高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练20　简单的三角恒等变换

这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练20　简单的三角恒等变换，共7页。试卷主要包含了求值等内容，欢迎下载使用。

1.(2021广西南宁三中模拟)sinπ12-csπ12的值等于( )
A.-22B.22C.-62D.62
答案:A
解析:sinπ12-csπ12=2csπ4sinπ12-sinπ4csπ12=2sinπ12−π4=-2sinπ6=-22.
2.(2021安徽亳州模拟)若csπ6-α=13,则cs2π3+2α=( )
A.29B.-29C.79D.-79
答案:C
解析:∵csπ6-α=13,∴csπ6-α=sinπ2-π6-α=sinπ3+α=13.
∴cs2π3+2α=1-2sin2π3+α=1-29=79.
3.(2021山西晋中一模)已知sin α+3cs α=1,则cs2α+2π3=( )
A.-32B.-12C.12D.-32或12
答案:C
解析:由sin α+3cs α=1,可得sinα+π3=12,
故cs2α+2π3=1-2sin2α+π3=12.
4.(2021重庆一中高三月考)求值:1-3tan10°1-cs20°=( )
A.1B.2
C.3D.22
答案:D
解析:原式=1-3sin10°cs10°2sin210°=cs10°-3sin10°2sin10°cs10°=2cs(10°+60°)22sin20°=22cs70°sin20°=22cs(90°-20°)sin20°=22sin20°sin20°=22.
5.(2021江苏南京师大附中高三月考)若λsin 160°+tan 20°=3,则实数λ的值为( )
A.3B.32C.2D.4
答案:D
解析:由λsin 160°+tan 20°=3可得λsin 20°+sin20°cs20°=3,
即λsin 20°·cs 20°=3cs 20°-sin 20°,
所以λ2sin 40°=2sin(60°-20°)=2sin 40°,所以λ=4.
6.(2021福建福州一中高三开学考试)已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=35,则tan θ的值为( )
A.17B.-17C.7D.-7
答案:D
解析:因为θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π.又因为sinπ4+θ=35,所以tanπ4+θ=-34,
所以tan θ=tanπ4+θ-π4=tan(π4+θ)-tanπ41+tan(π4+θ)·tanπ4=-34-11-34×1=-7.
7.(2021陕西西安一模)已知α∈π2,π,2sin 2α=cs 2α-1,则cs α=( )
A.-15B.-55C.33D.-255
答案:B
解析:由2sin 2α=cs 2α-1可得4sin αcs α=-2sin2α,
因为α∈π2,π,所以0因此2cs α=-sin α,所以sin2α+cs2α=4cs2α+cs2α=5cs2α=1,
解得cs α=-55(正值舍去).
8.已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β=( )
A.π4B.-π4C.-3π4D.π4或-3π4
答案:C
解析:tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12+(-17)1-12×(-17)=13,又α∈(0,π),所以0<α<π4.
所以tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1.
又π2<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-3π4.
9.(2021天津红桥模拟)3cs10°−1sin170°= .
答案:-4
解析:由题意得3cs10°−1sin170°=3cs10°−1sin10°=3sin10°-cs10°sin10°cs10°=2sin(10°-30°)12sin20°=4sin(-20°)sin20°=-4.
10.(2021广东汕头二模)若α+β=π3,则cs α+cs β的最小值为 .
答案:-3
解析:因为α+β=π3,所以cs α+cs β=cs α+csπ3-α=cs α+csπ3cs α+sinπ3sin α=32cs α+32sin α=312sin α+32cs α=3sinα+π3,
所以cs α+cs β的最小值为-3.
11.(2021贵州遵义一模)已知α,β∈0,π2,tan α=17,sin β=1010,则π-α-2β的值为 .
答案:3π4
解析:因为α,β∈0,π2,所以cs β=1-sin2β=1-(1010) 2=31010,
所以tan β=sinβcsβ=13,所以tan 2β=2tanβ1-tan2β=34,
则tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanα·tan2β=1.
因为α,β∈0,π2,tan α=17∈0,33,sin β=1010∈0,12,
所以α,β∈0,π6,所以0<α+2β<π2,所以α+2β=π4,故π-α-2β=3π4.
