备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破13 图形的相似

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考点精讲
相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　
位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．


考点解读
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（交换内项）
（交换外项）
（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：


3、黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

4、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2） 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

5、相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

6、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。


7、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
8、 相似三角形模型
模型一：A、8模型




已知：，结论
模型二：共边共角型


已知：
结论：


模型三：一线三角型



模型四：相似与旋转

模型五：垂直相似







如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高
结论：




9、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

考点突破
1．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（　　）

A．△AOB∽△DOC B．
C． D．
2．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（       ）

A． B． C． D．
3．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，在三角形ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列等式不成立的是（　　）

A．AD：DB＝AE：EC B．AD：BD＝BF：FC
C．AD：BD＝DE：BC D．AE：AC＝BF：BC
4．（2021·河北唐山·九年级期中）下列多边形一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个五边形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
5．（2021·河北·石家庄二十三中九年级阶段练习）已知，且，则直线不经过（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020·河北·保定十三中九年级期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（2021·河北·保定市莲池区冀英初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为（　　）

A．（8，4） B．（8，﹣4）
C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
8．（2020·河北保定·九年级期末）若，则______．
9．（2019·河北保定·九年级期末）两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．
10．（2021·河北·辛集市教学科研所八年级期末）在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则∠BAC-∠DAE=___________°．

11．（2021·河北·邢台市第六中学三模）如图，沿方向平移得到，交于点，若，是的中点，则_______．

12．（2021·河北·保定市莲池区冀英初级中学九年级期中）如图，直线y=2x+b经过点A（-2，0），与y轴交于点B，与反比例函数交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数于点D，连接AD，CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除O点），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2021·河北·石家庄二十三中九年级阶段练习）如图，为坐标原点，，两点坐标分别为，．


（1）以为位似中心在轴左侧将放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出，两点的对应点，的坐标；
（3）已知为内部一点，写出的对应点的坐标．
14．（2021·河北保定·九年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．

15．（2021·河北张家口·二模）如图，在等边中，，将绕点逆时针旋转（）到线段的位置，连接，与交于点，点为上一点，且，连接．

（1）若，则______；
（2）当时，请判断与是否全等，并求此时的长度；
（3）在绕点逆时针旋转的过程中，的长是否存在最小值？若存在，则直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
16．（2021·河北唐山·二模）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
              
17．（2021·河北·石家庄二十三中九年级期中）如图1，直线于点M，以上的点O为圆心画圆，交于点A，B，交于点C，D，OM＝4，CD＝6，点E为弧AD上的动点，CE交AB于点F，AG⊥CE于点G，连接DG，AC，AD．


（1）求的半径长；
（2）若∠CAD＝40°，求劣弧的长；
（3）如图2，连接 DE，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由
（4）若DG∥AB，则DG的长为 ；
（5）当点G在AD 的右侧时，请直接写出△ADG面积的最大值．
18．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，，，点P从点O出发，沿折线运动，连接PB，过点P作，交矩形的边OA于点Q．设点P运动的路程为x．


（1）________；
（2）如图2，在点P从点C运动到点A的过程中，
①的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
②若将沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，求PC的长．
（3）当时，直接写出x的值．
19．（2021·河北秦皇岛·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2

（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．

参考答案与解析：
1．B
【解析】
根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可．
【详解】
解：A.∵AB//CD，
∴∠D＝∠A，∠C＝∠B，
∴△AOB∽△DOC，故A正确；
B.∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴，故B错误；
C. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴，故C正确；
D. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴，故D正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
2．D
【解析】
先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】
解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
3．C
【解析】
根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【详解】
解：A、∵DE∥BC，
∴AD：DB＝AE：EC，所以A选项的等式成立；
B、∵EF∥AB，
∴AE：CE＝BF：FC，
∴AD：BD＝BF：FC，所以B选项的等式成立；
C、∵DE∥BC，
∴AD：AB＝DE：BC，∴C选项的等式不成立；
D、∵EF∥AB，
∴AE：AC＝BF：BC，所以D选项的等式成立．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握并运用平行线分线段成比例定理进行求解．
4．C
【解析】
利用相似多边形的定义，对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】
解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似多边形的定义，掌握相似多边形的定义是解题的关键．
5．D
【解析】
根据比例的等比性质计算即可得出p的值，从而确定直线y=px+p经过象限．本题注意条件的限制．
【详解】
解：∵a+b+c≠0，根据等比性质，得p=，
∴直线y=px+p，即直线y=2x+2，
∴直线y=px+p不经过第四象限．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等比性质：若，则 （b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0），解决本题的关键是要熟练掌握等比的性质.
6．A
【解析】
根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】
解：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
7．D
【解析】
根据位似变换的性质把△EFO扩大到原来的2倍，对应点E'的横纵坐标都扩大2倍或-2倍，然后计算即可．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（−4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（−4×2，2×2）或（4×2，−2×2），即（−8，4）或（8，−4），
故选D．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．
【解析】
由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】
解：，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．
9．2：3．
【解析】
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】
解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比．
故答案为：2：3．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
10．45
【解析】
在正方形网格中，连接正方形的顶点，作出和，设正方形网格的边长为1，则有，，，可知，可证，可得，则可证出，根据作图可知，得，可以求出．
【详解】
解：如图示，在正方形网格中，连接正方形的顶点，得到和，


