浙教版九年级上册第1章二次函数1.1 二次函数优秀达标测试

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这是一份浙教版九年级上册第1章二次函数1.1 二次函数优秀达标测试，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−3,d)，B(5,d)，且它与x轴只有一个公共点，则d的值是( )
A. −16B. −4C. 4D. 16
2.下列函数的图象与y轴正半轴有交点的是( )
A. y=−3x−3B. y=−3xC. y=2x2−1D. y=(x−2)2
3.已知二次函数y=(x−p)(x−q)(其中pA. B. C. D.
4.在同一坐标系中，一次函数y=ax+a与二次函数y=ax2−a的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=−2x2+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为( )
A. y=−2(x+1)2+2B. y=−2(x+1)2−2
C. y=−2(x−1)2+2D. y=−2(x−1)2−2
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0).下列说法：①abc<0；②4a+2b+c<0；③−2b+c=0；④若(−52,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1m(am+b)(其中m≠12).其中说法正确的是( )
A. ③④⑤
B. ①②④
C. ①④⑤
D. ①③④⑤
7.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于A(−1,0)，B(2,0)两点，则以下结论：①ac<0；②对称轴为x=1；③2a+c=0；④a+b+c>0.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论： ①abc>0; ②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不相等的实数根; ③a+b+c>7.其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中： ①ab>0; ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=−3; ③当x>1时，y的值随x增大而增大;其中正确的判断是( )
A. ① ② ③B. ① ③C. ② ③D. ① ②
10.如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，有以下四个结论：①ab<0，②b<13，③a=−k，④当0k，其中正确的结论是( )
A. ①②③B. ①③④C. ①④D. ②③
11.已知两个二次函数y1，y2的图象如图所示，那么函数y=(a1−a2)x2+bx+c(a1,a2,b,c为常数)的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象关于直线x=1对称，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点.若−2A. 30
C. b2−4ac>a+cD. 对于任意实数t，都有at2+bt≥a+b
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将二次函数y=−2x2的图像向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得图像的解析式 ______ ．
14.已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为．
15.关于二次函数y=ax2−4ax−5(a≠0)的四个结论：①对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A、B，且AB≤6，则a<0或a≥1；④若3≤x≤4，对应y的整数值有4个，则−4316.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(1,n)，则以下五个结论中：
①abc>0，
②2a+b=0，
③4a+b2<4ac，
④3a+c<0，
⑤方程ax2+bx+c+1=n有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有：______(写序号)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过A(0,−53)和B(5,0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
18.(本小题8分)
我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，满足x1+y1=x2+y2=m，则称此函数为关于m的等和函数，这两点叫做关于m的等和点．
(1)下列函数中，是关于1的等和函数的是______；
①y=−x+1；
②y=1x；
③y=x2+x+2．
(2)若点C(−2,y1)，D(4,y2)在双曲线y=kx(k≠0)上，且C，D两点是关于m的等和点，求k的值；
(3)若函数y=x2−x−2(x≤2)的图象记为W1，将其沿直线x=2翻折后的图象记为W2.若W1，W2两部分组成的图象上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=−12(x−2m)2+1−m(m是实数)．
(1)当m=2时，若点A(6,n)在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点可以是(2,−1)，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点P(a+1,c)，Q(4m−7+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤−78．
