)不存在．理由如下：设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b=−k+1k，ab=14，∵1a+1b=1，即a+bab=1，∴a+b=ab，∴−k+1k=14，解得k=−45，∵k≥−12且k≠0，∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．(1)利用因式分解法解方程即可；(2)讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ=(k+1)2−4k×k4≥0，此时满足k≥−12且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围；(3)设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b=−k+1k，ab=14，再利用1a+1b=1得到−k+1k=14，解得k=−45，然后利用k≥−12且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1．18.【答案】(1)证明：根据题意得：Δ=−5m2−4××4m2=25m2−16m2=9m2，∵m2≥0，∴Δ≥0，∴无论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2−5mx+4m2=0的两个实数根，∴x1+x2=−−5m1=5m，x1⋅x2=4m21=4m2，∵该方程两个实数根的差为2，∴x1−x2=2，∴x1−x22=4，∴x12+x22−2x1x2=x1+x22−4x1x2=4，即5m2−4×4m2=4，∴m2=49，解得：m=23或m=−23，∴m的值为23或−23． 【解析】【分析】(1)计算出Δ=−5m2−4×4m2=9m2≥0，由此即可得到答案；(2)根据根与系数的关系可得x1+x2=5m，x1⋅x2=4m2，结合x1−x22=4，得出关于m的方程，解方程即可得到答案．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．19.【答案】解：设公共根为m，则有m2+km−12=03m2−8m−3k=0，①×3−②得到m=36−3k3k+8代入①化简得到9k3+15k2+504k−528=0 ∴(k−1)(9k2+24k+528)=0，∵9k2+24k+528>0，∴k=1． 【解析】根据题意知，当关于x的方程x2+kx−12=0与3x2−8x−3k=0有一个公共根时，构建方程组解决问题即可．本题考查根的判别式，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．20.【答案】【小题1】∵方程有两个实数根，∴b2−4ac=[−(2k+1)]2−4(k2+2k)=1−4k≥0，解得k≤14【小题2】不存在  理由：假设存在实数k，使得x1x2−x1−x22≥0成立．∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k.∵x1x2−x1−x22≥0，即x1x2−x12−x22≥0，∴3x1x2−(x1+x2)2≥0，即3(k2+2k)−(2k+1)2≥0.整理，得(k−1)2≤0.∴k=1.由(1)，知k≤14，∴不存在实数k，使得x1x2−x1−x22≥0成立． 【解析】1. 见答案2. 见答案21.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，∴b2−4ac=1−4×(m−1)×1=5−4m≥0，解得：m≤54，又m−1≠0，即m≠1，∴m≤54且m≠1；(2)当m=0时，方程为−x2+x+1=0，解得：x=1± 52． 【解析】(1)由方程有两个相等的实数根得Δ=b2−4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；(2)由(1)知m=0，得出方程，公式法求解可得．本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义、解一元二次方程的能力，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵在方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0中，△=b2−4ac=[−(2k+3)]2−4(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x2−(2k+3)x+k2+3k+2=(x−k−1)(x−k−2)=0，∴x1=k+1，x2=k+2．①不妨设AB=k+1，AC=k+2，∴斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即(k+1)2+(k+2)2=25，解得：k1=2，k2=−5(舍去)．∴当k=2时，△ABC是直角三角形②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，故有两种情况：(Ⅰ)当AC=BC=5时，k+2=5，∴k=3，AB=3+1=4，∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为4+5+5=14；(II)当AB=BC=5时，k+1=5，∴k=4，AC=k+2=6，∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为6+5+5=16．综上可知：当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16． 【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△>0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1>0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；(2)利用分解因式法可求出x1=k+1，x2=k+2.①不妨设AB=k+1，AC=k+2，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据(1)结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．23.【答案】解：(1)x2−2x−8=0，(x−4)(x+2)=0，x−4=0或x+2=0，解得x1=4，x2=−2；(2)∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x−1=0有实数根，∴m−2≠0且32−4×(m−2)×(−1)≥0，解得m≥−14且m≠2，故m的取值范围为：m≥−14且m≠2． 【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；(2)根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．24.【答案】(1)解：证明：∵Δ=a2−4a−1=a2−4a+4=a−22≥0，∴该方程总有两个实数根；(2)∵x2+ax+a−1=0，∴x+1x+a−1=0，∴x+1=0或x+a−1=0，∴x1=−1,x2=−a+1，∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，∴−a+1=3×−1或3−a+1=−1，解得a=4或a=43(舍去)，∴a的值为4． 【解析】【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：(1)求出判别式的符号，判断即可；(2)因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可．25.【答案】(1)证明：由题意得，Δ=−2m2−4×1×m2−1=4m2−4m2+4=4>0，∴关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0总有两个不相等的实数根；(2)解：设方程的两个根分别为s、2s，∴s+2s=2ms⋅2s=m2−1,∴s=23m，∴2×23m2=m2−1，∴89m2=m2−1，解得m=±3，又∵m>1，∴m=3． 【解析】【分析】(1)利用根的判别式进行证明即可；(2)设方程的两个根分别为s、2s，利用根与系数的关系得到s+2s=2ms⋅2s=m2−1，由此建立关于m的方程求解即可．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．