2.4用因式分解发求解一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.4用因式分解发求解一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(a2+b2)(a2+b2−4)=12，则a2+b2=(    )A. −2 B. 6 C. 6或−2 D. −6或22.定义新运算a⊗b=ab−a，如2⊗(−1)=2×(−1)−2=−4，则方程x⊗(x+2)=6⊗x的解是(    )A. x1=0，x2=4 B. x1=2，x2=3C. x1=−2，x2=−3 D. x1=2+ 6，x2=2− 63.ΔABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2−8x+15=0的根，则ΔABC的周长是(    )A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 74.若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是(    )A. y1=4，y2=−4 B. y1=2，y2=−6C. y1=4，y2=−6 D. y1=2，y2=−45.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(    )A. x(x+2)=0⇒x+2=0B. (x−2)(x−3)=2×3⇒x−2=2或x−3=3C. (x+3)(x−1)=1⇒x+3=0或x−1=1D. (2x−2)(3x−4)=0⇒2x−2=0或3x−4=06.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度恰为方程的x2−14x+48=0两个实数根，则菱形ABCD的周长为(  )．A. 12 B. 16 C. 20 D. 247.已知等腰△ABC的边是方程x2−7x+10=0的根，则△ABC的周长为(    )A. 9 B. 9或12 C. 6或15 D. 6或12或158.若x=−2是关于x的一元二次方程x2+32ax−a2=0的一个根，则a的值为(    )A. −1或4 B. 1或−4 C. −1或−4 D. 1或49.方程(3x+1)(x−1)=(4x−1)(x−1)的解是(    )A. x1=1，x2=0 B. x1=−1，x2=2C. x1=1，x2=2 D. 无解10.一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)两根分别为−3，1，则方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)的两根分别为(    )A. 1，5 B. −1，3 C. −3，1 D. −1，511.若某三角形两边的长分别等于方程x2−9x+4(9−x)=0的两个实数根，则这个三角形的第三边的长可能是(    )A. 5 B. 10 C. 13 D. 1412.方程(x−3)(2x−4)=0的根是(    )A. x1=−3，x2=−2 B. x1=3，x2=2C. x1=3，x2=−2 D. x1=−3，x2=2二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.一元二次方程x(x−3)=x−3的解是______．14.如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是__________．15.固定一种运算：abcd=ad−bc，例如：m215=8，运算得：5m−2=8，解得m=2，按照这种运算得规定，求x2x2x=5中x的值为____________________16.已知关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0(m、h，k均为常数且m≠0)的解是x1=2，x2=5，则方程m(x−h+3)2−k=0的解是_______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)小刚按照某种规律写出4个方程：第1个方程：x2+x−2=0．第2个方程：x2+2x−3=0．第3个方程：x2+3x−4=0．第4个方程：x2+4x−5=0．(1)按照此规律，请你写出第99个方程：______．(2)按此规律写出第n个方程：______.这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．18.(本小题8分)先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a满足方程x2−4x−5=0．19.(本小题8分)先化简，再求值：3a+1−a+1÷a2−4a+4a+1，其中a满足方程x2−4x−5=0．20.(本小题8分)(1)解一元二次方程：x−4=x(x−4)；(2)先化简(aa2−9+13−a)÷3a+9a2+6a+9，然后从−3，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．21.(本小题8分)在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“x2+4x+3=0”，让同学们讨论．甲乙两位同学的做法如下：(1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断          同学的解法有误，错误的原因是          ；(2)请写出其他解法并与同学们交流．22.(本小题8分)阅读下面的例题，范例：解方程x2−|x|−2=0，解：(1)当x≥0时，原方程化为x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)．