20.(本小题8分)
如图，若二次函数y=x2−x−2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若P(m，−2)为二次函数y=x2−x−2图象上一点，求m的值．
21.(本小题8分)
已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且当x1=−2，x2=6时，y1=y2．
(1)求b的值；
(2)若P(m+3,n1)，Q(m,n2)也是该二次函数图象上的两个点，且n1(3)若点T(t,2t)不在该二次函数的图象上，求c的取值范围．
22.(本小题8分)
画出函数y=x2−2x−3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2−2x−3=0的解是什么？
(2) x取什么值时，函数值大于0？
(3) x取什么值时，函数值小于0？
23.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，方程x2−6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2−6x+8=0就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程x2−9x+c=0是“倍根方程”，则c=______；
(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)是倍根方程，且相异两点M(2−t,s)，N(5+t,s)，都在抛物线y=ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t−2．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，点P(a,b)在图形G上．
①当t=2时，求b的取值范围；
②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围．
25.(本小题8分)
已知：二次函数y=x2+bx−3的图象经过点P(−2,5)．
(1)求b的值；
(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)均在该函数图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−x2+bx+c过点A(−3,d)，B(5,d)，
∴对称轴是直线x=5−32=1，
又∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为y=−(x−1)2，
把A(−3,d)代入，得d=−(−3−1)2=−16．
故选：A．
根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x=1.故设抛物线解析式为y=−(x−1)2，直接将A(−3,d)代入，通过解方程来求d的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象上点的坐标特征，根据一次函数、二次函数的解析式分别求出当x=0时y的值和根据反比例函数的图象与坐标轴没有交点，即可得出答案．
【解答】
解：对于一次函数y=−3x−3，当x=0时，y=−3，图像与y轴的交点(0,−3)在y轴的负半轴上，不符合题意；
对于反比例函数y=−3x，图象与坐标轴没有交点，不符合题意；
对于二次函数y=2x2−1，当x=0时，y=−1，图象与y轴的交点(0,−1)在y轴负半轴上，不符合题意；
对于二次函数y=(x−2)2，当x=0时，y=4，图象与y的交点(0,4)在y轴的正半轴，符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
根据二次函数图象判断出m<−1，n=1，然后求出m+n<0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】
解：由图可知，P<0，q>2
所以，p+q>0，
所以，一次函数y=px−q经过第二、三，四象限，且与y轴相交于点(0,−q)，
反比例函数y=p+qx的图象位于第一、三象限，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系以及二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是得出两函数与x轴交于点(−1,0)．
分a>0及a<0分析，结合两函数与x轴交于点(−1,0)即可判断．
【解答】
解：当a>0时，一次函数y=ax+a经过第一，二，三象限，二次函数y=ax2−a开口向上，与y轴交于x轴下方；
当a<0时，一次函数y=ax+a经过第二，三，四象限，二次函数y=ax2−a开口向下，与y轴交于x轴上方．
由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点(−1,0)，由二次函数y=ax2−a可知，二次函数y=ax2−a与x轴交于点(−1,0)，
即两函数与x轴交于点(−1,0)．
则符合的是C．
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=−2x2+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为：y=−2(x−1)2+3−1.即y=−2(x−1)2+2，
故选：C．
根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求得即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=12，
∴b=−a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①正确；
∵抛物线经过点(2,0)，
∴x=2时，y=0，
∴4a+2b+c=0，所以②错误；
∵对称轴为x=12，且经过点(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴ca=−1×2=−2，
