2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点17 圆

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考点17 圆
考点总结
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•岱岳区一模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．4
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：C．

2．（2021•广饶县二模）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（　　）

A．πcm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．2πcm2
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，
∴底面半径＝1cm，母线长为cm，底面周长＝2πcm，
∴圆锥的侧面积＝×2π×＝πcm2，
故选：B．
3．（2021•禹城市模拟）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（　　）

A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2
【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4，
所以圆锥的表面积＝S侧+S底＝×42π+π＝5π（cm2）．
故选：B．
4．（2021•夏津县一模）以下说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．圆周角等于圆心角的一半
C．同位角相等
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
【分析】根据平行四边形的性质、圆周角定理、同位角定义、三角形外角定理求解判断即可得解．
【解答】解：平行四边形的对边相等，故A说法正确，符合题意；
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故B说法错误，不符合题意；
两直线平行，同位角相等，故C说法错误，不符合题意；
三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，故D说法错误，不符合题意；
故选：A．
5．（2021•聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的度数即可．
【解答】解：如图，连接OB，

∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选：C．
6．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）

A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
【分析】延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．

7．（2021•任城区校级一模）如图，有一块半径为1m，圆心角为120°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（　　）

A．m B．m C．m D．m
【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：设底面半径为rm，则2πr＝，
解得：r＝，
所以其高为：＝（m），
故选：C．
8．（2021•博山区一模）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，

∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE＝＝，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．
则AB+BC的最大值是+1．
故选：C．
9．（2021•兰陵县一模）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：

①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3），计算出橡胶棒CD的长度．
小明计算橡胶棒CD的长度为（　　）
A．2分米 B．2分米 C．3 分米 D．3分米
【分析】连接OC，如图，利用折叠的性质得到CD垂直平分OB，OE＝BE，再根据垂径定理得到CE＝DE，然后利用勾股定理计算出CE＝，从而得到CD的长．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点B落在圆心O的位置，
∴CD垂直平分OB，
∴CE＝DE，OE＝BE＝1，
在Rt△OCE中，∵OC＝2，OE＝1，
∴CE＝＝，
∴CD＝2CE＝2（分米）．
故选：B．

10．（2015•日照）如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（　　）

A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD＝45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB＝90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以＝，S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论．
【解答】解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝．
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD
﹣S△ABD）＝×8×8﹣×4×4﹣+××4×4＝16﹣4π+8＝24﹣4π．
故选：A．

二．填空题（共5小题）
11．（2021•诸城市三模）如图，在以AE为直径的⊙O中，过点A作∠A＝30°，交⊙O于点B，已知AB＝8，点C为AB的中点，连接EC，则EC＝　　．

【分析】连接BE，OC，则OC⊥AB，AC＝BC＝4，解直角三角形得到OA＝，OC＝，根据三角形中位线定理得到BE＝，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：连接BE，OC，

∵点C为AB的中点，AB＝8，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，
在△AOC中，∠A＝30°，∠ACO＝90°，
∴OA＝＝＝，
∴OC＝OA＝，
∵OA＝OE，AC＝BC，
∴OC∥BE，OC＝BE，
∴BE＝，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴EC＝＝＝，
故答案为：．
12．（2021•博山区一模）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝2时，r2021＝　2×32020　．

【分析】根据切线的性质和相似三角形的性质，求出r1，r2，r3，r4……根据数据所呈现的规律进行计算即可．
【解答】解：如图，设切点分别为A1，A2，A3…A2021，连接O1A1，O2A2，O3A3，…
∵sin30°＝＝＝＝＝…＝，
而OO1＝2r1，OO2＝OO1+O1O2＝3r1+r2，
∴＝，
又∵r1＝2，
∴r2＝6，
同理可求出r3＝18，r4＝54，r5＝162，…
于是r1＝2，r2＝6，r3＝18，r4＝54，r5＝162，…
∴r2021＝2×32020＝2×32020，
故答案为：2×32020．

13．（2021•诸城市一模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC的值为 　　．

【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，根据正切的定义求出tanD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．
【解答】解：延长CO交⊙O于点D，连接BD，
在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴tan∠BAC＝，
故答案为：．

14．（2021•城阳区一模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为100°，AB长为36cm，贴纸部分的宽BD为30cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 　350π　cm2．（结果保留π）

【分析】求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB长为36cm，贴纸部分的宽BD为30cm，
∴AD＝6cm，
∴贴纸的面积为S＝2×（S扇形ABC﹣S扇形ADE）＝2×（﹣）＝350π（cm2），
故答案为：350π．
15．圆锥的底面半径是4cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高为 　4　cm．
【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设扇形的母线长为Rcm，
∵圆锥的底面半径是4cm，
∴圆锥的底面周长是8πcm，即侧面展开图扇形的弧长是8πcm，
则＝8π，
解得：R＝8（cm），
由勾股定理得：圆锥的高＝＝4（cm），
故答案为：4．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•临沭县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．

【分析】（1）连接OD，得到∠ODC＝90°，结合∠ADB＝90°求得∠ADC＝∠ODB，然后利用OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，从而得到∠ADC＝∠OBD，再利用OF⊥AD得到OF∥BD，从而∠AOF＝∠OBD，最后得证结果；
（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝6，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质得到EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠ODC＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ODB，
∴∠ADC＝∠OBD，
又∵OF⊥AD，
∴∠OEA＝∠ADB＝90°，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠OBD，
∴∠ADC＝∠AOF．
（2）∵OF∥BD，OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC+OB＝x+3x＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．

17．（2021•济南）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC∥DE，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠AOC，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，即＝，
∵BC＝4，
∴AC＝2，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．

18．（2021•东港区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当BC＝6，，求AF的长．

【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以＝，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∴＝，
∴DE＝EF；

（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝10﹣2×＝．