2.2用配方法求一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.2用配方法求解一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果|x+y−1|和2(2x+y−3)2互为相反数，那么x，y的值分别是  (    )A. −1，2 B. −1，−2 C. 2，−1 D. −2，−12.若|x+y+1|与x−y−22互为相反数，则3x−y3的值为(    )A. 1 B. 9 C. −9 D. 273.用配方法解方程x2−4x−5=0时，原方程应变形为(    )A. (x−2)2=5 B. (x−2)2=1 C. (x−4)2=5 D. (x−2)2=94.方程x2+6x−5=0的左边配成完全平方式后所得的方程为(    )A. (x+3)2=14 B. (x−3)2=14 C. (x+6)2=12 D. 以上答案都不对5.将方程x2−4x+1=0化成(x+m)2=n的形式后是.(    )A. (x−1)2=12 B. (2x−1)2=12 C. (x−1)2=0 D. (x−2)2=36.用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是(    )A. (x−34)2=1716 B. (x−34)2=12 C. (x−32)2=134 D. (x−32)2=1147.关于x的方程(x−2)2=1−m无实数根，那么m满足的条件是(    )A. m>2 B. m<2 C. m>1 D. m<18.用配方法解一元二次方程x2−6x+2=0，此方程可化为(    )A. (x−3)2=7 B. (x−3)2=11 C. (x+3)2=7 D. (x+3)2=119.用配方法解方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是(    )A. (x−2)2=6 B. (x+2)2=2 C. (x−2)2=−2 D. (x−2)2=210.解方程组3x−3y=4,①2x+3y=1②时，用加减消元法最简便的是  (    )A. ①+② B. ①−② C. ①×2−②×3 D. ①×3+②×211.用配方法解方程2x2−x−1=0变形正确的是 (    )A. (x−12)2=34 B. (x−14)2=34 C. (x−14)2=1716 D. (x−14)2=91612.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，那么方程a(2x+m+1)2+b=0的解是(    )A. x1=−2，x2=1 B. x1=0，x2=−32C. x1=−3，x2=3 D. 无法求解二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.在方程y=ax+b中，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3.则a−b的值是______．14.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=m，点E在BD上(端点除外)，AE=AB，作CF⊥BD，垂足为F.当m=4时，EF的长是          ;当BE+DF>BD时，m的取值范围是          ．15.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根为3m+1与m−9，则ba=__________；16.用配方法解方程x2−2x−4=0时，将方程化为(x−m)2=n的形式，则m= ______，n= ______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)到高中时，我们将学习虚数i，(i叫虚数单位).规定i2=−1，如−2=2×(−1)=(± 2)2⋅i2=(± 2i)2，那么x2=−2的根就是：x1= 2i，x2=− 2i.试求方程x2+2x+3=0的根．18.(本小题8分)(1)解不等式组：3(x−1)>x1−2x≤x−32；(2)解方程：4(x+5)2−1=120．19.(本小题8分)已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=k,x+2y=−1的解互为相反数，求k的值．20.(本小题8分)解方程：(1)x2+6x+4=0；(2)甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元.求甲、乙两公司各有多少人？21.(本小题8分)若规定两数a，b通过运算“※”得4ab，即ab=4ab.例如26=4×2×6=48．(1)求2 12的值；(2)求xx+2x−24=0中x的值．22.(本小题8分)小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b−3.例如把(2,−5)放入其中，就会得到22+2×(−5)−3=−9．(1)若把实数对(−5,2)放入其中，得到的实数是多少?(2)若把实数对(m,−3m)放入其中，得到实数4，求m的值．(3)小明说，若把实数对(n,3n−1)放入其中，得到的实数可能小于−15.你认为小明的说法正确吗?为什么?23.(本小题8分)若a、b、c满足的关系是 2a−5b+5+c+ 3a−3b−c= 5−a+b+ a−b−5.求a、b、c的值．24.(本小题8分)已知关于x、y的方程组2x−3y=3,ax+by=−1和3x+2y=11,2ax+3by=3的解相同，求a、b的值．25.(本小题8分)(1)解方程：x2−4x−8=0．(2)如图，已知∠BAC=30°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合.求∠AEC的度数．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：∵|x+y−1|+2(2x+y−3)2=0，∴x+y=1①2x+y=3②，②−①得：x=2，把x=2代入①得：y=−1，∴方程组的解为x=2y=−1，则x和y的值分别为2和−1．故选：C．利用互为相反数两数之和为0列出关系式，根据非负数的性质求出x与y的值即可．此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了非负数的性质，二元一次方程组的解法，代数式求值，关键是根据相反数的定义得到|x+y+1|+(x−y−2)2=0，从而借助非负数的性质求得x，y的值.