数学九年级上册1.1 二次函数教案设计

教师引导及问题设计

学生学习活动

设计意图

活动1：温故知新，引出课题。

教师投影出课题：

⑴今天咱们来聊一聊叱咤函数界多年，迷倒万千学习者的二次函数。函数是研究两个变量之间的对应关系；在函数界函数的种类繁多，次数越高，长相越奇特。我们先来回忆回忆学过的正比例函数和一次函数。

那二次函数又会是怎样的一种存在呢？

学生：

⑴回忆  口答

由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。

活动2：合作学习，探索新知：

㈠出示思考问题形成初步感悟：

1．其实我们对于二次函数并不陌生，小学就已经接触过。如果给你一个长度固定的铁丝围成长方形，怎样围才能使围成的面积最大？

小学老师告诉我们围成正方形时面积最大。但为什么？等学习了这一章，大家就可以轻松解决这个问题。

情景1

请用函数解析式表示两个变量 y 与 x 之间的关系·

已知有一根铁丝长为12cm,要围成一个矩形，设它的长为x，围成的面积为y

请大家判断一下式子中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗？

什么是函数？回忆函数的概念

情景2

现有长方形纸片一张，长15cm,宽10cm,需要减去四个长度相等的小正方形以围成无盖长方形纸盒；设需要减去的小正方形边长为x,围成的长方体底面积为y

请学生上面两个例子的解析式进行化简并按x进行降幂排列

上述两个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式。

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，其中x是自变量，称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。

练习：说出下列二次函数的各项系数

㈠做一做：

1、下列函数中,哪些是二次函数?

生：当围成正方形时面积最大

情景1

在某变化过程中，存在两个变量x,y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一确定的值与它对应。 我们就说y是x的函数

情景2

y=(15-2x)(10-2x)

y=-x2+6x

y=4x2-50x+150

学生发表自己的见解，总结归纳共有的特征。

1.自变量x的最高次都是2次。

2.右边都是关于x的整式。

学生口答，

注意点：系数要带符号

学生独立完成练习，集体点评，提出并归纳注意的细则：

⑴整式与分式区别对待；

⑵要先展开合并再判断；

由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。

活动3：应用迁移，巩固提高：

师：现在我们对二次函数的概念有了更深刻的理解，在平常的日子里，总会碰到求解二次函数解析式这样的问题。大家看！

待定系数法

已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.

师：解决了这个问题，我们再回头看看情景一中的围铁丝问题。如果我们对长方形的长x进行取值，请求解出y的值 。

观察表格，请问表中的数据有什么特点？

函数的表达式有三种，一种是解析式法，一种就是这里的表格法，还有一种是什么？（图像法）

我们如果搬出坐标系，把表格中的x,y进行描点，连线，发现它的图像不是直线，而是________。真厉害！

在接下来的几节课中我们就会利用图像重点研究二次函数的性质。

㈡实际问题中的二次函数：

二次函数还可以解决实际生活中的很多问题，现在就请你来帮帮小张。

问题一  帮小张初步解决问题

小张打算摆摊卖商品解决生计。他将每件成本8元的商品按10元出售，每天可销出100件，问小张每天的利润是多少？

问题升级：小张研究发现，每提价1元，每天的销量就会减少10件，他打算提价2元，现在他每件的利润是_ __元，销量是_____件，总利润是____元

问题再升级：小张研究发现，每提价1元，每天的销量就会减少10件，他打算提价x元，现在他每件的利润是_ ____元，销量是_______件，总利润y=_______________元

师：等学习了这章，大家就能轻松帮小张解决当提价几元时，可以获得最大的利润

问题二

帮小张初步解决问题

经过一年的打拼，小张辛苦赚得利润8万元；积累了一定经验，调整销售策略，后两年利润的年增长率均为x，设第三年小张获得利润y万元,请写出y关于x的函数解析式。

学生演算并解答，得出结果

学生完成填表内容

生：y的值先变大再变小，而且是左右对称的

生答：抛物线

生答：200元

生答：4 ，80 ，320

生答：(2+x)

(100-10x)

y=(2+x)(100-10x)

生答：y=8(1+x)2

通过归纳、分析，使学生明白二次函数的特征，理解其解析式的特点。

经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

使学生深刻理解：看一个函数是不是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0；还要看最高次数是不是2。

这是一个二次函数的实际应用问题，通过解答，提高学生分析问题、解决问题的能力。

整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。

活动4：总结反思，拓展升华：

要求以“大家好，我是二次函数…….”为开头，根据本节课所学到的知识，写一段关于二次函数的自述，文体，字数不限

大家好，我是二次函数，是函数家族中的一员；我的解析式是                    .但是并不是所有的我都那么“完美” ，有些会有不同程度的“残缺” ，不是少个常数项就是少个一次项，有时甚至两个都没有，所以b和c都会为0，但a是我的灵魂，万万不能为0. 我在实际生活中的用途可大了，你能用我解决很多实际问题。我还有许许多多的性质等着你来发现呢！

学生兴趣十足，看的异常投入。

课堂已接近尾声，有些学生有些疲乏，用新颖的方式进行小结，重新激发他们学习的热情。