∴c=−2a，
∴−2b+c=2a−2a=0，所以③正确；
∵点(−52,y1)离对称轴要比点(52,y2)离对称轴要远，
∴y1∵抛物线开口向下，对称轴为x=12，
∴当m≠12时，14a+12b+c>am2+bm+c，
∵b=−a，
∴−14b+12b>am2+bm，即14b>m(am+b)(其中m≠12)，所以⑤正确．
故选：D．
根据抛物线开口方向得到a<0，根据抛物线的对称轴得b=−a>0，则2a−b=0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则abc<0，于是可对①进行判断；由于经过点(2,0)，则得到4a+2b+c=0，则可对②进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c=−2a，则得到−2b+c=0，于是可对③进行判断；通过点(−52,y1)，(52,y2)离对称轴的远近对④进行判断；根据函数的最值可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异).抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
7.【答案】B
【解析】解：对于①：二次函数开口向上，故a>0，与y轴的交点在y的负半轴，故c<0，故ac<0，因此①正确；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A(−1,0)、B(2,0)，由对称性可知，其对称轴为：直线x=−1+22=12，因此②错误；
对于③：∵抛物线的对称轴是直线x=12，∴−b2a=12，即b=−a，∵抛物线经过点A(−1,0)，∴a−b+c=0，a+a+c=0，∴2a+c=0因此③正确；
对于④：当x=1时对应的y=a+b+c，观察图象可知x=1时对应的函数图象的y值在x轴下方，故a+b+c<0，因此④错误．
故选：B．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合判断即可．
本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
8.【答案】D
【解析】 ①∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，∴c=1，a−b+c=−1．∴a=b−2．∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1，∴4a−2b+1>1．∴4(b−2)−2b+1>1，解得b>4．∴a=b−2>0．∴abc>0，故 ①正确． ②可以画出函数y=ax2+bx+c的大致图象(如图).由图象得出函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=3有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不相等的实数根，故 ②正确． ③∵a=b−2，c=1，∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1．∵b>4，∴2b−1>7．∴a+b+c>7，故 ③正确．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程有关知识，根据函数图象进行判断即可．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的左边，
∴a、b同号，
∴ab>0，故①正确，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
而点(1,0)关于直线x=−1的对称点的坐标为(−3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=−3，故②正确，
当x>1时，y的值随x增大而增大，故③正确．
综上，正确的判断是 ① ② ③．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴即可判断①，将x=−1代入即可判断②，求出抛物线的顶点坐标，将其代入一次函数解析式中即可判断③，根据图象即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴ab<0，所以①正确，符合题意；
②∵x=−1时，y<0，
即a−b+1<0，
∵b=−2a，
∴a=−b2，
∴−b2−b+1<0，
∴b>23，所以②错误，不符合题意；
③当x=1时，y=a+b+1=a−2a+1=−a+1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−a+1)，
把(1,−a+1)代入y=kx+1得−a+1=k+1，
∴a=−k，所以③正确，符合题意；
④当0kx+1，
即ax2+bx>kx，
∴ax+b>k，所以④正确，符合题意．
综上：正确的是①③④
故选：B．
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系的有关知识，根据二次函数y1，y2的图象可得a1【解答】
解：由二次函数y1，y2的图象可得a1∴a1−a2<0，
∴函数y=(a1−a2)x2+bx+c(a1,a2,b,c为常数)的图象开口向下，
∴函数y=(a1−a2)x2+bx+c(a1,a2,b,c为常数)的图象可能为
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性是解题的关键．
根据二次函数的对称性，即可判断A；由开口方向和对称轴即可判断B；根据抛物线与x轴的交点和x=−1时的函数的取值，即可判断C；根据抛物线的最低点，当x=1时，y取得最小值，可得at2+bt+c⩾a+b+c，从而得到at2+bt≥a+b，即可判断D．
【解答】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且−2∴3∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，