首先根据题意得到|x+y+1|+(x−y−2)2=0，根据非负数的性质得到关于x，y的方程组，解出方程组求得x，y的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵|x+y+1|与(x−y−2)2互为相反数，∴|x+y+1|+(x−y−2)2=0，∴x+y+1=0x−y−2=0，解得x=12y=−32，∴(3x−y)3=3×12+323=27．故选D．3.【答案】D 【解析】解：∵x2−4x−5=0，∴x2−4x=5，∴x2−4x+4=9，∴(x−2)2=9．故选：D．先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程变形得到x2+6x=5，方程两边同时加上一次项的系数一半的平方，即两边同时加上9．【解答】解：∵x2+6x−5=0，∴x2+6x=5，∴x2+6x+9=5+9，∴(x+3)2=14．故选A．5.【答案】D 【解析】解：x2−4x+1=0，x2−4x=−1，配方，得x2−4x+4=−1+4，即(x−2)2=3，故选：D．移项，再配方，即可得出选项．本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6.【答案】A 【解析】解：由原方程，得x2−32x=12，x2−32x+916=12+916，则(x−34)2=1716，故选A．先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数−32的一半的平方，即可解答．本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：当1−m<0时，方程无解．即m>1．故选：C．8.【答案】A 【解析】解：x2−6x+2=0，x2−6x=−2，配方得：x2−6x+9=−2+9，(x−3)2=7，故选：A．移项，配方，开方，即可得出选项．本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．9.【答案】D 【解析】【考点】解一元二次方程−配方法【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可．【解答】解：x2−4x+2=0，x2−4x=−2，x2−4x+4=−2+4，(x−2)2=2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．10.【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法有关知识，利用加减消元法进行解答即可．【解答】解：3x−3y=4①2x+3y=1②用①+②进行消元最简便．故选A．11.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方方程--配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.本题具体做法是把常数项−1移项后，再在左右两边同时除以2，最后在左右两边同时加上一次项系数−12的一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：把方程2x2−x−1=0的常熟项移到等号的右边，得2x2−x=1,在左右两边同时除以2，得x2−12x=12方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−12x+116=12+116，配方得x−142=916．故选D．12.【答案】B 【解析】解：∵x1=−2，x2=1，是方程a(x+m)2+b=0的解，∴令2x+1=x1，2x+1=x2，满足方程a(x+m)2+b=0，即a(2x+1+m)2+b=0．∴x′1=x1−12=−32，x′2=x2−12=0，∴方程a(2x+m+1)2+b=0的解是：x′1=−32，x′2=0．故选：B．已知方程a(x+m)2+b=0的解，对比所求方程a(2x+m+1)2+b=0，两者在结构上是一致的，因此只需要把2x+1看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．13.【答案】0 【解析】【分析】此题考查的是二元一次方程组的解法．根据题意将两对x，y的对应值分别代入y=ax+b，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可．【解答】解：∵等式y=ax+b，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3∴−a+b=02a+b=3,解得：a=1b=1,∴a−b=0．14.【答案】12533，再根据BE+DF>BD，由图可知点E在线段DF上(不与D，F重合)，可讨论当BE+DF=BD时，此时点E，F重合.过点A作AP⊥BD于点P，利用等腰三角形的三线合一推出BP=PE，进而证明△APB≌△CED，得出BP=DE=PE，设BP=DE=PE=x，结合CF在两个直角三角形中可建立方程解出x的值，最后根据直角三角形BCD的勾股定理即可求出m的值，再结合BE+DF>BD求出m的范围．【解答】解：空一：当m=4时：如图：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴BC=AD=4，DC=AB=3，∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BD= BC2+CD2= 42+32=5，∵作CF⊥BD，垂足为F，∴S△BCD=12BC·CD=12BD·CF∴12×3×4=12×5·CF，∴CF=125；故第一个空答案为：125；空二：∵点E在BD上(端点除外)，AE=AB=3，∴AD=m>3当BE+DF>BD时，由图可知点E在线段DF上(不与D，F重合)可分析当BE+DF=BD时，此时，点E，F重合，如图：过点A作AP⊥BD于点P，则∠APB=∠APE=90°，∵AE=AB=3，AP⊥BD，∴BP=PE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AB/​/CD，AD=BC=m，∴∠ABP=∠CDE∵作CF⊥BD，垂足为F，∴∠CED=∠∠APB=90°，∴△APB≌△CED(AAS)，∴BP=DE=PE，设BP=DE=PE=x，则BE=2x，在Rt△BEC中，CE2=BC2−BE2=m2−(2x)2=m2−4x2，在Rt△DEC中，CE2=DC2−DE2=32−x2=9−x2，∴m2−4x2=9−x2解得：x= 3m2−273(负值已舍去)，∴BD=3x= 3m2−27，在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2，∴( 3m2−27)2=32+m2，解得：m=3 2∵BE+DF>BD∴m<3 2综上所述m的范围为：30)∴x2=ba(ab>0)，∴x=± ba，∴方程的两个根互为相反数，∴3m+1+m−9=0，解得m=2，∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是7与−7，∴49a=b∴ba=49．