(2)当x<0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1(不合题意，舍去)．∴原方程的根是x1=2，x2=−2请参照例题解方程x2−|x−1|−1=0．23.(本小题8分)小明在解方程x(x−3)=3−x时出现了错误，解答过程如下：原方程可化为x(x−3)=−(x−3).(第一步) 方程两边同时除以(x−3)，得x=−1.(第二步) (1)小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______；(2)请写出此题正确的解答过程．24.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程(m−1)2−2mx++m+1=0．(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？25.(本小题8分)阅读材料：为解方程(x2−1)2−3(x2−1)=0，我们可以将(x2−1)视为一个整体，然后设x2−1=y，将原方程化为y2−3y=0①，解得y1=0，y2=3．当y=0时，x2−1=0，∴x2=1，∴x=±1．当y=3时，x2−1=3，∴x2=4，∴x=±2．∴原方程的解为x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．阅读后解答问题：(1)利用上述材料中的方法解方程：(x2+2x)2−(x2+2x)−2=0；(2)已知一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−3，1，求方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)的两根．答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够将a2+b2看成一个整体是解题的关键；将t=a2+b2，则得到t(t−4)=12，利用因式分解法求出根，然后根据a2+b2的非负性，即可得到答案．【解答】解：设t=a2+b2，则原方程可化为t2−4t−12=0，分解因式得(t−6)(t+2)=0，解得t1=6，t2=−2．∵a2+b2是非负数，∴a2+b2=6．故选B．2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．根据题意，将原方程化为 xx+2−x=6x−6 ，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．【解答】解：根据题意可得： x⊗x+2=xx+2−x ， 6⊗x=6x−6 ，∵ x⊗x+2=6⊗x ，∴ xx+2−x=6x−6 ，整理得： x2−5x+6=0 ，解得： x1=2 ， x2=3 ，故选：B．3.【答案】A 【解析】解：∵x2−8x+15=0，∴(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，∴x1=3，x2=5，∵2+3≠5，∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8．故选A．先利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根据三角形三边的关系可判断△ABC的第三边长为3，然后计算△ABC的周长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了三角形三边的关系．4.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，得到t1=3，t2=−5，于是得到结论．【解答】解：设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，∵关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，∴t1=3，t2=−5，∴y+1=3或y+1=−5，解得y1=2，y2=−6．故选：B．5.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程的有关知识，根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断．【解答】解：A.∵x(x+2)=0，∴x=0或x+2=0，故A错误；B.∵(x−2)(x−3)=2×3，∴x2−5x+6=6，∴x2−5x=0，∴x(x−5)=0，∴x=0或x−5=0，故B错误；C.∵(x+3)(x−1)=1，∴x2+2x−3=1，∴x2+2x−4=0，不能用因式分解法解方程，故C错误；D.∵(2x−2)(3x−4)=0，∴2x−2=0或3x−4=0，故D正确6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解一元二次方程−因式分解法等知识，求出菱形的边长是关键．先利用因式分解法解方程得到AC和BD的长，然后根据勾股定理求得菱形的边长，再根据菱形的四条边相等即可求得它的周长．【解答】解：x2−14x+48=0，(x−6)(x−8)=0，x−6=0或x−8=0，所以x1=6，x2=8，即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为6和8，∵菱形ABCD是对角线AC，BD互相垂直平分，∴菱形ABCD的边长为 622+822=5，所以菱形ABCD的周长为=4×5=20．故选C．7.【答案】D 【解析】解：x2−7x+10=0，(x−5)(x−2)=0，x−5=0或x−2=0，所以x1=5，x2=2，当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2=12；当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5=15；当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2=6，综上所述，△ABC的周长为6或12或15．