2023-2024学年福建省龙岩七中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩七中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若有意义，则x满足条件（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
2．下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝6，b＝8，c＝10
C．a＝6，b＝5，c＝8D．a＝9，b＝12，c＝15
3．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48B．40C．24D．20
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．÷＝3C．（﹣）2＝2D．＝﹣2
5．已知两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是（ ）
A．5B．C．5或 D．4
6．下列命题的是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．邻边相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．三个角等于90度的四边形是矩形
7．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
8．如图，在正方形ABCD中，点A（2，0），点B（0，4），则点D的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（5，2）C．（6，3）D．（5，3）
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD且AD＝AF，DE⊥AF垂足为点E，连接BE并延长交CD于点G，连接DF交BG于点H，连接EC交DF于点I，有下列结论：
①∠AFD＝∠CFD；②DF垂直且平分EC；③△EFC≌△EHD；④AB＝EG．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．×的计算结果是 ．
12．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为 cm2．
13．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，AC和BD交于O，△OAB的周长比△OBC的周长小2cm，则AB＝ cm．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝2，∠AOB＝60°，则BD的长为 ．
15．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E为AF中点，使A，EF共线，且CE＝CD，若BF＝10，则AB的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则点B6的坐标为 ．
三、解答题（每小题8分，共8分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：AE＝CF．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以10海里/时速度向北偏东48°航行，乙船向南偏东42°航行，5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若 C、B两岛相距130海里，问乙船的航速是多少？
21．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；
（2）若AB＝17，BC＝30，求四边形ADCF的面积．
22．如图，BD为矩形ABCD的对角线，按要求完成下列各题．
（1）用直尺和圆规作出BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，垂足为O．（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）连接BE和DF．求证：四边形BFDE是菱形；
23．【信息阅读】
在进行二次根式运算时，会遇到形如、的式子，可以按如下方法化简：
；
．
对于，还可以这样化简：
．
【问题解决】
利用上述方法解决下列问题：
（1）＝ ；
（2）化简：
①；
②．
24．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
25．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．若有意义，则x满足条件（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
解：依题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：B．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝6，b＝8，c＝10
C．a＝6，b＝5，c＝8D．a＝9，b＝12，c＝15
【分析】根据勾股数的概念判断即可．
解：A、∵82+52＝172，
∴a＝15，b＝8，c＝17是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵62+82＝102，
∴a＝6，b＝8，c＝10是一组勾股数，本选项不符合题意；
C、∵52+62≠82，
∴a＝6，b＝5，c＝8不是一组勾股数，本选项符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴a＝9，b＝12，c＝15是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
3．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48B．40C．24D．20
【分析】直接根据菱形的面积公式列式计算即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×6×8＝24，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．÷＝3C．（﹣）2＝2D．＝﹣2
【分析】利用二次根式的加法，除法运算法则判断A和B，利用二次根式的性质判断C和D．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、（﹣）2＝2，正确，故此选项符合题意；
D、＝2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的加法和除法运算以及二次根式的性质，理解，（a≥0），掌握二次根式除法运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键．
5．已知两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是（ ）
A．5B．C．5或 D．4
【分析】分两种情况：当两条线段均为直角边时；当线段4为斜边，线段3为直角边时；利用勾股定理计算即可．
解：当两条线段均为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长＝，
当线段4为斜边，线段3为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长＝，
综上所述，两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是5或 ，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理是关键．
