初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题12 平行四边形与特殊平行四边形(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题12 平行四边形与特殊平行四边形(含答案)，共15页。
1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、对角、对角线等概念；探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理及其判定定理.
4.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.
考点解读
考点1：多边形及其相关计算
①多边形的相关概念：
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
②多边形的内角和、外角和：
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
③正多边形：
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
（3）正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
考点2：平行四边形的判定
①平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
②平行四边形的判定：
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
考点3：平行四边形的性质
①平行四边形的性质：
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
考点4：特殊平行四边形的判定
①矩形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
②菱形的判定：
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
③正方形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
考点5：特殊平行四边形的性质
①矩形的性质：
（1）四个角都是直角
（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.
②菱形的性质：
（1）四边相等
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角
（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
③正方形的性质：
(1)四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB
考点突破
1．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，其中O点是坐标原点，AO＝2，BO＝3，BC＝4，点A.B是固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2）C．（3，2）D．（5，2）
2．下列说法中正确的有（ ）
①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是11
②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短
⑥1°＝3600′
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．12
4．下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形地砖B．正方形地砖
C．正六边形地砖D．正八边形地砖
5．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
7．如图，已知：在▱ABCD中，E.F分别是AD.BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，则下列结论中不正确的是（ ）
A．GF⊥FHB．GF＝EH
C．EF与AC互相平分D．EG＝FH
8．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．BD⊥ACB．BC＝CDC．AC＝BDD．∠ABD＝∠CBD
10．下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②
11．如图，足球的表面是有一些黑颜色五边形和白颜色六边形的皮块缝合而成的，共计有32块，请观察图形，根据黑块五边形和白块六边形的边数之间的关系计算黑颜色五边形和白颜色六边形的皮块数分别是 ．
12．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是 边形．
13．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是 ．
14．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 ．
15．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
16．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，如果∠A是锐角，∠DCB＝∠EBC＝∠A．
探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
17．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成 三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成 三角形，……，则n边形可以分割成 个三角形．
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为
（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成 三角形．
18．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．
（1）如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ．
（2）如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是： ．
（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ．
（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数．
19．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①： ，
整理得②： ，
我们可以找到方程的正整数解为③： ．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④ 个正方形和⑤ 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：由勾股定理，得
OD′＝＝2，
即D′（0，2）．
矩形ABCD的边AB在x轴上，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
AD′＝BC′，C′D′＝AB＝3﹣（﹣2）＝5，
C′与D′的纵坐标相等，
∴C′（5，2）
故选：D．
【点拨】本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD′＝BC′，C′D′＝AB＝3﹣（﹣2）＝5是解题关键
2．【解答】解：①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10，故原说法错误；
②8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°，故原说法正确；
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离，说法正确；
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点，说法错误，缺少P、A.B在同一直线的条件；
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短，说法正确；
⑥1°＝3600″，故原说法错误；
所以正确的有3个．
故选：A．
【点拨】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角以及角的单位换算，掌握相关定义是解答本题的关键．
3．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故选：A．
【点拨】本题考查多边形的内角（和）与外角（和），熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．
4．【解答】解：A.正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意；
B.正方形的每个内角是90°，4个能密铺，故B不符合题意；
C.正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故C不符合题意；
D.正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
【点拨】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
6．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出AD∥BC是解题关键．
7．【解答】解：连接EF交BD于点O，在平行四边形ABCD中的AD＝BC，∠EDH＝∠FBG，
∵E.F分别是AD.BC边的中点，
∴DE∥BF，DE＝BF＝BC，
∴四边形AEFB是平行四边形，有EF∥AB，
∵点E是AD的中点，
∴点O是BD的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O也是AC的中点，也是EF的中点，故C正确，
又∵BG＝DH，∴△DEH≌△BFG，
∴GF＝EH，故B正确，
∠DHE＝∠BGF，∴∠GHE＝∠HGF，
∴△EHG≌△FGH，
∴EG＝HF，故D正确，
∴GF∥EH，即四边形EHFG是平行四边形，而不是矩形，故∠GFH不是90度，
∴A不正确．
故选：A．
【点拨】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质求解．
8．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，
∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，
∴EH＝6，∠DOC＝90°，
∴EP＝＝＝2，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当BD⊥AC或BC＝CD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC知∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点拨】本题主要考查菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
10．【解答】解：∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形，
∴由①推出②错误，由③推出②错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
【点拨】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．【解答】解：设白色皮块数为x，则黑色皮块数为x+2，根据题意得，
x+x+2＝32，
解得x＝20．
所以白色皮块数为20，黑色皮块数为12．
故答案为：12和20．
【点拨】本题考查了多边形以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
12．【解答】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得
n﹣2＝6．
解得n＝8，
故答案为：八．
【点拨】本题考查了多边形对角线，n边形过一个顶点的所有对角线公式是（n﹣2）条．
13．【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
14．【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，
∵360﹣（150+120）＝90，
又∵正方形内角为90°，
∴第三个正多边形的边数是四．
故答案为四．
【点拨】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
15．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明AF＝AB＝8，DE＝DC＝8是解题的关键．
16．【解答】解：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等对边四边形．
【点拨】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．
若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．
故答案为：3，4，（n﹣2）；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，
那么此多边形的边数为：2018+2＝2020；
故答案为：2020；
（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，
则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：（n﹣1）．
【点拨】此题主要考查了多边形的对角线，找出规律是解本题的关键．
18．【解答】解：（1）如图，
∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
故答案为：∠1＝∠2；
（2）∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠1+∠2+90°+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
故答案为：∠1+∠2＝180°；
（3）一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补；
（4）设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α﹣40°，
根据题意可得，α＝3α﹣40°或α+3α﹣40°＝180°，
解得α＝20°或55°，
当α＝20°时，3α﹣40°＝20°，
当α＝55°时，3α﹣40°＝125°，
∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．
【点拨】此题考查了多边形的内角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
19．【解答】解：猜想1：①：，
整理，得 ②2x+3y＝8，
整数解为③：
故答案为：，2x+3y＝8，；
结论1：④1 ⑤2
故答案为1，2；
猜想2：能．
设围绕某一个点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程，
整理得x+2y＝6
所以；，
即2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形．
【点拨】本题考查了平面图形镶嵌，正确理解平面镶嵌的意义是解题的关键．