初中数学中考复习 专题10 二次函数【考点精讲】（原卷版）

考点1：二次函数的图象和性质

1．二次函数的一般形式：                  　(a,b,c是常数，a≠0)

注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。

2．函数图象和性质

【例1】（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【例2】（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.

a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：①b=0时，对称轴为y轴；②>0（即a,b同号）

时，对称轴在y轴左侧；③<0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）

【注意问题】

（1）二次函数的图象与系数的关系;

（2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换.

1．（2021·湖南中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（    ）

A．      B．      C．      D．

2．（2021·福建中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点2：二次函数的平移

1．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系

（1）二者的形状相同，位置不同，y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为(h,k). 

（2）y=ax2的图象

     y=a(x-h)2的图象

    y=a(x-h)2+k的图象.

口诀：上加下减，左加右减

【例3】（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式（　　）

A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3

图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.

1．（2021·上海中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ）

A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变

2．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物

线的解析式是（　　）

A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 

C．y＝2x2 D．y＝2x2+4

3．（2020•哈尔滨）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线

为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

考点3：二次函数与方程、不等式的关系

1．二次函数与一元二次方程的关系

二次函数图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标。

2．二次函数与不等式的关系

设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点,其中x1<x2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为          ,不等式ax2+bx+c<0的解集为           . 

【例4】（2021·浙江中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（    ）

A．和       B．和

C．和          D．和

【例5】（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．

一元二次方程和二次函数的区别与联系

（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:

Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.

（3）二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）.

1．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（      ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

2．（2021·黑龙江中考真题）已知函数，则下列说法不正确的个数是（    ）

①若该函数图像与轴只有一个交点，则

②方程至少有一个整数根

③若，则的函数值都是负数

④不存在实数，使得对任意实数都成立

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2021·广东中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．

考点4：求二次函数的解析式

1．二次函数的解析式的确定：

要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)。

（1）当已知抛物线上任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式；y=ax2+bx+c(a≠0);

（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).

（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.

【例6】（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

下列各选项中，正确的是（    ）

A．这个函数的图象开口向下        B．这个函数的图象与x轴无交点

C．这个函数的最小值小于-6        D．当时，y的值随x值的增大而增大

根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.

（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.

（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.

（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即y=ax2+bx+c；

（2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根据抛物线与y轴的交点求出a的值；

（3）若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)和(x2,0)，可没函数解析式为交点式，即y=a(x-x1)(x-x2)，再根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值

1．（2021·河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．

2．（2021·浙江中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·广东中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为                 ．

考点5：二次函数的最值

【例7】（2021·广东中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．5

1．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　   　min．

2．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　   　．

3．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　    　m．

（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

考点6：二次函数的应用

【例8】（2021·山东中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

1．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．

（1）当x＝5时，求种植总成本y；

（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

2．（2021·湖北中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．