2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷

这是一份2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）
A．B．C．2.4D．2.5
2．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24B．或C．45D．0或45
4．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A．B．
C．D．
5．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足
7．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．20D．
8．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）
附：若，则，，.
A．8186B．8400C．9545D．9759
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（ ）
A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是
B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是
C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是
D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是
10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列中的最大值是D．数列无最大值
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．，
B．函数可能无极值点
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为 .
13．设表示在处的导数值， 已知，则
14．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知实数，在的二项展开式中.
(1)求项的系数；
(2)若第三项不大于第五项，求的取值范围.
16．已知函数．
(1)若曲线在点与处的切线平行，讨论函数的单调性；
(2)若时，，求a的取值范围．
17．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.
18．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．
(1)若测试的同学中，分数在，，，内女生的人数分别为2人，8人，16人，4人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关？
(2)用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
19．已知数列的各项均为正数，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由．
(3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
等级
不合格
合格
得分
频数
6
x
24
y
等级性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
0．1
0．05
0．01
2．706
3．841
6．635
参考答案：
1．D
【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程，解得结果即可.
【详解】因为相应于点的残差为，所以，
所以，解得.
故选：D.
2．B
【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可.
【详解】数列中，，因此，
则数列是常数列，于是，，
所以.
故选：B
3．B
【分析】设直线与曲线相切的切点为并求切线方程，将点代入切线方程，从而解方程即可得到结果.
【详解】由，得，
设直线与曲线相切的切点为，
则在处的切线斜率为，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入并整理，得，
即，解得或，
所以直线的斜率为24或.
故选：B.
4．A
【分析】由点的分布特征可直接判断
【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故选：A
5．B
【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解.
6．C
【分析】根据题意，找到合适的数列满足递推关系，或举反例否定. 对选项，找到，且满足题意；对选项，找到，且满足题意；对选项，找到与题设矛盾；对选项，找到满足题意；
【详解】对选项，令，且，则有：，故选项正确；
对选项，由，得：
令，则当时，数列满足题设，所以B正确；
对选项，由，
令，得，，，，
令，得，，，
则，，从而，与矛盾，所以错误；
对选项，存在数列，比如，则有：，故选项正确；
故选：
【点睛】需要熟悉常见函数的运算规则，比如对数运算、指数运算等，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.
7．C
【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
8．A
【分析】记单果质量为，则，求出，即可估计数量.
【详解】记单果质量为，则，所以，，
所以
，
所以，
即现有该新品种大枣个，可估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.
故选：A
9．ACD
【详解】解：对于，从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是，故正确；
对于，依次从甲箱中取出两盒饺子，
第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为：
，故错误；
对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是：
，故正确；
对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为：
，故正确．
故选：．
10．ABC
【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误.
【详解】由，，可得为单调递减的数列且，
由可得，.
A选项：，显然A正确；
B选项：，
根据等比中项可得，显然B正确；
C选项：由，为单调递减的数列且，
可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1，
所以数列中的最大值是，所以C正确；
D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据零点存在性定理判断A，利用特例说明B，根据极值点的定义判断C，结合导函数的单调性，说明的单调性，即可判断D.
【详解】函数，，
当时，，当时，，
又当时，，当时，，
又为连续函数，所以，，故A正确；
当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确；
三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；
若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以有极大值点且，
此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误．
故选：ABC．
12．
【分析】令即可求出，求出展开式通项即可求出常数项.
【详解】令，可得展开式中各项系数的和，解得；
的展开式通项为，
因为，所以展开式中常数项为，
故答案为：.
13．/
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出.
【详解】由，得
，
令，则，解得，
故答案为：
14．9
【分析】设的公差为，由题意基本量化简得到.，代入基本量，化简得到，通过的范围进而得到的范围.
【详解】设等差数列的公差为，，，即.，
，得到，将代入，得到，即.
，，即，
得到，，，，所以元素个数为9个.
故答案为：9.
15．(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意可得通项为，令，运算求解即可；
（2）由（1）可得：，，根据题意列式求解即可.
【详解】（1）的二项展开式的通项为，
令，解得，
所以项的系数为.
（2）由（1）可得：，，
由题意可知：，且，解得，
所以的取值范围为.
16．(1)在上单调递增
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出，再探讨导数值正负即可.
（2）根据给定条件，构造函数分类讨论，并求出最小值求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
依题意，，即，解得，
因此，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增．
（2）设，
求导得，，
当时，，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在处取得最小值，依题意，，解得，
所以a的取值范围是．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式；
（2），裂项相消求得，由，可得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，，成等差数列知，，
即，
所以，有，即或.
①当时，，不合题意；
②当时，，得，
所以等比数列的通项公式；
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以数列的前n项和，
由，可得.
18．(1)列联表见解析，不能；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本容量，再由数据表求出，列出列联表，计算并比对作答.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知得分在的频率为，
所以抽取的学生答卷总数为，则，，
列联表为：
于是，
依据的独立性检验，不能认为性别与安全意识有关．
（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，
则X的可能取值为0，5，10，15，20，
，
，
所以X的分布列为：
期望．
19．(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)4139166
【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断；
（3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为的各项均为正数，，且，
则，可得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
（2）不存在，理由如下：
由（1）可得：，
则，
令，即，解得，
且，可得，
可知数列的最大项为，
所以不存在正整数m，使得成立.
（3）由（2）可得：，其前n项和为；
由题意可知：，其前n项和为；
因为，，
且，
对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，
所以.
等级性别
不合格
合格
总计
男生
14
16
30
女生
10
20
30
总计
24
36
60
X
0
5
10
15
20
P