综合提升组
12.(2021河南安阳一模)已知2cs(2α+π3)sin(α+π6)=7,则csα-π3=( )
A.-12B.14C.27D.25
答案:B
解析:∵cs2α+π3=1-2sin2α+π6,由2cs(2α+π3)sin(α+π6)=7,
得21-2sin2α+π6=7sinα+π6,
化简得4sinα+π6-1sinα+π6+2=0.
∴sinα+π6=14,sinα+π6=-2(舍去),
∴csα-π3=csα+π6-π2=sinα+π6=14.
13.(2021吉林长春一模)已知sinα-π3+3cs α=13,则sin2α+π6=( )
A.23B.29C.-19D.-79
答案:D
解析:∵sinα-π3+3cs α=13,
∴sin αcsπ3-cs αsinπ3+3cs α=13,
∴12sin α-32cs α+3cs α=13,
∴12sin α+32cs α=13,
∴csα-π6=13,
∴sin2α+π6=sin2α-π6+π2=cs 2α-π6=2cs2α-π6-1=2×132-1=-79.
14.(2021云南昆明一中高三月考)已知m=2sin 18°,若m2+n=4,则1-2cs2153°mn=( )
A.-14B.-12C.14D.12
答案:B
解析:因为m=2sin 18°,m2+n=4,
所以n=4-m2=4-4sin218°=4cs218°,
因此1-2cs2153°mn=-cs306°2sin18°·2cs18°=-cs54°2sin36°=-sin36°2sin36°=-12.
15.(2021河北唐山一中高三月考)若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( )
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4D.5π4或9π4
答案:A
解析:∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin 2α=55,∴2α∈π2,π,
∴α∈π4,π2,cs 2α=-255.∵β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4,又sin(β-α)=1010,
∴cs(β-α)=-31010.
∴cs(α+β)=cs[2α+(β-α)]=cs 2αcs(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-255×-31010-55×1010=22.
又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4.
创新应用组
16.(2021广东广州模拟)在△ABC中,满足cs2A+cs2B=1,则sin2A+sin2B+sin2CsinCcsAcsB= .
答案:±4
解析:由cs2A+cs2B=1,cs2Asin2A+cs2A+cs2Bsin2B+cs2B=1,
即11+tan2A+11+tan2B=1,
所以2+tan2A+tan2B=(1+tan2A)(1+tan2B),可得tan Atan B=±1.
又sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=2sin(A+B)cs(A-B)+sin 2C=2sin Ccs(A-B)+2sin Ccs C=2sin Ccs(A-B)-2sin Ccs(A+B)=2sin C[cs(A-B)-cs(A+B)]=4sin Asin Bsin C,
所以sin2A+sin2B+sin2CsinCcsAcsB=4sinAsinBsinCsinCcsAcsB=4tan Atan B=±4.
17.(2021重庆南开中学高三月考)函数f(x)=sinxsin4x4+cs4x4的最小值为 .
答案:-2
解析:f(x)=sinx(sin2x4+cs2x4) 2-2sin2x4cs2x4=sinx1-14(1-csx)=4sinxcsx+3.
设4sinxcsx+3=t,可得4sin x-tcs x=3t,
可得t2+16sin(x-φ)=3t,
其中cs φ=4t2+16,sin φ=tt2+16.
因为sin(x-φ)∈[-1,1],
所以|3t|≤t2+16,解得-2≤t≤2.
因此f(x)的最小值为-2.
18.(2021广西来宾高三开学考试)设sinβ+π6+sin β=3+12,则sinβ-π3= .
答案:32或-12
解析:依题意sinβ+π6+sin β=3+12,
sinβ-π3+π2+sinβ-π3+π3=3+12,
csβ-π3+12sinβ-π3+32csβ-π3=3+12,
12sinβ-π3+3+22csβ-π3=3+12,
sinβ-π3+(3+2)csβ-π3=3+1,
csβ-π3=(3+1)-sin(β-π3)3+2,代入sin2β-π3+cs2β-π3=1,
sin2β-π3+(3+1)-sin(β-π3)3+22=1,
化简得(8+43)sin2β-π3-(23+2)sinβ-π3-(3+23)=0,
两边同时除以3+2,得4sin2β-π3+(2-23)sinβ-π3-3=0,
2sinβ-π3+12sinβ-π3-3=0,
解得sinβ-π3=-12或sinβ-π3=32.