高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练23　余弦定理、正弦定理及应用举例

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1.(2021四川成都二诊)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sin A=35,则sin B的值为( )
A.15B.115C.13D.59
答案:A
解析:由正弦定理可知asinA=bsinB,
即3b35=bsinB,所以sin B=15.
2.(2021江西宜春模拟)在△ABC中,BC=17,AC=3,cs A=13,则△ABC的面积为( )
A.42B.2C.4D.92
答案:A
解析:因为BC=17,AC=3,cs A=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs A,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cs A=13,A∈(0,π),所以sin A=223,
所以S△ABC=12AB·AC·sin A=12×4×3×223=42.
3.(2021四川眉山三诊)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=c2-a2-b24,则C=( )
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6
答案:C
解析:由S△ABC=12absin C,得c2-a2-b24=12absin C,
整理得c2=a2+b2+2absin C,
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcs C,所以sin C=-cs C,即tan C=-1.
又C∈(0,π),所以C=3π4.
4.(2021河南郑州模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=3,若这个三角形有两解,则b的取值范围是( )
A.3C.b<23D.b≤23
答案:B
解析:当△ABC有两解时,bsin A即bsin 30°<35.(2021云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为( )
A.130π9B.65π9C.65π18D.65π36
答案:C
解析:由图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cs C=10+9-13610=1010,所以sin C=31010.设R为△ABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=csinC=1331010=1303,所以R=1306,所以S=πR2=130π36=65π18.
6.(2021山西临汾适应性考试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为( )
A.44 mB.42 mC.48 mD.46 m
答案:A
解析:由题可知∠CAD=15°,∠CBD=30°,则∠ACB=15°,
所以BC=AB=66.
设坡角为θ,则由题可得tan θ=73,则可求得cs θ=34.
在△BCD中,∠BDC=θ+90°,
由正弦定理,得CDsin30°=BCsin(θ+90°),即CD12=66csθ=6634,解得CD=44,
故宝塔CD的高为44 m.
7.(2021江苏徐州考前模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cs ∠BAC=57,内角B与D互补,若AC平分∠BAD,则CD的长为 .
答案:10
解析:在△ABC中,由余弦定理,得BC=
AB2+AC2-2AB·ACcs∠BAC=82+142-2×8×14×57=10.
由cs∠BAC=57可得sin∠BAC=267.
由正弦定理,得sin B=ACBCsin∠BAC=1410×267=265,
又内角B与D互补,所以sin D=sin B=265.
因为AC平分∠BAD,所以sin∠DAC=sin∠BAC=267,
所以由正弦定理,得CD=ACsinDsin∠DAC=14265×267=10.
8.(2021浙江杭州二模)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,则C= ,△ABC的面积S= .
答案:π3 334
解析:因为a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,
整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=12,因为C为三角形内角,所以C=π3.
由a2+b2-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),
所以△ABC的面积S=12absin C=12×1×3×32=334.
9.(2021山东潍坊二模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).
(1)求角C;
(2)若c=210,D为BC中点,cs B=255,求AD的长度.
解:(1)∵2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A),∴2b2=2bccs A·(1-tan A).
∴b=c(cs A-sin A),
由正弦定理,得sin B=sin C(cs A-sin A),
∴sin(A+C)=sin Ccs A-sin Csin A,
∴sin Acs C=-sin Csin A,
∵sin A≠0,∴tan C=-1,又C∈(0,π),解得C=3π4.
(2)∵cs B=255,∴sin B=55.
∵sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C=1010,
由正弦定理,得a=csinAsinC=22,
∴BD=2,
在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcs B,解得AD=26.
10.(2021山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cs2π2+A+cs A=5.
(1)求A;
(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.
解:(1)由题意得6sin2A+cs A=5,整理得6cs2A-cs A-1=0,解得cs A=12或cs A=-13.
又A∈0,π2,所以cs A=12,即A=π3.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,得4=b2+c2-bc,
即b2+c2=4+bc.
由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=232=433,
即b=433sin B,c=433sin C,而C=2π3-B,
bc=163sin Bsin C=163sin Bsin2π3-B=833sin Bcs B+83sin2B=433sin 2B-43cs 2B+43=83sin2B-π6+43.
又0所以π6<2B-π6<56π,所以sin2B-π6∈12,1,
即bc∈83,4,所以b2+c2=4+bc∈203,8.
综合提升组
11.(2021东北三省四市联考)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度,在该教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为(153-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算该教堂的高度为( )
A.20 mB.30 mC.203 mD.303 m
答案:D
解析:由题意得∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°.
在Rt△ABM中,AM=ABsin∠AMB=ABsin15°,
在△ACM中,由正弦定理,得AMsin∠ACM=CMsin∠CAM,所以CM=AM·sin45°sin30°=AB·sin45°sin15°·sin30°,
在Rt△DCM中,CD=CM·sin 60°=AB·sin45°·sin60°sin15°·sin30°=(153-15)×22×326-24×12=303.
