高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练30　等比数列

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1.(2021陕西西安二模)在等比数列{an}中,a3a7=9,则a5=( )
A.±3B.3C.±3D.3
答案:A
解析:由等比数列的性质,可得a52=a3a7=9,则a5=±3.
2.(2021四川成都三诊)已知数列{an}为等比数列,则“a6>a5>0”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:设数列{an}的公比为q.充分性:当a6>a5>0时,q=a6a5>1,且a1=a5q4>0,则数列{an}为递增数列;
必要性:当数列{an}为递增数列时,若a1<0,0a6>a5.故为充分不必要条件.
3.(2021山西临汾二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=21,a4-a1=21,则a3=( )
A.9B.10C.11D.12
答案:D
解析:设等比数列{an}的公比为q, 显然q≠1,则a1(1-q3)1-q=21,a1q3-a1=21,
解得q=2,a1=3,则a3=3×22=12.
4.(2021湖北鄂东南示范高中联考)在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=20,则a7+a8=( )
A.80B.100C.120D.140
答案:A
解析:设等比数列{an}的公比为q,则q2=a3+a4a1+a2=2,∴a7+a8=(a1+a2)q6=10×23=80.
5.(2021安徽江南十校一模)将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an},则a10=( )
A.319B.320C.321D.322
答案:B
解析:由题意知,数列{an}是首项为9,公比为9的等比数列,所以an=9n,
则a10=910=320.
6.(2021吉林长春四模)在等比数列{an}中,a1+a2=94,a4+a5=18,则其前5项的积为( )
A.64B.81C.192D.243
答案:D
解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意a4+a5a1+a2=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=94,
所以a1=34,所以a1a2a3a4a5=a15q10=345×210=243.
7.(2021河南新乡、商丘高三联考)设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2-a5=0,Sm=5S2,则m的值是 .
答案:4
解析:设等比数列{an}的公比为q,由8a2-a5=0,得8a1q=a1q4,解得q=2.
又因为Sm=5S2,所以a1(1-2m)1-2=5·a1(1-22)1-2,解得m=4.
8.(2021北京西城一模)在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q= ;满足an>1的n的最大值为 .
答案:-12 3
解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.
所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-12n-1,
所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8×(-12)n-1=8×12n-1=24-n>0.
要使an>1,则4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3,n的最大值为3.
9.(2021河北邯郸二模)已知数列{an}满足an>0,an+1=3an+4.
(1)证明:数列{an+2}为等比数列;
(2)若a3=25,求数列{an-n}的前n项和Sn.
(1)证明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),
因为an>0,所以an+2≠0,
所以数列{an+2}为等比数列.
(2)解:若a3=25,则an+2=(a3+2)×3n-3,即an+2=(25+2)×3n-3,
所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,
数列{an-n}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)-(1+n)·n2-2n=3(1-3n)1-3−(1+n)·n2-2n
=3n+12−n22−5n2−32.
综合提升组
10.(2021广东梅州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则S1a1+S2a2+…+S8a8= .
答案:502
解析:因为an+Sn=1,
所以当n≥2时,an-1+Sn-1=1,
两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n≥2);
当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.
所以数列{an}表示首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12n,
Sn=12[1-(12) n]1-12=1-12n,所以Snan=1-(12) n(12) n=2n-1,
所以S1a1+S2a2+S3a3+…+S8a8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.
11.(2021山东淄博高三)在等比数列{an}中,a1=2,公比q>1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是 .
答案:1 022
解析:由f(x)=13x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,
又因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,
所以a2,a3是函数f'(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的两个零点,即4或8,
又因为a1=2,{an}是等比数列,所以a2=4,a3=8,故q=2.
则前9项和为2(1-29)1-2=210-2=1 022.
12.(2021河南湘豫名校联盟3月联考)已知等比数列{an}满足a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1a2…an取得最小值的n为 .
答案:3或4
解析:设公比为q,则q=a2-a4a1-a3=3,∴a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-827,∴a1=127,a2=19,a3=13,a4=1,…,
∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.
13.(2021湖南长沙模拟预测)在等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则满足a1a2+a2a3+…+anan+1≤212成立的n的最大值为 .
答案:3
解析:已知{an}为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,解得q=12,
又a2=2,∴a1=4.
∵an+1an+2anan+1=q2=14,∴数列{anan+1}也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为14.
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=323(1-4-n)≤212,从而有14n≥164.
∴n≤3.故nmax=3.
14.(2021山东青岛西海岸新区高三期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则{an}的通项公式an= ;若数列{bn}的通项公式bn=n,将数列{bn}中与{an}相同的项去掉,剩下的项依次构成数列{cn},{cn}的前n项和为Tn,则T100= .
答案:2n 5 545
解析:由题意,数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,
所以{an}的通项公式an=2n.
在数列{bn}的前100项中与数列{an}相同的项为2,22,23,24,25,26,
所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2−2(1-26)1-2=5 671-126=5 545.
创新应用组
15.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EMQ的面积为S2).
有以下结论:①数列{an}是公比为23的等比数列;②S1=112;③数列{Sn}是公比为49的等比数列;④数列{Sn}的前n项和Tn<14.
其中正确结论的序号有 .
答案:②④
解析:如图,
由图知an=an+1·(sin 15°+cs 15°)=an+1×2sin(15°+45°)=62an+1,
对于①:an=62an+1,a1=AB=1,所以数列{an}是公比为26=63的等比数列,故不正确;
对于②③:因为an=1×63n-1=63n-1,所以Sn=an2-an+124=1423n-1-23n=112×23n-1,
所以数列{Sn}是首项为112,公比为23的等比数列,故②正确,③不正确;
对于④:Tn=112[1-(23) n]1-23=141-23n<14,故④正确.
16.(2021浙江温州一模)有一种病毒在人群中传播,使人群成为三种类型:没感染病毒但可能会感染病毒的S型;感染病毒尚未康复的I型;感染病毒后康复的R型(所有康复者都对病毒免疫).根据统计数据:每隔一周,S型人群中有95%仍为S型,5%成为I型;I型人群中有65%仍为I型,35%成为R型;R型人群都仍为R型.若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S型,记病毒爆发n周后的S型人数为Sn,I型人数为In,则Sn= ;In= .(用A和n表示,其中n∈N+)
答案:0.95nA 0.95n-0.65n6·A
解析:由题意,可得Sn+1=0.95Sn,①In+1=0.05Sn+0.65In,②S0=A,③I0=0,④
由①③可得Sn=0.95nA,代入②可得In+1=0.65In+0.05×0.95nA,
则In+1-16×0.95n+1A=0.65×In-16×0.95nA,
所以数列In-16×0.95nA为等比数列,公比为0.65,
由④可得In-16×0.95nA=0.65n×I0-16×0.950A,
整理得In=16×0.95nA-16×0.65nA=0.95n-0.65n6·A.
综上可得Sn=0.95nA,In=0.95n-0.65n6·A.