高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练28　数列的概念

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1.已知数列12,23,34,…,nn+1,则0.96是该数列的( )
A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项
答案:C
解析:令nn+1=0.96,解得n=24.
2.(2021北京房山检测)设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=n2+1,则a5=( )
A.26B.19C.11D.9
答案:D
解析:(方法1)依题意Sn=n2+1,
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+1=n2-2n+2,an=Sn-Sn-1=2n-1,
当n=1时,a1=S1=2,不适合上式.
所以an=2,n=1,2n-1,n≥2,所以a5=2×5-1=9.
(方法2)a5=S5-S4=9.
3.若数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1=(2n-λ)an(n=1,2,…),则a3=( )
A.5B.9C.10D.15
答案:D
解析:令n=1,则3=2-λ,即λ=-1,由an+1=(2n+1)an,得a3=5a2=5×3=15.故选D.
4.(2021江西新余一中高三月考)在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( )
A.102B.9658C.9178D.108
答案:D
解析:将an=-2n2+29n+3看作一个二次函数,其对称轴为直线n=294,开口向下,
因为n∈N+,所以当n=7时,an取得最大值a7=108.
5.(2021北京人大附中高三月考)如表定义函数f(x),对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2 021=( )
A.1B.2C.5D.4
答案:D
解析:由题意,得a2=f(a1)=f(4)=1,
a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,
则数列{an}为4,1,5,2,4,1,…,是周期为4的周期数列,
所以a2 021=a4×505+1=a1=4.
6.已知函数f(x)=(2a-1)x+4,x≤1,ax,x>1,数列{an}(n∈N+)满足an=f(n),且{an}是递增数列,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.12,+∞
C.(1,3)D.(3,+∞)
答案:D
解析:由题意,a1=f(1)=2a-1+4=2a+3,当n≥2时,an=f(n)=an,因为{an}是递增数列,所以a>1,a2>2a+3,解得a>3,
则a的取值范围是(3,+∞).
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3,则an= .
答案:5,n=1,2n-1,n≥2
解析:因为Sn=2n+3,那么当n=1时,a1=S1=21+3=5;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1.
由于a1=5不满足上式,
所以an=5,n=1,2n-1,n≥2.
8.在数列{an}中,an=n2+kn+4,且对于任意n∈N+,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是 .
答案:(-3,+∞)
解析:由an+1>an知该数列是递增数列,
∵通项公式an=n2+kn+4,∴(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,
即k>-1-2n,又n∈N+,∴-1-2n≤-3,∴k>-3.
9.若数列{an}满足a1=35,an+1=2an,0≤an≤12,2an-1,12答案:35
解析:由已知可得,a2=2×35-1=15,a3=2×15=25,
a4=2×25=45,a5=2×45-1=35=a1,…,∴{an}为周期数列且T=4,
∴a2 021=a505×4+1=a1=35.
综合提升组
10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=( )
A.13n-1B.2n(n+1)
C.1(n+1)(n+2)D.5-2n3
答案:B
解析:∵数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2.∵{Sn+nan}为常数列,
∴Sn+nan=2.当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,∴(n+1)an=(n-1)an-1,从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=13·24·35·…·n-1n+1,∴an=2n(n+1)(n≥2),当n=1时上式成立,∴an=2n(n+1).故选B.
11.(2021云南大理模拟)数列{an}满足a1=2,an=an+1-1an+1+1,其前n项积为Tn,则T10=( )
A.16B.-16C.6D.-6
答案:D
解析:由an=an+1-1an+1+1,得an(an+1+1)=an+1-1,即an+1(an-1)=-(an+1),
所以an+1=an+11-an.
又a1=2,则a2=a1+11-a1=2+11-2=-3,a3=a2+11-a2=-3+11-(-3)=-12,a4=a3+11-a3=-12+11-(-12)=13,
a5=a4+11-a4=13+11-13=2=a1,…,所以{an}是以4为周期的周期数列,
所以a5a6a7a8=a1a2a3a4=1,a9a10=a1a2=2×(-3)=-6.
所以T10=a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10=-6.
12.(2021河南洛阳模拟)自然奇数列:1,3,5,…按如下方式排成三角数阵,第n行最后一个数为an,则an+2 021n的最小值为( )
A.4505+1B.1 00011C.91D.8189
答案:D
解析:由题意知,a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n(n≥2),
累加得an-a1=(4+2n)(n-1)2=n2+n-2(n≥2),则an=n2+n-1(n≥2).
又a1=1符合上式,所以an=n2+n-1.
所以an+2 021n=n2+n+2 020n=n+2 020n+1,
函数y=x+2 020x(x>0)在(0,2 020)上是递减的,在(2 020,+∞)上是递增的,且44<2 020<45.
当n=44时,a44+2 02144=45+2 02044=1 00011.
当n=45时,a45+2 02145=46+2 02045=8189,
比较可得,当n=45时,取最小值为8189.
13.已知数列{an}满足an≠0,2an(1-an+1)-2an+1(1-an)=an-an+1+anan+1,且a1=13,则数列{an}的通项公式an= .
答案:1n+2
解析:∵an≠0,2an(1-an+1)-2an+1(1-an)=an-an+1+anan+1,∴两边同除以anan+1,得2(1-an+1)an+1−2(1-an)an=1an+1−1an+1,整理得1an+1−1an=1,即1an是以1a1=3为首项,1为公差的等差数列,
∴1an=3+(n-1)×1=n+2,即an=1n+2.
创新应用组
14.(2021山西太原高三期末)意大利数学家斐波那契提出的“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…在现代生物及化学等领域有着广泛的应用,它可以表述为数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn},则{bn}的前2 021项和为( )
A.2 014B.2 022C.2 265D.2 274
答案:D
解析:∵数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,
被3除后的余数构成一个新数列{bn},
∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,
观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列,
∵2 021=252×8+5,且b1+b2+…+b8=9,
∴{bn}的前2 021项和为252×9+1+1+2+0+2=2 274.
15.(2021江苏苏州高三质检)已知数列{bn}满足bn=2λ-12n-1-n2,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是( )
A.-1,103B.-12,103C.(-1,1)D.-12,1
答案:A
解析:∵数列{bn}是递减数列,∴bn+1即2λ-12n-(n+1)2<2λ·-12n-1-n2恒成立,即6λ-12n<2n+1.
当n为奇数时,则6λ>-(2n+1)·2n恒成立,
∵函数y=-(2n+1)·2n是递减的,
∴当n=1时,-(2n+1)·2n取得最大值为-6,
∴6λ>-6,解得λ>-1;
当n为偶数时,则6λ<(2n+1)·2n恒成立,∵函数y=(2n+1)·2n是递增的,
∴当n=2时,(2n+1)·2n取得最小值为20,∴6λ<20,解得λ<103.
综上,-1<λ<103.x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2