设正方形网格的边长为1，则有，，，
∴，，
∴
，
，
，
，

又∵根据作图可知，
∴
∴
即有：，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，求得是解题的关键．
11．3
【解析】
由是的中点可得，由可得，最后根据平移的性质即可得．
【详解】
解：∵是的中点，
∴，
又∵沿方向平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平移的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
12．（1）b=4，k=6；（2）；（3）存在，E的坐标为（0，-1）或（8，0）
【解析】
（1）把A点坐标代入一次函数解析式中求得b，把C点坐标代入求得的一次函数解析式求得m，得出C点坐标，再把求得的C点坐标代入反比例函数解析式中求得k；
（2）由一次函数解析式求得其函数图象与y轴的交点B的坐标，再根据BD⊥y轴，得D点的纵坐标与B点纵坐标相等，将其纵坐标代入反比例函数解析式求得D点坐标，再根据三角形的面积公式求得△ABD和△BCD的面积，再求其和便可为△ACD的面积；
（3）分两种情况：∠BAE=90°；∠ABE=90°．利用相似三角形的知识进行解答．
【详解】
解：（1）∵直线y=2x+b经过点A（-2，0），
∴-4+b=0，
∴b=4，
∴直线y=2x+b为y=2x+4，
把C（m，6）代入y=2x+4中，得6=2m+4，
解得，m=1，
∴C（1，6），
把C（1，6）代入反比例函数y=中，得k=6；
（2）令x=0，得y=2x+4=4，
∴B（0，4），
∵BD⊥y轴于B，
∴D点的纵坐标为4，
把y=4代入反比例函数y=中，得x=，
∴D（，4），
∴BD＝，
∴S△ACD＝S△ABD+S△BCD＝××4+××（6-4）=；
（3）当∠BAE=90°时，如图1，

∵∠BAE=∠BOA=90°，∠ABE=∠OBA，
∴此时△AOB∽△EAB，
∴，即，
∴BE=5，
∴OE=1，
∴E（0，-1），
当∠ABE=90°时，如图2，

∵∠ABE=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAE，
∴△AOB∽△ABE，
∴，
∴，
∴OE=AE-AO=10-2=8，
∴E（8，0），
故存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，其坐标为E（8，0）或（0，-1）．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，第（2）小题关键在于把三角形所求三角形的面积分割成两个三角形的面积的和，第（3）小题关键在于分情况讨论．
13．（1）画图见解析；（2）点的坐标为（-6，2），点的坐标为（-4，-2）；（3）点的坐标为（-2x，-2y）
【解析】
（1）利用位似变换的性质分别作出B、C的对应点，，然后顺次连接O，，即可；
（2）根据（1）中所作图形即可得到，两点的坐标；
（3）根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；


（2）如图所示，点的坐标为（-6，2），点的坐标为（-4，-2）；


（3）∵是△OBC以O为位似中心，位似比为2的对应图形，点M（x，y）为△OBC内部一点，
∴点M的对应点的坐标为（-2x，-2y）．
【点睛】
本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识．
14．（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．
【解析】
(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
(3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【详解】
解：(1)连接OA，如下图1所示：

∵AB=AC，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．

则==，且BC=2BH，
∴==，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，
∴BH=，
∴BC=2BH=．
故答案为：．
【点睛】
本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15．（1）40；（2）≌；；（3）存在；最小值为．
【解析】
（1）根据旋转的定义及等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据题意作图，根据AAS即可证明与全等，再根据含30°的直角三角形的即可求出PN的长；
（3）根据题意找到P点轨迹，再得到当，，共线时，最小，再分别求出OC，PO即可求解．
【详解】
解：（1）∵是等边三角形中，
∴，．
由旋转，得，，
∴．
∴．
故答案为：40；
（2）当时，≌．
如图1，

