初中数学中考复习 专题13 函数与方案设计选择【考点精讲】（解析版）

题型一：图像图表类

【例1】（2021·浙江宁波市）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．

（1）请直接写出m，n的值．

（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

【答案】（1）；（2）；（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算

【分析】

（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得；

（2）直接运用待定系数法求解即可；

（3）计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解．

【详解】

解：（1）

．

（2）设函数表达式为，

把，代入，得

，

解得，

∴y关于x的函数表达式．

（注：x的取值范围对考生不作要求）

（3）（兆）．

由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．

题型二：文字类：费用问题

【例2】（2021·贵州毕节市）某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲､乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人1000元,经协商,甲旅行社的优惠条件是:老师､学生都按八折收费:乙旅行社的优惠条件是:两位老师全额收费,学生都按七五折收费,

（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有名,,（单位:元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用,求,关于的函数解析式；

（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少?

【答案】（1） , （2）当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等．

【分析】

（1）根据旅行社的收费=老师的费用+学生的费用,再由总价=单价×数量就可以得出 ､与x的函数关系式;

（2）根据（1）的解析式,若,,,分别求出相应x的取值范围,即可判断哪家旅行社支付的旅游费用较少．

【详解】

（1）由题意,得

,

,

答： ､ 与x的函数关系式分别是: ,

（2）当时,,解得 ,

当时,,解得,

当时,,解得,

答：当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等．

题型三：文字类：利润问题

【例3】（2021·江苏南通市）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：（元）；

去B超市的购物金额为：（元）．

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．

【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；

（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．

【分析】

（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;

（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．

【详解】

解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；

B商场y关于x的函数解析式：，即：；

（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元

∴当时，，

令，，

所以，当时，即，去B超市更省钱；

当时，，

令，，

所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；

当时，即，去B超市更省钱；

当时，即，去A超市更省钱；

综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．

题型四：文字类：调配问题

【例4】（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．

①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）

【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①；②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．最小费用为125040元

【分析】

（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；

（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总运费＝运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可；②根据投资总费用＝购买商品的费用+总运费，列出函数关系式，由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．

【详解】

解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，

根据题意，得，

解得：，

答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；

（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，

运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，

则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，

∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；

②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，

自变量的取值范围是：0≤x≤200，

∵k＝4＞0，

∴y随x增大而增大．

当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），

∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元．

答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．

1．（2021·黑龙江鹤岗市）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件

【分析】

（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；

（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；

（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可．

【详解】

解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．

根据题意，得，

解得：，

答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．           

（2）根据题意，得，

解得：，

∵m为整数，

∴m可取5、6、7，

∴有三种方案：

方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；

方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；

方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．

设总资金为W万元，则，

∵，

∴W随m的增大而增大，

∴当时，（万元），

∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．           

（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，

根据题意，此时，节省的费用为（万元），

降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，

设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，

则：，

由题意，a，b均为非负整数，

∴满足条件的解为：或，

∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：

方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；

方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．

2．（2021·内蒙古呼和浩特市）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究电话计费问题

考虑下列问题：

①设一个月内用移动电话主叫为min（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费

②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．

小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．

（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：

x表示问题中的__________，y表示问题中的__________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；

（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）

【答案】（1）主叫时间，计费；方式一：；方式二：；（2）见解析，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二

【分析】

（1）根据题意即可知道x、y的实际意义，根据两种方式的计算方式即可列出分段式函数关系式；

（2）根据函数表达式，描点法画出函数图像即可．

【详解】

解：（1）根据题意可知：x表示主叫时间，y表示计费，

通过表格数据可知两种方式都属于分段函数，主叫超时费即为一次函数“k”值，即可直接写出函数表达式为：

方式一：

方式二：

（2）大致图象如下：

，

解得x=270，

由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．

3．（2021·黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?

【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．

【分析】

（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可；

（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可；

（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．

【详解】

解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：

，

解得：，

答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．

（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，

∴，

解得：，

∵m为正整数，

∴m的值为5、6、7，

∴共有三种购买方案：

购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．

（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，

∵1＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，

答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．

4．（2021·河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

（1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个；

（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

（注：利润率）

【答案】（1）款20个，款10个；（2）款10个，款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析

【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可；

（2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可；

（3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算．

【详解】

（1）设，两款玩偶分别为个，根据题意得：

解得：

答：两款玩偶，款购进20个，款购进10个．

（2）设购进款玩偶a个，则购进款个,设利润为y元

则

（元）

款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半

，又

且为整数，

当时，y有最大值

（元）

款个，款个，最大利润是元．

（3）第一次利润（元）

第一次利润率为：

第二次利润率为：

第二次的利润率大，即第二次更划算．

5．（2021·江苏连云港市）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

【答案】（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元

【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．

【详解】

解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．

由题意得：，解之得，，

答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．

（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．

则，

∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．

又，∴．

由于是整数，最大值为67，

即当时，最省钱，最少费用为元．

此时，．

最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．

6．（2021·云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成．

如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．

（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；

（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【答案】（1），；（2）

【分析】

（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可；

（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．

【详解】

解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），

设的解析式为，则，

解得：，

∴l1的解析式为，

设的解析式为，

由l2经过点（0，800），（40，1200），

则，解得：，

∴l2的解析式为；

（2）方案一：，即，

解得：；

方案二：，即，即，无解，

∴公司没有采用方案二，

∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．