∴其对称轴为直线x=1，即−b2a=1，
∴b=−2a，
∴3a+2b=3a−4a=−a．
由图象可知该抛物线开口向上，
∴a>0，
∴3a+2b=−a<0，故B错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0．
由图象结合题意可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c∵a>0，
∴b=−2a<0，
∴a+c<0，
∴b2−4ac>a+c，故C正确；
由图象可知，当x=1时，y取得最小值，最小值为a+b+c，
所以当x取任意实数t，对应的y=at2+bt+c⩾a+b+c，
∴at2+bt≥a+b，故D正确；
故选B．
13.【答案】y=−2(x+2)2+4
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
【解答】
解：把二次函数y=−2x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得图象的函数解析式为y=−2(x+2)2+4．
故答案为：y=−2(x+2)2+4．
14.【答案】42
【解析】【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】 a2b+ab2
=aba+b
=7×6
=42 ．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
15.【答案】①②④
【解析】【分析】
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断x1=2+m与x2=2−m对应的的两个点是是关于直线x=2对称，从而得出判断；
②根据二次函数y=ax2−4ax−5的对称性直接判断结论是正确的；
③设A(n,0)，B(p,0)，且n>p，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示AB长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，得出a的取值范围；
④根据已知条件分两种情况分别讨论，当a>0时，若3≤x≤4，y随x的增大而增大，得−3a−5≤y≤−5，再根据y的整数值有4个，得1≤a<43；当a<0时，若3≤x≤4，y随x的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出−43【解答】
解：①二次函数对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∵2+m+2−m2=2，
∴2+m与2−m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等，①正确；
②∵对称轴为直线x=2，与y轴的交点为(0,−5)，
∴抛物线也过点(4,−5)，
∴无论a取何值，抛物线一定过两个定点(0,−5)和(4,−5)，②正确；
③∵若抛物线与x轴交于不同两点A，B，
设A(n,0)，B(p,0)，且n>p，
∵n，p是方程ax2−4ax−5=0的两个不同的根，
∴n+p=4，np=−5a，
∴AB=n−p= (n+p)2−4np= 16+20a，
∵AB≤6，
∴16+20a≤36，
当a>0时，解不等式得a≥1，
当a<0时，解不等式得a≤1，
综上所述：a≥1或a<0，
∵若抛物线与x轴交于不同两点，
∴16a2+20a>0，
∴a>0或a<−54，
综上所述：a≥1或a<−54，③错误；
④∵当a>0时，若3≤x≤4，y随x的增大而增大，
当x=3时，y=9a−12a−5=−3a−5，
当x=4时，y=16a−16a−5=−5，
∴−3a−5≤y≤−5，
∵y的整数值有4个，
∴−9<−3a−5≤−8，
∴1≤a<43，
当a<0时，若3≤x≤4，y随x的增大而减小，
∴−5≤y≤−3a−5，
∵y的整数值有4个，
∴−2≤−3a−5<−1，
∴−43综上所述：−43故答案为：①②④．
16.【答案】②④⑤
【解析】解：抛物线开口向下，因此a<0，
对称轴x=1>0，a、b异号，因此b>0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c>0，
所以abc<0，因此①错误；
对称轴为x=1，即−b2a=1，即2a+b=0，因此②正确；
由抛物线的顶点的位置可知，4ac−b24a>1，而a<0，
所以4ac−b2<4a，即b2+4a>4ac，因此③错误；
因为当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∵2a+b=0，
∴3a+c<0，因此④正确；
由图可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，函数有最大值，最大值为n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1=n有两个不相等的实数根，故⑤正确．
综上所述，正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值(最小值)逐项进行判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
17.【答案】解：(1)设平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线为y=13x2+bx+c，
把A(0,−53)和B(3,0)代入，
可得：c=−53253+5b+c=0，解得：b=−43,c=−53，
∴新抛物线为y=13x2−43x−53；
(2)①如图，设Q(x,13x2)，则P(x,13x2−43x−53)，

∴PQ=13x2−13x2+43x+53=43x+53，
∵PQ小于3，
∴43x+53<3，
∴x<1，
∵x=m(m>0)，
∴0②y=13x2−43x−53=13(x−2)2−3，
∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，