故选：D．先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=2，根据等腰三角形的性质，等腰△ABC的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的△ABC的周长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．8.【答案】B 【解析】解：把x=−2代入x2+32ax−a2=0得4−3a−a2=0，整理得a2+3a−4=0，即(a+4)(a−1)=0，解得a1=−4，a2=1，即a的值为−4或1．故选：B．根据一元二次方程的解的定义，把x=−2代入x2+32ax−a2=0得关于a的一元二次方程，然后解此方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元一次方程的解法．9.【答案】C 【解析】解：(3x+1)(x−1)=(4x−1)(x−1)，(3x+1)(x−1)−(4x−1)(x−1)=0，(3x+1−4x+1)(x−1)=0，(x−1)(x−2)=0，解得：x1=1，x2=2．移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将x−2看成整体根据已知方程的解得出x−2=−3或x−2=1是解此题的关键．根据已知方程的解得出x−2=−3或x−2=1，然后解这两个一元一次方程即可求出x的值．【解答】解：∵一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−3，1，∴方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)中x−2=−3或x−2=1，解得：x=−1或3，即方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)的两根分别为−1和3．故选：B．11.【答案】B 【解析】方程x2−9x+4(9−x)=0可化简为x(x−9)−4(x−9)=0，即(x−4)(x−9)=0，解得x1=4，x2=9，∴这个三角形第三边的长a的取值范围是50时及x<0，分别得到对应的方程，解方程即可．【解答】解：当x>0时，x2+3x+3=1，解得x1=−1，x2=−2(均不符合题意，舍去)当x<0时，xx+1−3x=1x2−3(x+1)=x(x+1)解得x=−34(符合题意)综上可得x=−34．故答案为−34．15.【答案】5或−1． 【解析】【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，关键是能根据题意得出方程．根据题意得出方程x2−4x−5=0，求出方程的解即可．【解答】解：根据题意得：x2−4x=5，x2−4x−5=0，(x−5)(x+1)=0，x−5=0，x+1=0，解得，x1=5，x2=−1．16.【答案】x1=−1，x2=2 【解析】【分析】本题考查换元法解方程，关键是根据方程的特征将所求方程变形为m[(x+3)−h]−k=0．仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程m(x−h)2−k=0(m,h,k均为常数，m≠0)的解是x1=2，x2=5，∴方程m(x−h+3)2−k=0变形为m[(x+3)−h]−k=0，∴x+3=2或x+3=5，即x1=−1，x2=2．故答案为x1=−1，x2=2．17.【答案】x2+99x−100=0  x2+nx−(n+1)=0 【解析】解：(1)第1个方程：x2+x−2=0，第2个方程：x2+2x−3=0，第3个方程：x2+3x−4=0，第4个方程：x2+4x−5=0，……第n个方程：x2+nx−(n+1)=0，∴当n=99时，x2+99x−100=0．故答案为：x2+99x−100=0；(2)第n个方程为x2+nx−(n+1)=0，且这个方程有实数解，理由如下：∵x2+nx−(n+1)=0，∴(x−1)(x+n+1)=0，∴x1=1或x2=−n−1．故答案为：x2+nx−(n+1)=0．(1)根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是x2+nx−(n+1)=0，所以第99方程是x2+99x−100=0；(2)由(1)可知第n个方程是x2+nx−(n+1)=0，利用因式分解法可得：(x−1)[x+(n+1)]=0进而即可解答．本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．18.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1=3a+1−a−1a+1a+1×a+1(a−2)2=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2=(2+a)(2−a)a+1×a+1(2−a)2=2+a2−a．∵a满足方程x2−4x−5=0，∴a2−4a−5=0，解得：a1=5，a2=−1，∵a≠−1，∴当a=5时，原式=2+52−5=−73． 【解析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程−因式分解法，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，一元二次方程的解法，分式有意义的条件是解题的关键．先根据分式的运算法则把所给分式化简，求出方程a2−4a−5=0的解，然后把能使分式有意义的解代入化简的式子计算即可．19.