故答案为49．16.【答案】1  5 【解析】解：x2−2x−4=0，x2−2x=4，x2−2x+1=4+1，(x−1)2=5，所以m=1，n=5，故答案为：1；5．移先后配方，变形后即可得出答案．本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．17.【答案】解：∵x2+2x+3=0，∴x2+2x+1=−2，∴(x+1)2=−2，⇒x+1=± 2i，解得x=−1± 2i，所以x1=−1+ 2i，x2=−1− 2i. 【解析】本题将虚数和方程结合起来求虚根，可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.【答案】解：(1)解不等式3(x−1)>x得：x>32，解不等式1−2x≤x−32得：x≥1，则不等式组的解集为x>32；(2)∵4(x+5)2−1=120，∴4(x+5)2=121，∴(x+5)2=1214，则x+5=±112，解得x1=12，x2=−212． 【解析】(1)分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集；(2)移项、合并，再两边都除以4，继而根据平方根的定义求解即可．本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：2x+3y=k①x+2y=−1②，②×2，得：2x+4y=−2③，①−③，得：−y=k+2，解得：y=−k−2，把y=−k−2代入②，得：x+2(−k−2)=−1，解得：x=3+2k，∵二元一次方程组的解互为相反数，∴x+y=0，即：−k−2+3+2k=0，解得：k=−1． 【解析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数，利用加减消元法求出x=3+2k，y=−k−2，根据x，y互为相反数可得到关于k的方程，解方程即可．20.【答案】解：(1)x2+6x+4=0，x2+6x=−4，x2+6x+9=−4+9，(x+3)2=5，x+3=± 5 ∴x1=−3+ 5，x2=−3− 5；(2)设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，由题意可得：3000x−30001.2x=20，解得x=25，经检验，x=25是原分式方程的解，∴1.2x=30．答：甲公司有30名员工，乙公司有25名员工． 【解析】(1)直接用配方法解一元二次方程即可；(2)设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据人均捐款钱数=捐款总钱数÷人数，结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，然后解方程即可．本题考查了解一元二次方程和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21.【答案】解：(1)2※ 12=4×2× 12=4×2×2 3=16 3;(2)x※x+2※x−2※4=0变形为4x2+8x−32=0，即x2+2x−8=0，∴(x+1)2=9解得：x=2或−4． 【解析】(1)原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；(2)已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：(1)∵将(a,b)放入后得到a2+2b−3，∴把(−5,2)放入后得到(−5)2+2×2−3=25+4−3=26．(2)把(m,−3m)放入后得到m2+2×(−3m)−3=m2−6m−3=4，∴m2−6m+9=16，解得m=7或m=−1．(3)小明的说法不正确，理由如下：把(n,3n−1)放入后得到n2+2×(3n−1)−3=n2+6n−2−3=n2+6n−5=(n+3)2−14≥−14，∴得到的实数不可能小于−15，∴小明的说法不正确． 【解析】略23.【答案】解：由二次根式有意义的条件可知5−a+b≥0，a−b−5≥0，即a−b≤5，a−b≥5，则a−b=5①，∴ 2a−5b+5+c+ 3a−3b−c=0，∴2a−5b+5+c=0②，3a−3b−c=0③，联立①③得：a−b=53a−3b−c=0，解得：c=15，将c=15代入②得：2a−5b=−20④，联立➀④得：a−b=52a−5b=−20，解得：a=15b=10，所以a=15，b=10，c=15． 【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和二元一次方程组的解法，认真计算是解决问题的关键.根据二次根式有意义的条件求出a−b=5，再根据 2a−5b+5+c+ 3a−3b−c=0列出方程组，解方程组求出a，b，c的值．24.【答案】解：∵关于x、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=112ax+3by=3的解相同，∴这个解既满足2x−3y=3，又满足3x+2y=11，应该是方程组2x−3y=33x+2y=11的解，解这个方程组得x=3y=1，又∵x=3y=1既满足ax+by=−1，又满足2ax+3by=3，应该是ax+by=−12ax+3by=3的解，∴3a+b=−12×3a+3b=3解得a=−2b=5，∴a=−2，b=5． 【解析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力.分析题意，因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值．．25.【答案】解：(1)x2−4x−8=0，(x−4)(x+2)=0，∴x1=4，x2=−2；(2)∵把△ABC绕着点A顺时针旋转，∴AE=AC，∠BAC=∠DAE=30°，∵点B与CA的延长线上的点D重合，∴∠CAE=150°，∴∠AEC=15°． 【解析】(1)利用因式分解法解方程；(2)由旋转的性质可得AE=AC，∠BAC=∠DAE=30°，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了一元二次方程的解法，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用因式分解法和掌握旋转的性质．