2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019期末综合自检卷

这是一份2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019期末综合自检卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲､乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ）
A．B．C．D．
2．曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ）
A．16000种B．14400种C．2880种D．2400种
5．数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
且经验回归方程为，则当时，的预测值为（ ）
A．62.5B．61.7C．61.5D．59.7
8．经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
B．数据1，3，4，5，7，8，10第80百分位数是8
C．已知变量x，y的线性回归方程，且，则
D．已知随机变量，则
10．若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列为“凸数列”
B．若，则数列为“凸数列”
C．若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列”
D．若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．若函数有两个零点，，则
C．若在定义域内存在单调递增区间，则实数
D．若，且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答）
13．自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则 ，其实际意义为 ．
14．已知数列满足①②.则 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
16．设.
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若在 上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数存在两个极值点，求证：.
17．某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）：
(1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
(2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？
(3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
18．为了选拔雏鹰计划的预备人员，某地区教育局对高一年级新生进行了测试（测试分为初试和复试）．现共有400名学生参加初试，且所有学生的初试成绩近似服从正态分布，根据以往入选同学的初试和复试成绩走势，本届复试作出如下规定：①初试成绩高于91分者免于复试，直接确定为雏鹰计划的预备人员；②初试成绩高于80分且不超过91分的学生有资格参加复试，下图为从以往入围雏鹰计划预备人员的所有同学中随机抽取的20名同学的的初试和复试成绩．
(1)试估计这400名学生中能参加复试的人数，并说明规定①的合理性；
(2)复试试题由两道数学题和两道物理题构成，已知数学题的难度系数为0.5（可以理解为进入复试的学生答对每道数学题目的概率是0.5），物理题目的难度系数均为，能否答对这些题目相互独立，每个考生需答完四个题目，至少答出其中三个即通过复试并确定为雏鹰计划的预备人员，如果本次确定为雏鹰计划的预备人员数目不能超过33人，请确定物理试题的难度系数的取值范围．
附：若随机变量服从正态分布，则，
19．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．
1
2
3
25
36
40
48
56
参考答案：
1．A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择，
甲和乙均不选择活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择活动中心考察参观有种选择，所以，
事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择，
所以,因此.
故选：A．
2．A
【分析】依题意，切点为，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】依题意，切点为，，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：A
3．B
【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解.
【详解】设，
因为，，，
所以
即，
，
显然在上单调递减，
，所以在上单调递减，
所以，即，
又，当时，，所以在上单调递增，
所以,
故选：B.
4．B
【分析】利用捆绑法结合排列的知识求解即可.
【详解】先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑，再和其他4个文化符号排列，共有种.
故选:B.
5．D
【分析】根据选项所给通项公式取值验算即可得正确答案.
【详解】对于A，时，，故A错误；
对于B，时，，故B错误；
对于C，时，，故C错误；
对于D，的前8项依次为0，1，0，，0，1，0，，故D正确.
故选：D
6．C
【分析】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果.
【详解】设数列的公比为，显然，则，解得或（舍去）.
故选C.
7．D
【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，再代入计算可得.
【详解】依题意，，
又经验回归方程为必过，即，解得，
所以，当时，
即当时，的预测值为.
故选：D
8．D
【分析】根据等差中项得到，设直线方程为，联立抛物线方程，借助韦达定理，由焦点弦弦长公式得到，表达出，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为，
因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
与联立得，
设，显然，则，，
故，
设直线倾斜角为，则，
所以，
故，解得，
故，
又，故，解得，
故.
故选：D
【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；
（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；
（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；
（3）抛物线定义结合焦点弦公式.
9．BCD
【分析】由相关系数与相关性强弱的关系可判断，由百分位数的求法判断，由线性回归方程过点判断，由正态分布概率的特征判断.
【详解】对于，，越小，x与y之间的相关性越弱，故错误；
对于，这组数据一共有个数据，，
所以这组数据的第80百分位数是从小往大排列的第个数，即为8，故正确；
对于，线性回归方程过点，
即，当时，，故正确；
对于，，，
则，故正确.
故选：BCD.
10．BC
【分析】根据题意，由“凸数列”的定义，即可判断AB，再由单调数列的定义以及“凸数列”的定义分别判断CD，即可得到结果.
