湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末自检数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末自检数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 设集合则， 已知，则复数， 设均为单位向量，且，则， 已知锐角满足，则， 已知等比数列是其前项和，，则， 若，分别是双曲线， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知，.
故选：C
2. 已知，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设（a，），代入，利用复数相等求解.
【详解】设（a，），则.
因为，所以,
即，
整理得，
所以，
解得，
所以.
故选：C
3. 设均为单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】对两边平方可得答案.
【详解】
.
故选：B.
4. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式求出，再将原式化为，代入求解即可.
【详解】因为为锐角，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
5. 已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A. B. 8C. 7D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因，可得，即，所以，
所以.
故选：C.
6. 通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解.
【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案.
故选：D.
7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A. 36B. 46C. 56D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.
【详解】由，，，，且，
则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为,
矩形的面积为,
且上下底面的高为3，所以四棱台的体积.
故选：C
8. 若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算.
【详解】圆：的圆心，半径，
双曲线：则，，，
设左焦点为，则，即，
所以，
当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 不存在常数项B. 二项式系数和为1
C. 第4项和第5项二项式系数最大D. 所有项的系数和为128
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.
【详解】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为，故B错误；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心D. 有两个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导后令，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。
【详解】，故A正确；
令，解得，当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极小值，在取得极大值，
即，，
只有一个零点，故B正确D错误；
，所以关于对称，故C正确。
故选：ABC
11. 如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A. 三棱锥的体积为B. 线段的长为
C. 点的轨迹长为D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，点到平面的距离为，再通过三棱锥的体积公式计算即可；对于B，设的中心为，则，通过勾股定理计算即可；对于C，如图②所示，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成并计算即可；对于D，建立空间直角坐标系，当位于点或的位置时，最小，计算即可.
【详解】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为，
又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；
对于B，如图①所示，设的中心为，则，
故B错误；
对于C，如图②所示，由知，，
点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，
由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；
对于D，，
为在方向上的投影，由图①可知，
当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则，，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为奇函数，则的值为_____________ .
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得.
【详解】函数中，，方程的根为，
由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以的值为.
故答案为：
13. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米.

【答案】
【解析】
【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以,
求出h即可
【详解】设
在中，，.
中， ,,
在中，,.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,
所以， 即，.
故答案为：
14. 设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为__.若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为___.
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，进而求得的面积.
【详解】设以为直径圆与双曲线在第一象限的交点设为，
则，由双曲线的定义可得，
所以，，由勾股定理得，
即有，∴.
设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则，则,
解之得
又由内切圆圆心的横坐标为2，得，
故.

故答案为：，6
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解；
（2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
16. 如图，四棱锥的底面是圆柱底面圆的内接矩形，是圆柱的母线，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由平面夹角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
而平面，所以.
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，
所以是直径，从而，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由题意平面，，
注意到平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
（1）求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则，，.
【答案】（1）20；平均数为376
（2）奖金约为95700元
【解析】
【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
（2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可.
【小问1详解】
由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
【小问2详解】
由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18. 已知椭圆及直线．
（1）若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
（2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用，即可求得实数t的取值范围；
（2）根据题意，把点到直线距离的最大值，转化为与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，由（1）可得直线或直线与椭圆相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
【小问2详解】
解：由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线的方程为或.
19. 设函数．
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）证明：当时，；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
（2）先证明在上存在唯一零点，设为，再由导数求出最小值结合基本不等式和对数的运算证明即可.
【小问1详解】
当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，，
脐橙数量/盒
购物群数量/个
12
18
32
18