由题意可得：P在B的右边，当BP′//PQ时，
∴BP′⊥x轴，
∴xP′=xB=5，
∴P′(5,253)，
由平移的性质可得：P(5+2,253−3)，即P(7,163)；
如图，当P′Q//BP时，则∠P′QT=∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P′SQ=∠BTP=90°，
∴△P′SQ∽△BTP，

∴QSP′S=PTBT，
设P′(x,13x2)，则P(x+2,13x2−3)，S(x+2,13x2)，Q[x+2,13(x+2)2]，
∴13(x+2)2−13x22=13x2−3x+2−5，
解得：x=1(不符合题意舍去)；
综上：P(7,163)．
【解析】(1)设平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线为y=13x2+bx+c，把A(0,−53)和B(5,0)代入，可得答案；
(2)①如图，设Q(x,13x2)，则P(x,13x2−43x−53)，PQ=43x+53，结合PQ小于3，可得43x+53<3，结合x=m(m>0)，从而可得答案；
②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′//PQ时，可得P′(5,253)，结合平移的性质可得答案如图，当P′Q//BP时，则∠P′QT=∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，证明△P′SQ∽△BTP，可得QSP′S=PTBT，设P′(x,13x2)，则P(x+2,13x2−3)，S(x+2,13x2)，Q[x+2,13(x+2)2]，再建立方程求解即可．
本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
18.【答案】①
【解析】解：(1)把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入y=−x+1得：y1=−x1+1，y2=−x2+1
∴x1+y1=x1−x1+1=1，x2+y2=x2−x2+1=1
∴x1+y1=x2+y2=1；
把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入y=1x得：y1=1x1，y2=1x2
∴x1+y1=x1+1x1，x2+y2=x2+1x2
当x1≠x2，且x1，x2互为倒数时，
∴x1+y1=x2+y2≠1；
把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入y=x2+x+2得：y1=x_1，y=x_2，
∴x1+y1=x_1，x2+y2=x_2，
假设x_1，解得：x1=x1=−1，与题意不符，
∴是关于1的等和函数的是y=−x+1；
故答案为：①；
(2)由题意得：−2+y1=4+y2，−2y1=4y2=k，解得k=−8；
(3)在y=x2−x−2(x≤2)上取点P(m,m2−m−2)，点P(m,m2−m−2)关于直线x=2的对称点为Q(x,y)，
则由对称性知x+m=4y=m2−m−2，消m得：y=x2−7x+10，
∴W1，W2两部分的图象如下，
当0=x2−x−2，解得x1=2，x2=−1，
∴A(2,0)，
当y=−x+m与y=x2−7x+10仅有一个交点时，0=x2−6x+10−m，Δ=36−40+4m=0，解得：m=1，
当y=−x+m与y=x2−x−2仅有一个交点时，0=x2−2−m，Δ=8+4m=0，
解得：m=−2，
当y=−x+m过A(2,0)时，解得：m=2，
∴m的取值范围为m>2或−2(1)根据等和函数的定义求解即可；
(2)根据等和函数的定义和反比例函数上点的特征列方程求解即可；
(3)先求出函数y=x2−x−2(x≤2)沿直线x=2翻折后的解析式，再分别求出当y=−x+m与y=x2−7x+10仅有一个交点时和当y=−x+m与y=x2−x−2仅有一个交点时的m值，结合图象即可求解．
本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键．
19.【答案】解：(1)当m=2时，则y=−12(x−4)2−1，
∵点A(6,n)在该函数图象上，
∴n=−12(6−4)2−1=−3；
(2)若顶点是(2,−1)，则2m=2①，1−m=−1②，
由①得m=1，由②得m=2，
故小明说法错误；
(3)∵点P(a+1,c)，Q(4m−7+a,c)都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线x=a+1+4m−7+a2=a+2m−3，
∴a+2m−3=2m，
∴a=3，
∴P(4,c)，
∴c=−12(4−2m)2+1−m=−2(m−74)2−78，
∴c≤−78．
【解析】(1)把点A(6,n)代入解析式即可求得；
(2)根据题意得出2m=2，1−m=−1，两个等式求得的m的值不同，即可判断小明说法错误；
(3)由点P(a+1,c)，Q(4m−7+a,c)的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x=a+1+4m−7+a2=a+2m−3，即可得出a+2m−3=2m，求得a=3，得到P(4,c)，代入解析式即可得到c=−12(4−2m)2+1−m=−2(m−74)2−78，根据二次函数的性质即可证得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)当y=0时，x2−x−2=0，解得x1=−1，x2=2，
∴A(−1,0)，B(2,0)；
(2)把P(m,−2)代入y=x2−x−2得m2−m−2=−2，
解得m1=0，m2=1，
∴m的值为0或1．

【解析】【分析】(1)通过解方程x2−x−2=0得A、B的坐标；
(2)把P(m，−2)代入y=x2−x−2得m2−m−2=−2，然后解关于m的方程即可．
21.【答案】解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且当x1=−2，x2=6时，y1=y2．
∴点A、B关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2+62=2，