6．下列命题的是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．邻边相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．三个角等于90度的四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三个角等于90°的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定方法，难度不大．
7．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据勾股定理得到BC＝5，根据折叠的性质得到AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'D＝90°，AD＝A'D，由勾股定理即可求解．
解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
∴AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'D＝90°，AD＝A'D，
∴A'C＝5﹣3＝2，
∵CD2＝A'D2+A'C2，
∴CD2＝（4﹣CD）2+4，
∴CD＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，点A（2，0），点B（0，4），则点D的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（5，2）C．（6，3）D．（5，3）
【分析】通过证明△ABO≌△DAE得到DE＝OA＝2，AE＝OB＝4，即可求得点D的坐标．
解：如图所示，过点D，作DE垂直于x轴，交x轴于点E，
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵∠OAB+∠DAE＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO，
在△ABO和△DAE中，
，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴DE＝OA＝2，AE＝OB＝4，
∴OE＝OA+AE＝6，
∴点D的坐标为（6，2），
故选：A．
【点评】本题考查平面直角坐标系、正方形和全等三角形的性质，解题的关键是证明△ABO≌△ADE．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键．
10．如图，四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD且AD＝AF，DE⊥AF垂足为点E，连接BE并延长交CD于点G，连接DF交BG于点H，连接EC交DF于点I，有下列结论：
①∠AFD＝∠CFD；②DF垂直且平分EC；③△EFC≌△EHD；④AB＝EG．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由矩形的性质可得出AD∥BC，∠BCD＝90°，得出∠ADF＝∠CFD，由等腰三角形的性质得出∠AFD＝∠ADF，故①正确；Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），由全等三角形的性质可得出EF＝CF，由线段垂直平分线的性质可得出结论；由全等三角形的判定可知③错误，由等腰三角形的性质可判断④．
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADF＝∠CFD，
∵AD＝AF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴∠AFD＝∠CFD，
故①正确；
②∵∠AFD＝∠CFD，DE⊥AF，DC⊥BC，
∴DE＝DC，
∴D在CE的垂直平分线，
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴EF＝CF，
∴点F在CE的垂直平分线，
∴DF垂直且平分EC；
故②正确；
③∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝45°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠EDC＝45°，
又∵ED＝DC，
∴△EDC不可能是等边三角形，
∴ED≠EC，
∴△EFC≌△EHD错误；
故③错误；
④∵AB＝CD，ED＝CD，
∴AB＝ED，
∵∠EDG＝45°，
∴ED≠EG，
∴AB≠EG．
故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．×的计算结果是 ．
【分析】根据×＝（a≥0，b≥0）计算即可．
解：×
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的乘法公式，解题的关键是牢记公式．
12．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为 30 cm2．
【分析】根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积．
解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边＝＝5cm，
∴面积＝×5×12＝30cm2．
【点评】解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长．
13．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，AC和BD交于O，△OAB的周长比△OBC的周长小2cm，则AB＝ 6 cm．
【分析】由▱ABCD的周长为28cm，对角线AC，BD相交于O，若△OAB的周长比△OBC的周长小2cm，可得AB+BC＝14cm，BC﹣AB＝2cm，然后解此方程组，即可求得答案．
解：∵▱ABCD的周长为28cm，
∴AB+BC＝14cm，OA＝OC，
∵△OAB的周长比△OBC的周长小2cm，
∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）＝BC﹣AB＝2cm，
∴AB＝6cm，BC＝8cm．
故答案为：6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝2，∠AOB＝60°，则BD的长为 4 ．
【分析】只要证明△AOB是等边三角形即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E为AF中点，使A，EF共线，且CE＝CD，若BF＝10，则AB的长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据CE＝CD求出CD，根据直角三角形的性质解答即可．
解：∵D为AB中点，点E为AF中点，BF＝10，
∴DE＝BF＝5，
∵CE＝CD，
∴CD＝4，
在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴AB＝2CD＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则点B6的坐标为 （8，﹣8） ．
【分析】根据勾股定理求出OB的长度，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出B的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出点B6的坐标．
解：∵四边形OABC是一个边长为1的正方形，
∴OB＝，B（1，1），
∵正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形，
∴OB1＝OB＝2＝（）2，
∴OB2＝OB1＝2＝（）3，B2（﹣2，2），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以，
∴点B6在第四象限的角平分线上，
∵OB6＝（）7，
∴点B6的横坐标是×（）7＝8，纵坐标是﹣×（）7＝﹣8，
