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人教版九年级上册22.1.1 二次函数复习ppt课件
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这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数复习ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了最高次数是4，①⑤⑥，由题意得，0x20，素养考点2，解得m1，解依题意有，由①得m－1，因此m1，因此C≥8cm等内容，欢迎下载使用。
一. 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
二.利用二次函数的定义求字母的值
解得 m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（40-2x ）m
y=x(40-2x)
即 y=-2x2+40x
当x＝12m时，菜园的面积为
y =-2x2+40x=-2×122+40×12 =192（m2）
三.建立二次函数的模型
已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0， 解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1； ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.
解：由二次函数的定义得
当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.
∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.
已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解②得:m1=－2, m2=1
此时,二次函数为: y=2x2.
四.利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= （c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
五.二次函数y=ax2与不等式的综合运用
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为 cm，∴S与C之间的关系式为S = ；（2）作图如右：（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm（4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8
，或c≤-8(舍去）.
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得 解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝ ×4×1+ ×4×4＝10.
六.二次函数y = ax2 +k的图象的画法
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
七.二次函数y=ax2+k的性质的应用
八.二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，因此平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
九.二次函数平移性质的应用
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
十.二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
十二.画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质
然后描点、连线，得到图象如下图：
由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
十三.指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质
二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0； ②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确；
由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
十四.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
十五.利用三点式求二次函数的解析式
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
十六.利用交点式求二次函数的解析式
十七.利用顶点式求二次函数的解析式
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.
十八.二次函数与一元二次方程的关系
解之得：x1=-1，x2=2.5
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
解：(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；
十九.利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）
如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
二十.二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用
解： 由抛物线的表达式得 即 解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.
解：由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝﹣ (x ﹣ 4)2+4. 将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝ ﹣ (7 ﹣ 4)2+4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
二十三.利用二次函数求几何图形的面积的最值
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
即当l是15m时，场地的面积S最大.
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为 m.
因此，当 时，
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45;当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；
解：设AD=xm，∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
二十四.如何定价利润最大
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
即定价65元时，最大利润是6250元.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
二十五.限定取值范围中如何确定最大利润
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=6070k+b=20
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）
k =－2b = 160
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元.
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. 因此令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）将两点坐标代入解析式即可求得：(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x=7和13. 因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， 因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16） 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
二十六.建立坐标系解答生活中的抛物线形问题
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
∴-2=a×22∴a=-0.5
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
即:抛物线过点(2,0)
因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
0=a×22+2，a=-0.5
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2
∵抛物线过点(0,0)∴0=a×(-2)²+2∴a=-0.5
因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2) ²+2.
此时,抛物线的顶点为(2,2)
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
三十.利用二次函数解决运动中抛物线形问题
解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a， ∴抛物线的表达式为
一. 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
二.利用二次函数的定义求字母的值
解得 m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（40-2x ）m
y=x(40-2x)
即 y=-2x2+40x
当x＝12m时，菜园的面积为
y =-2x2+40x=-2×122+40×12 =192（m2）
三.建立二次函数的模型
已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0， 解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1； ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.
解：由二次函数的定义得
当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.
∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.
已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解②得:m1=－2, m2=1
此时,二次函数为: y=2x2.
四.利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= （c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
五.二次函数y=ax2与不等式的综合运用
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为 cm，∴S与C之间的关系式为S = ；（2）作图如右：（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm（4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8
，或c≤-8(舍去）.
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得 解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝ ×4×1+ ×4×4＝10.
六.二次函数y = ax2 +k的图象的画法
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
七.二次函数y=ax2+k的性质的应用
八.二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，因此平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
九.二次函数平移性质的应用
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
十.二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
十二.画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质
然后描点、连线，得到图象如下图：
由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
十三.指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质
二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0； ②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确；
由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
十四.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
十五.利用三点式求二次函数的解析式
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
十六.利用交点式求二次函数的解析式
十七.利用顶点式求二次函数的解析式
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.
十八.二次函数与一元二次方程的关系
解之得：x1=-1，x2=2.5
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
解：(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；
十九.利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）
如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
二十.二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用
解： 由抛物线的表达式得 即 解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.
解：由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝﹣ (x ﹣ 4)2+4. 将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝ ﹣ (7 ﹣ 4)2+4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
二十三.利用二次函数求几何图形的面积的最值
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
即当l是15m时，场地的面积S最大.
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为 m.
因此，当 时，
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45;当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；
解：设AD=xm，∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
二十四.如何定价利润最大
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
即定价65元时，最大利润是6250元.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
二十五.限定取值范围中如何确定最大利润
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=6070k+b=20
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）
k =－2b = 160
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元.
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. 因此令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）将两点坐标代入解析式即可求得：(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x=7和13. 因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， 因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16） 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
二十六.建立坐标系解答生活中的抛物线形问题
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
∴-2=a×22∴a=-0.5
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
即:抛物线过点(2,0)
因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
0=a×22+2，a=-0.5
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2
∵抛物线过点(0,0)∴0=a×(-2)²+2∴a=-0.5
因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2) ²+2.
此时,抛物线的顶点为(2,2)
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
三十.利用二次函数解决运动中抛物线形问题
解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a， ∴抛物线的表达式为
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