中考数学一轮考点复习精讲精练专题11 二次函数【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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1．二次函数的定义
形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数.
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).
（2）y=ax2的图象
y=a(x-h)2的图象
y=a(x-h)2+k的图象.
4．二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
5．二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标.
6．二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点，其中x10的解集为x>x2或x【考点1】二次函数的图象和性质
【例1】（函数图像）（2022·湖北武汉）二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【例2】（函数性质1）（2022·陕西）已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的自变量 SKIPIF 1 < 0 对应的函数值分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三者之间的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】（函数性质2）（2022·湖南郴州）关于二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0
C．该函数有最大值，是大值是5D．当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大
抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，故：①b=0时，对称轴为y轴；② SKIPIF 1 < 0 >0（即a,b同号）
时，对称轴在y轴左侧；③ SKIPIF 1 < 0 <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【注意问题】
（1）二次函数的图象与系数的关系;
（2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换.
1．（2022·广西）已知反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则一次函数 SKIPIF 1 < 0 和二次函数 SKIPIF 1 < 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏泰州）已知点 SKIPIF 1 < 0 在下列某一函数图像上，且 SKIPIF 1 < 0 那么这个函数是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·山东威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0 B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
4．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
5．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．

【考点2】二次函数的平移
【例4】（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象平移或翻折后经过点 SKIPIF 1 < 0 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.
1．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·上海中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
3．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物
线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2D．y＝2x2+4
4．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．

【考点3】二次函数与方程、不等式的关系
【例5】（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【例6】（2022·黑龙江大庆）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
一元二次方程和二次函数的区别与联系
（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:
Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
（3）二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）.
1．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
2．（2021·黑龙江中考真题）已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A．0B．1C．2D．3
3．（2021·浙江中考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是以 SKIPIF 1 < 0 为自变量的函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ．以下函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0

【考点4】求二次函数的解析式
【例7】（2021·河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．
【例8】（2021·浙江中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．D．
根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即y=ax2+bx+c；
（2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根据抛物线与y轴的交点求出a的值；
（3）若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)和(x2,0)，可没函数解析式为交点式，即y=a(x-x1)(x-x2)，再根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值
1．（2021·广东中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．
2．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 （a为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【考点5】二次函数的最值
【例9】抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
【例10】（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 三边上的点，其中 SKIPIF 1 < 0 ，BC边上的高为6，且DE//BC，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
1．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
4．（2022·吉林长春）已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．

【考点6】二次函数的应用
【例11】（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【例12】（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y= SKIPIF 1 < 0 (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选 SKIPIF 1 < 0 ．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
1．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
2．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°， SKIPIF 1 < 0 ．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆， SKIPIF 1 < 0 ．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离 SKIPIF 1 < 0 与水平方向移动的距离 SKIPIF 1 < 0 具备二次函数关系，其解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求b、c的值；
（2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 SKIPIF 1 < 0 与飞行时间 SKIPIF 1 < 0 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
3．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸.
②对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ,顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
③在对称轴的左侧,即当x< SKIPIF 1 < 0 时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x> SKIPIF 1 < 0 时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
④抛物线有最低点,当x= SKIPIF 1 < 0 时,y有最小值,y最小值= SKIPIF 1 < 0 .
①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
②对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ,顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
③在对称轴的左侧,即当x< SKIPIF 1 < 0 时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x> SKIPIF 1 < 0 时,y随x的增大而减小,简记为左增右减.
④抛物线有最高点,当x= SKIPIF 1 < 0 时,y有最大值,y最大值= SKIPIF 1 < 0 .
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点