初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题11 三角形与全等三角形(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题11 三角形与全等三角形(含答案)，共11页。试卷主要包含了探索并证明三角形的内角和定理，了解三角形重心的概念等内容，欢迎下载使用。
考点精讲
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
3.了解三角形重心的概念
考点解读
考点1：与三角形有关的边
①三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
②角平分线：
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
③中线：
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
④高：
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
考点2：与三角形有关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
考点3：全等三角形
①全等三角形的性质：
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
②三角形全等的判定
考点突破
1．下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在△BCD中，CD边上的高是（ ）
A．BDB．ADC．AFD．CD
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米B．1平方厘米C．平方厘米D．平方厘米
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
5．三角形的重心是三角形三条（ ）的交点．
A．中线B．高C．角平分线D．垂直平分线
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（ ）
A．130°B．70°C．110°D．100°
8．将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
9．在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．图中以AB为边的三角形共有 个．
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2，AB+AC＝8，则AC的长为 ．
12．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG＝2GD，连接BG，若S△ABC＝12，则S△ABG为 ．
13．空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 ．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8，则GC的长是 ．
15．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
（1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是 （只填序号）．
（2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
16．如图，△ABC正好可以放在长方形内，要测出△ABC的面积，现有一把刻度尺，你能做到吗？说出你是怎样做的．
17．教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图②，在正方形ABCD中，对角线AC.BD交于点O，E为边BC的中点，AE.BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝ ．
参考答案
1．【解答】解：A.等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
B.该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
C.等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
D.等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
2．【解答】解：在△BCD中，CD边上的高是BD，
故选：A．
【点拨】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．【解答】解：∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×4＝2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝×2＝1，
S△DEC＝S△ADC＝×2＝1，
∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2，
∵F是EC的中点，
∴S△BEF＝S△BFC，
∴S△BEF＝S△BEC＝×2＝1，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形的面积除了运用面积公式：S△＝底边•高计算以外，还可以利用三角形的中线的性质计算三角形的面积．
4．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
5．【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：A．
【点拨】此题考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
6．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中三边之间的关系．（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
7．【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝＝．
∵BF是△ABC的高，
∴∠BFA＝90°．
∴∠EOF＝∠EAC+∠AFO＝40°+90°＝130°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质是解决本题的关键．
8．【解答】解：由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，
∵∠BFE是△CEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
9．【解答】解：如图所示：
由作图可知，∠1＝∠3，∠2＝∠4，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等图形，正确构建等腰直角三角形是解答本题的关键．
10．【解答】解：根据图示知，图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个；
故答案为3．
【点拨】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以AB为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
11．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝2，
整理得，AC﹣AB＝2，
则，
解得，，
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
12．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6，
∵AG＝2GD，
∴S△ABG＝S△ABD＝×6＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查三角形的面积问题．解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
13．【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
14．【解答】解：延长CG交AB于点D，
∵G是△ABC的重心，
∴CD是△ACB斜边中线，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝×8＝4，
∵G是△ABC的重心，
∴CG：DG＝2：1，
∴CG＝DC＝×4＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形重心定义及性质，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是掌握三角形重心的性质．
15．【解答】解：（1）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
∴BF＝FC，故①错误；
∴∠BAE＝∠CAE，故②正确；
∴S△ABF＝S△ABC，故③正确；
∴∠C与∠CAD互余，故④正确；
故答案为：①；
（2）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣30°＝88°，
∴∠EAC＝∠BAC＝44°，
∵∠C＝62°，
∴∠DAC＝90°﹣62°＝28°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣28°＝16°．
【点拨】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义解答即可．
16．【解答】解：能做到．其方法是：
如图，过点A作AE⊥BC于点E．
则S△ABC＝BC•AE，S矩形ABCD＝BC•AE，
所以，S△ABC＝S矩形ABCD．
故只需测出矩形的长和宽即可．
【点拨】本题考查了三角形的面积．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
17．【解答】（1）证明：如图①，连接ED，
∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝，
∴．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，BD交于点O，
∴O为边AC的中点，
∵E为边BC的中点，
∴点F是△ABC的重心，
由①得，
∵AB∥FG，
∴＝2，
∵点E是BC中点，
∴BG：BC＝2：6＝1：3，
故答案为：BG：BC＝1：3．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．
例2：如图，在△ABC中，D.E分别是边BC.AB的中点，AD.CE相交于点G，求证：．
证明：连结ED．