【详解】因为，，
且，则，所以数列不是“凸数列”，故A错误；
因为，，
且，所以，
则数列为“凸数列”，故B正确；
因为，，
，
则，
，
所以，
又数列是单调递减数列，则，即，
所以，即，
即数列为“凸数列”，故C正确；
因为数列为“凸数列”，则，
即，即，
所以，而的符号不确定，
故不一定为单调递减数列，故D错误；
故选：BC
11．ACD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的即可判断；B选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，可判断结论；C选项中，问题等价于，在有解，利用一次函数二次函数的性质求解；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值判断结论.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
由，当时，恒成立，在上单调递增；
又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，在上是增函数，A正确；
对于B，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，，
由，，，即，
在上单调递增，，即，
所以，可知不成立，B错误；
对于 C，，函数定义域为，，
若在定义域内存在单调递增区间，则有解，
即，在有解，
时，结合一次函数和二次函数的性质可知，在一定有解；
时，有，解得，此时，对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，
所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；
对于D，由，且，
得，即，
由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；
，则，所以，，则有，即，
可得；
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，D正确.
故选：ACD.
12．32
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【详解】根据的展开式的通项公式为，
当r＝3时，，解得；
故所有项的二项式系数之和为．
故答案为：32．
13． 物体在时的瞬时速度为m/s.
【分析】根据导函数定义求解即可；
【详解】因为，，所以；
其实际意义为物体在时的瞬时速度为m/s；
故答案为：；物体在时的瞬时速度为m/s.
14． 23
【分析】根据递推公式，依次求和；当为奇数时，令，可得，当为偶数时，令，可得，即可求得数列是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法，即可求解.
【详解】由得得；
当为奇数时，，令，则，
当为偶数时，，令，
则，
则，
当时，，所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
则
当为奇数时，由，则，
所以，
当为偶数时，由，则，所以，
所以，
所以，
.
故答案为：；
15．(1)-2
(2)
【分析】（1）设出公差，根据为等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）设数列的公差为d，则．
因为是等差数列，所以为常数．
，
所以，解得
（2）因为，所以．
，
故．
16．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求；
（3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得.
【详解】（1）当时，，则，则，
又，则切线方程为，即；
（2），令，
则，当时，有，
故在上单调递增，即在上单调递增，
则，
当时，，则在上单调递增，
有，满足要求；
当时，则，又，
则必存在，使，即，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则
，令，
则，
则在上单调递减，则，
即，故此时不符合题意，故舍去，
综上所述，；
（3）由（2）得，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又函数存在两个极值点，则，即，
则有，要证，即证，
又，，在上单调递增，
即只需证，又，
即只需证，
令
，，
则
，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）相邻问题利用捆绑法；
（3）不相邻问题利用插空法，先排3个歌舞类节目，再分小品节目和1个相声节目互不相邻及有一个相邻两种情况讨论.
【详解】（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，
先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法，
故共有种排法.
（2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法，
必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法，
故共有种排法.
（3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法；
第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目：
①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法；
②若与中的其中一个相邻，则有种排法.
故共有种排法.
18．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用正态分布可得可求这400名学生中能参加复试的人数，由比例很底，同时以往参加复试的同学91分以上的复试成绩也很好，故合理；
（2）由（1）可求得通过复试进入的同学不超过24人，可得，求解即可.
【详解】（1）因为所有学生的初试成绩近似服从正态分布，，
由，可得，
所以，
由可得
所以
所以
故这400名学生中能参加复试的人数为
从以往入围雏鹰计划预备人员的所有同学中随机抽取的20名同学的的初试和复试成绩，
初试成绩在91分以上的同学，复试成绩均较初试成绩更好，
故这种规定比较合理．
（2）由（1）可得免试入围的同学有，
因为本次确定为雏鹰计划的预备人员数目不能超过33人，所以通过复试进入雏鹰计划的预备人员不超过人，
由知数学题的难度系数为0.5，物理题目的难度系数均为P，
故答对至少答对三题的概率为，
所以通过复试进入雏鹰计划的预备人员，
所以，解得，
所以定物理试题的难度系数P的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集；
（3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论.
【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列，
第二次“和扩充”后得到数列，
；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，所以，
其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故，
，
故是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，故，
则，即，
又，解得，
（3）因为，
，，
依次类推，，
故
，
若使为等比数列，则或.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.