∴点B6的坐标为（8，﹣8）．
故答案为：（8，﹣8）．
【点评】本题主要考查正方形的性质和点的坐标，解答本题的关键是看出每经过一次变化，点Bi都逆时针旋转45°，边长OBi都扩大倍．
三、解答题（每小题8分，共8分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的性质将化简，再计算减法即可；
（1）先根据平方差公式和二次根式的除法计算，然后计算加减即可．
解：（1）；
（2）
＝9﹣8﹣
＝9﹣8﹣3
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝ ，BC＝ 2 ，AC＝ 5 ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：（1），，AC＝5．
故答案为：，2，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：AE＝CF．
【分析】根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF，进而解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA．
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以10海里/时速度向北偏东48°航行，乙船向南偏东42°航行，5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若 C、B两岛相距130海里，问乙船的航速是多少？
【分析】利用方向角的意义和平角的定义得到∠BAC＝90°，则利用勾股定理可计算出AB＝120，然后计算乙船的航速．
解：根据题意得∠BAC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝10×5＝50（海里），BC＝130（海里），
∴AB＝＝＝120（海里），
∴乙船的航速＝＝24（海里/时）．
答：乙船的航速为24海里/时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，然后通过解直角三角形解决问题．
21．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；
（2）若AB＝17，BC＝30，求四边形ADCF的面积．
【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，根据矩形的判定定理可证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝15，勾股定理求得AD，然后根据矩形的面积公式即可得到结论．
解：（1）四边形ADCF是矩形；
证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形；
（2）∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴BD＝CD＝BC＝15，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝8，
∴四边形ADCF的面积＝15×8＝120．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，BD为矩形ABCD的对角线，按要求完成下列各题．
（1）用直尺和圆规作出BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，垂足为O．（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）连接BE和DF．求证：四边形BFDE是菱形；
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出OB＝OD，EF⊥BD，由矩形的性质得出∠EDO＝∠FBO，证明△EDO≌△FBO（ASA）得出OE＝OF，即可得证．
【解答】（1）解：如图，直线EF即为所作，
；
（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，
∴OB＝OD，EF⊥BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△EDO和△FBO中，
，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
【点评】本题考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、矩形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
23．【信息阅读】
在进行二次根式运算时，会遇到形如、的式子，可以按如下方法化简：
；
．
对于，还可以这样化简：
．
【问题解决】
利用上述方法解决下列问题：
（1）＝ ；
（2）化简：
①；
②．
【分析】（1）根据材料的方法即可求解，
（2）①根据材料的方法：利用平方差公式进行分母有理化即可求解，
②先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案．
解：（1），
故答案为：；
（2）①
＝
＝
＝，
②原式＝
＝
＝﹣1
＝44．
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
24．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： （a+b）2＝c2+4×ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 28 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明以及运用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
25．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF＝PB＝3，则P点坐标可求出．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．证明AC＝CM即可解决问题．
（3）如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，证明△OPN是等腰直角三角形即可解决问题．
解：（1）∵A（0，8），
∴OA＝8，
∵AF⊥OP于M，
∴∠OMF＝90°，
∴∠MOF+∠OFM＝90°，
∵∠OFM+∠OAF＝90°，
∴∠MOF＝∠OAF．
∵OA＝OB，∠AOF＝∠OBP，
∴△OAF≌△BOP（ASA），
∴OF＝PB＝3，
∴P（8，3）．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．
∵PC＝PB，AN＝ON，OA＝BC，
∴PC＝ON，PC∥ON，
∴四边形OPCN是平行四边形，
∴CN∥OP，
∵NA＝NO，
∴AH＝MH，
∵AF⊥OP，
∴CN⊥AM，
∴AC＝CM，
∵AC＝2PC，
∴CM＝2PC．
（3）结论：OP＝NP．
理由：如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，
∵∠NGB＝∠NHB＝∠GBH＝90°，
∴四边形BGNH是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∵N在正方形AOBC的对角线上，
∴∠NBG＝∠NBH，
∵NG⊥BC，NH⊥OB，
∴NH＝NG，
∵EF⊥OP，M为OP的中点，
∴ON＝PN，
∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL），
∴∠ONH＝∠PNG，
∴∠ONP＝∠HNG＝90°，
∴△ONP是等腰直角三角形，
∴OP＝NP．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．