∴−b2×(−1)=2，
解得b=4；
(2)∵P(m+3,n1)，Q(m,n2)也是该二次函数y=−x2+4x+c图象上的两个点，且n1∴−(m+3)2+4(m+3)+c<−m2+4m+c，
解得m>12；
(3)由题意得，抛物线与直线y=2x没有交点，
即方程−x2+4x+c=2x没有实数根，
整理得x2−2x−c=0，Δ=(−2)2+4c<0，
解得c<−1，
故c的取值范围为c<−1．
【解析】(1)根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=−2+62=2，再根据对称轴公式列得−b2×(−1)=2，由此求出b；
(2)将点P、Q代入函数解析式得到不等式，由此得到m的取值范围；
(3)由抛物线与直线y=2x没有交点，即方程−x2+4x+c=2x没有实数根，根据判别式列得Δ<0，由此求出c的取值范围．
此题考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的对称性，用所学知识解决问题，学会数形结合法解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】【小题1】x1=3，x2=−1
【小题2】当x<−1或x>3时，函数值大于0．
【小题3】当−1
【解析】1. 略
2. 略
3. 略
23.【答案】18
【解析】解：(1)设一元二次方程x2−9x+c=0的根是a，2a，
则a+2a=9，得a=3，则2a=6，
∴3×6=c1，得c=18，
故答案为：18；
(2)∵不同的两点M(2−t,s)，N(5+t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴该抛物线的对称轴是直线x=2−t+5+t2=72，
设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(x1,0)，(x2,0)，
∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)是倍根方程，
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=7，
假设x1=2x2，
则3x2=7，得x2=73，
∴x1=143，
即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1=73，x2=143．
(1)根据题意和题目中的方程，可以求得c的值；
(2)根据题意和二次函数的性质可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根．
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24.【答案】解：(1)∵y=x2−2tx+t2−t−2=(x−t)2−t−2，
∴抛物线的顶点坐标为(t,−t−2)；
(2)①当t=2时，二次函数解析式是y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴对称轴为直线x=2，顶点为(2,−4)，
将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
∴图形G如图1所示：

∵点P(a,b)在图形G上，
由图象可知，b的取值范围为全体实数；
②当对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧时，即：t≥0，一定满足b的取值范围为全体实数，
当对称轴在y轴左侧，且顶点纵坐标等于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与y轴的交点的坐标时，满足b的取值范围为全体实数，
即：t<0−t−2=−t2+t+2，
解得：t=1− 5或t=1+ 5(舍去)，
当对称轴在y轴左侧，且顶点纵坐标小于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与y轴的交点的坐标时，满足b的取值范围为全体实数，
即：1− 5∴综上：当t>1− 5时，b的取值范围均为全体实数，
∴t的范围为：t>1− 5．
【解析】(1)将抛物线的解析式转化为顶点式即可得出结果；
(2)①求出t=2时的函数解析式，数形结合求出b的取值范围即可；②分抛物线的对称轴在y轴上，y轴左侧，y轴右侧，分情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想．
25.【答案】解：(1)把(−2,5)代入二次函数y=x2+bx−3得：5=4−2b−3，
∴b=−2．
(2)①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1(4,y1)、P2(5,y2)、P3(6,y3)，
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12<21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)代入y=x2−2x−3=(x−1)2−4得：
∴y1=(m−1)2−4，y2=(m+1−1)2−4，y3=(m+2−1)2−4，
∴y1+y2−y3=(m−1)2−4+(m+1−1)2−4−[(m+2−1)2−4]=(m−2)2−8，
∵m≥5，y1，y2，y3都是>0的，
∴(m−2)2−8>0，
∴y1+y2>y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边(也可求出两小边的和大于第三边)，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
【解析】(1)把(−2,5)代入二次函数y=x2+bx−3，求出b；
(2)①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2−y3的值即可．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．