12.(2021河南郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD= .
答案:2
解析:因为∠ABC的平分线交AC于点D,
所以∠ABD=∠CBD=45°,
所以S△ABC=12acsin 90°=12c·BD·sin 45°+12a·BD·sin 45°,
可得2ac=2c·BD+2a·BD,可得2BD(a+c)2ac=1,所以a+4c=(a+4c)·2(a+c)2ac·BD,
所以a+4c=22BDac+5+4ca≥22BD5+2ac·4ca=922BD=9,
当且仅当a=2c=3时,等号成立,所以BD=2.
13.(2021四川成都石室中学高三月考)拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组织人流、物流,使城市土地的利用率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图,设△ABC代表旧城区,新的城市发展中心O1,O2,O3分别为正三角形ACD,正三角形BCF,正三角形ABE的中心.现已知AB=2,∠ACB=30°,三角形O1O2O3的面积为3,则三角形ABC的面积为 .
答案:233
解析:如图所示,
连接CO1,CO2,由题意得CO1=33AC,CO2=33BC,∠O2CB=30°,∠O1CA=30°.
因为∠ACB=30°,所以∠O1CO2=90°,S三角形O1O2O3=34O1O22=3,解得O1O2=2.
由勾股定理,得CO12+CO22=O1O22,即33AC2+33BC2=O1O22,
即AC2+BC2=12.
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcs 30°,解得AC·BC=833,
所以三角形ABC的面积为12AC·BCsin 30°=233.
14.(2021福建三明模拟)在①bsin B+csin C=233bsin C+asin A;②cs2C+sin Bsin C=sin2B+cs2A;③2b=2acs C+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC外接圆的半径R为1,且 .
(1)求角A;
(2)若AC=2,AD是△ABC的内角平分线,求AD的长度.
解:(1)方案一:选择①,bsin B+csin C=233bsin C+asin A,
由正弦定理,得b2+c2=233bsin C+aa,
即b2+c2-a2=233absin C,
由余弦定理,得2bccs A=233absin C,所以sin Ccs A=33sin Asin C.
因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以tan A=3.
又因为A∈(0,π),所以A=π3.
方案二:选择②,cs2C+sin Bsin C=sin2B+cs2A得1-sin2C+sin Bsin C=sin2B+1-sin2A,
即sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,
由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=12,
因为A∈(0,π),所以A=π3.
方案三:选择③,由2b=2acs C+c,结合正弦定理,得2sin B=2sin Acs C+sin C.
因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sin Acs C+sin C,
所以2cs Asin C=sin C.
因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以cs A=12.
因为A∈(0,π),所以A=π3.
(2)在△ABC中,由正弦定理,得ACsinB=2R=2,
所以sin B=22,所以B=π4因为A=π3,由三角形内角和定理,B不可能为3π4.
在△ABC中,C=π-π3−π4=5π12.
因为AD是△ABC的内角平分线,
所以∠CAD=π6,
所以∠ADC=π-π6−5π12=5π12,
所以AD=AC=2.
创新应用组
15.(2021广东深圳二模)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于2π3时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3的点P即为费马点.已知点P为△ABC的费马点,且AC⊥BC,若|PA|+|PB|=λ|PC|,则实数λ的最小值为 .
答案:23+2
解析:根据题意,点P为△ABC的费马点,△ABC的三个内角均小于2π3,
所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3.
设∠PCB=α,所以在△BCP和△ACP中,∠CBP=π3-α,∠ACP=π2-α,∠CAP=π3-∠ACP=α-π6,且均为锐角,
所以α∈π6,π3.
所以由正弦定理,得|BP|sinα=|PC|sin(π3-α),|PA|sin(π2-α)=|PC|sin(α-π6),
所以|BP|=sinαsin(π3-α)|PC|,|PA|=sin(π2-α)sin(α-π6)|PC|,
因为|PA|+|PB|=λ|PC|,
所以λ=sinαsin(π3-α)+sin(π2-α)sin(α-π6)=32-sinαcsαsinαcsα-34=34-(sinαcsα-34)sinαcsα-34=34sinαcsα-34-1=32sin2α-3-1,
因为α∈π6,π3,所以2α∈π3,2π3,所以2sin 2α-3∈(0,2-3],
所以32sin2α-3-1∈[23+2,+∞),
故实数λ的最小值为23+2.
16.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;
注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.
(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.
解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示,
①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;
②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为β,α,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;
③经计算建筑物AB=asinαsinβsin(α-β)+h或者写成atanαtanβtanα-tanβ+h.
(2)答案:合理即可.①测量工具精度问题;②两次测量时位置的间距差.