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1=3a+1−a−1a+1a+1×a+1(a−2)2=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2=(2+a)(2−a)a+1×a+1(2−a)2=2+a2−a．∵a满足方程x2−4x−5=0，∴a2−4a−5=0，解得：a1=5，a2=−1，∵a≠−1，∴当a=5时，原式=2+52−5=−73． 【解析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程−因式分解法，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，一元二次方程的解法，分式有意义的条件是解题的关键．先根据分式的运算法则把所给分式化简，求出方程a2−4a−5=0的解，然后把能使分式有意义的解代入化简的式子计算即可．20.【答案】解：(1)x−4=x(x−4)，(x−4)−x(x−4)=0，(x−4)(1−x)=0，∴x−4=0或1−x=0，解得x1=4，x2=1；(2)(aa2−9+13−a)÷3a+9a2+6a+9 =a−(a+3)(a+3)(a−3)⋅(a+3)23(a+3) =a−a−3(a+3)(a−3)⋅(a+3)23(a+3) =−3(a+3)(a−3)⋅(a+3)23(a+3) =13−a，∵a=±3时，原分式无意义，∴a=0，当a=0时，原式=13−0=13． 【解析】(1)先移项，然后提公因式，再求解即可；(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后从−3，0，3中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．本题考查解一元二次方程、分式的化简求值，熟练掌握解一元二次方程的方法和分式混合运算的计算方法是解答本题的关键．21.【答案】【小题1】乙原方程常数项移项时未变号【小题2】∵a=1，b=4，c=3，∴b2−4ac=42−4×1×3=4，∴x=−b± b2−4ac2a=−4± 42，∴x1=−1，x2=−3． 【解析】1. 略2. 见答案22.【答案】解：x2−|x−1|−1=0，  ①当x≥1时，原方程化为x2−x=0，解得：x1=1，x2=0(不合题意，舍去)．②当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1(不合题意，舍去)．故原方程的根是x1=1，x2=−2． 【解析】本题考查了解一元二次方程的应用分为两种情况：①当x≥1时，原方程化为x2−x=0，②当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，求出方程的解即可．23.【答案】二  如果x−3=0则两边不能同时除以x−3 【解析】解：(1)小明的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果x−3=0则两边不能同时除以x−3；故答案为：二，如果x−3=0则两边不能同时除以x−3；(2)∵x(x−3)=3−x，∴x(x−3)=−(x−3)，则x(x−3)+(x−3)=0，∴(x−3)(x+1)=0，则x−3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=−1．(1)依据等式的基本性质判断即可得；(2)利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24.【答案】解：(1)[(m−1)x−(m+1)](x−1)=0，(m−1)x−(m+1)=0或x−1=0，所以x1=m+1m−1，x2=1；(2)x=m+1m−1=1+2m−1，由于m为整数，所以当m−1=1或2时，x=m+1m−1为正整数，此时m=2或m=3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数． 【解析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．(1)利用因式分解法解方程易得x1=m+1m−1，x2=1；(2)由于x=1为正整数，则x=m+1m−1为正整数，先变形为1+2m−1，然后利用整数的整除性可确定m的值为2或3．25.【答案】解：(1)令x2+2x=m，则m2−m−2=0，∴(m−2)(m+1)=0，∴m−2=0或m+1=0，解得m=2或m=−1，当m=2时，x2+2x=2，即x2+2x−2=0，解得x1=−1+ 3，x2=−1− 3，当m=−1时，x2+2x=−1，即x2+2x+1=0，解得x3=x4=−1，综上，原方程的解为x1=−1+ 3，x2=−1− 3，x3=x4=−1；(2)∵一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−3，1，∴方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)中2x−4=−3或2x−4=1，解得：x=12或52，即方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)的两根分别是−12和52． 【解析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．(1)设x2+2x=m，用m代替方程中的x2+x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可；(2)根据已知方程的解，得出2x−4=−3或2x−4=1，求出x的值即可．甲同学：解：原式可化为(x+1)(x+3)=0．当x+1=0时，x=−1，当x+3=0时，x=−3，∴x1=−1，x2=−3．乙同学：解：原式可化为x2+4x=3，x2+4x+4=3+4，(x+2)2=7．∴x+2=± 7，∴x1= 7−2，x2=− 7−2．