2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点25与圆有关的计算

考点25与圆有关的计算

考点总结

1．圆的周长公式：C＝2πR(半径为R)．

圆的面积公式：S＝πR2(半径为R)．

2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR.

3．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高．

圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝2πrh；圆柱全面积公式：S圆柱全＝2πrh＋2πr2(其中圆柱的底面半径为r，高为h)．

4．圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr．

(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝πrl．

(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝πr2＋πrl．

 (3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝·360°．

5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多

边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边

形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．

6．不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:

(1)直接用公式求解.

(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.

(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.

(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．

【详解】

解：．

故选：D

2．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，

延长CB到E，使BE=BC，连接EC，

∵C、C1关于PB对称，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点C1与点E重合，

当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

此时，，

∴∠PBC=30°，

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，

线段扫过的区域的面积是．

故选：B．

3．（2021·浙江瓯海·三模）如图，已知扇形OAB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为（    ）

A．2cm B．3cm C．6cm D．2cm

【答案】A

【分析】

这个圆锥的底面圆的半径是，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．

【详解】

解：设这个圆锥的底面圆的半径为，

根据题意得，

解得，

即这个圆锥的底面圆的半径是2cm，

故选：A．

4．（2021·浙江衢江·一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】

根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．

【详解】

解：设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意可知：

AD=AE=8，∠DAE=45°，

底面圆的周长等于弧长：

∴2πr= ，

解得r=1．

所以，该圆锥的底面圆的半径是1

故选：D．

5．（2021·浙江上城·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定

【答案】A

【分析】

根据△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，可以分别得到一个圆锥、一个圆锥和两个共底面的圆锥组合，再根据圆锥的表面积计算公式：圆锥的表面积=底面积+圆锥的侧面积分别计算即可，最后根据结果即可比较大小．

【详解】

解：，，，

．

绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即；

绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即；

绕直线旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即．

．

故选：A．

6．（2021·浙江椒江·一模）如图，内接于⊙O，．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接，，可证得是等腰直角三角形，求出，利用弧长公式即可求得结果．

【详解】

解：连接，．

，

，

，

，

的长为，

故选：B．

7．（2021·浙江兰溪·一模）用一张半径为的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应该配一个面积为多少的圆做它的底面（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长，从而得到底面圆的半径，即可求出面积．

【详解】

半径为的半圆形纸片的弧长为：，

即：底面圆的周长应为，

∴底面圆的半径为：，

∴底面圆的面积为：，

故选：B．

8．（2021·浙江定海·一模）如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可．

【详解】

解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示：

正六边形六边均相等，且每个内角为120°，

∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形，

∴BE⊥AC，且，且，

∵AF∥CD，P为AF上一点，

∴，

MN为△PCD的中位线，

∴，

由正六边形的对称性可知：，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

9．（2021·浙江东阳·一模）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．

【详解】

解：由题意得：∠BAC=45°，

∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形，

若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可，

∴；

故选B．

10．（2021·浙江绍兴·一模）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．

【详解】

如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，

从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；

∵三角形为等边三角形，

∴∠CAO=30°，

根据垂径定理可知∠ACO=90°，

∴AO=2OC，即R=2r，B正确；

在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，

由B中关系可得：，解得，则，

所以C错误，D正确；

故选：C．

二、填空题

11．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．

【答案】72°

【分析】

首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．

【详解】

∵五边形ABCDE为正五边形，

∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，

∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，

故答案为72°．

12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）

【答案】

【分析】

直接利用弧长公式即可求解．

【详解】

解：，

故答案为：．

13．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）

【答案】

【分析】

连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．

【详解】

连接OC、OD，

∵分别与相切于点C，D，

∴，

∵，，

∴，

∴的长=（cm），

故答案为：．

．

14．（2021·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为17，则扇形的弧长为______．

【答案】

【分析】

根据弧长公式l=求解即可．

【详解】

∵扇形的圆心角为，半径为17，

∴扇形的弧长==．

故答案为：

15．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．

【答案】       

【分析】

（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；

（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解

【详解】

解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，

∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为，

∴∠ACA′最大为90°

当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图

过点B作BE⊥AC

∵，，，

∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，

在Rt△BCE中，BE=CE=1

∴CA′=CA=

又∵CA′⊥AB

∴在Rt△ACF中，CF=

∴A′F=A′C-CF=

即点到直线距离的最大值是；

点到达点时，线段扫过的面积为：

==

故答案为：；

三、解答题

16．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．

（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．

①求的度数．

②求AP的长．

（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．

【答案】（1）①60°；②；（2）

【分析】

(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；

（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．

【详解】

解：（1）①如图1，为圆的切线．

由题意可得，，．

，

②如图1，连结，交BP于点Q．则有．

在中，．

在中，，

．

（2）如图2．连结OD．设．

∵点D为的中点．

．

由题意可得，．

又

，，解得．

．

17．（2021·浙江嘉兴·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．

（1）求点转动到点的路径长；

（2）求点到直线的距离（结果精确到）．

（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm．

【分析】

（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；

（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．

【详解】

解：（1）如图，

∵，，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴点转动到点的路径长．

（2）如图，

过点作于点，过点作于点．

在中，

．

在中，

．

∴．

又∵，

∴点到直线的距离约为7.3cm．

18．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；

（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．

【详解】

解：（1）证明：如图，连结．

与相切，．

是圆的直径，．

．

．

．

．

（2）由（1）可知，，

，

，，

是等边三角形．

,

，

．