∵是等边三角形，∴，，
∴．
∵，
∴≌（AAS）．
∴，，则．
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（3）的长存在最小值，最小值为．
如图2，取上的一点，满足，连接，．

∴．
∵，∴．
∵，∴∽．
∴．∴．
∴点的轨迹为以点为圆心，2为半径的三分之一圆（从与交点起到与交点止，不含两端的点）．
∵
∴
如图3，当，，共线时，最小．

过点作于．
则，．
∴．
∴．
∴的长存在最小值，这个最小值为．
【点睛】
此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知旋转的定义、等腰三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质，根据题意作图解决．
16．问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】
问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，

∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（1）5；（2） ；（3）存在常数 ；（4）3或6；（5）9
【解析】
（1）连接OD，利用垂径定理，可得 ，再由勾股定理，即可求解；
（2）利用垂径定理，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，再由弧长公式，即可求解；
（3）在CG上截取CH=DE，连接AH，AE，先证明△ACH≌△ADE，可得AH=AE，从而得到HG=EG，进而得到CE-DE=2EG，即可求解；
（4）根据DG∥AB，可得到△CFM∽△CGD，从而得到CF=FG，DG=2FM，再由△CFM∽△AFG，可得FM×AF=CF×FG=CF2，然后设FM=x，则AF=9-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
（5）取AC的中点P，当PG⊥AD时，△ADG的面积最大，根据勾股定理，可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 ，然后过点C作CN⊥AD于点N，可得Rt△CDN~Rt△ADM，从而得到，再设PG交AD于点K，可得 ，从而得到，即可求解．
【详解】
解：（1）连接OD，


∵AB是的直径，，CD＝6，
∴ ，
在 中，OM＝4，
∴ ，
即的半径长为5；
（2）∵AB是的直径，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴劣弧的长为 ；
（3）存在常数 ，理由如下：
如图，在CG上截取CH=DE，连接AH，AE，

∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
又∵∠ACH=∠ADE，
∴△ACH≌△ADE（SAS），
∴AH=AE，
∵ AG⊥HE ，
∴HG=EG，
∴CE-DE=2EG，
∴k=2；
（4）∵DG∥AB，
∴△CFM∽△CGD，
∴ ，
∴CF=FG，DG=2FM，
∵∠CMF=∠AGF，∠CFM=∠AFG，
∴△CFM∽△AFG，
∴ ，
∴FM×AF=CF×FG=CF2，
设FM=x，则AF=9-x，
∴ ，
解得： 或3，
∴ 或6；
（5）如图，取AC的中点P，当PG⊥AD时，△ADG的面积最大，

在 中，∠CMA=90°，CM=3，AM=OA+OM=5+4=9，
∴ ，
在 中，∠CGA=90°，点P为AC的中点，
∴ ，
过点C作CN⊥AD于点N，
在Rt△CDN和Rt△ADM中，
∵∠CND=∠AMD=90°，∠CDN=∠ADM，
∴Rt△CDN~Rt△ADM，
∴ ，
∴ ，
设PG交AD于点K，
∵PK⊥AD，CN⊥AD，
∴PK∥CN，
∴△APK∽△CAN，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADG面积的最大值为 ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
18．（1）；（2）①不变，；②；（3）时，，2，
【解析】
（1）根据矩形的性质求出，，，由锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）①设出，利用锐角三角函数得出，得出，再判断出，进而得出，即可得出结论；②根据折叠的性质，判断出，，再用勾股定理求出，判断出，得出，进而求出，即可得出结论；
（3）由结论（2）构建相似三角，根据对应边成比例，建立等式求解即可．
【详解】
解：（1）四边形是矩形，
，，，
在中，，
故答案为：；
．
（2）①

的值不发生变化，其值为．
过点P作于F，的延长线交BC于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，∴
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
②将沿直线折叠后，点与点重合，
，，
在中，，，根据勾股定理得，，
，，
，
，
，
，
．
（3）当P在AC上时，由（2）得

∴

当在上时，如图

在与中，
，
，
，
，
∴
即

令，即

解得，
∴当时，，2，．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形是解本题的关键．
19．（1）能，t的值为2s或3s；（2）t为秒与秒.
【解析】
【分析】
（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．
（2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H，

在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，
当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，
∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，
∴△PHC∽△ABC，
∴
∴PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时．
（2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，

∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得t＝（秒）；
如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，

∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，
即＝，
解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论．