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2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学与龙钢学校教育组团八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学与龙钢学校教育组团八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是( )
A. 3−xB. 6+2xC. x−3D. x+3
2.下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 2，2，3
3.下列式子是最简二次根式的是( )
A. 12B. 2C. a2D. 8
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB=( )
A. 5B. 5C. 3D. 3
5.在▱ABCD中，有两个内角的度数比为1：2，则这个平行四边形中较大的内角是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
6.计算(2 3)2+ 42的正确结果是( )
A. 8B. 10C. 14D. 16
7.下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是( )
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个
8.如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，连接ED，则BD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6.
9.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列结论：①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ②C. ①②③D. ①③
10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小：2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
12.最简二次根式 2m−1与 7可以合并，则m= ______．
13.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
14.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= m− n(m>n) m+ n(m15.已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等限直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，则点A2021的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.先化简，再求值：(1−1x)÷x2−2x+1x2，其中x= 3+1．
四、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 27−13 18− 12；
(2)2 12× 34÷5 2．
19.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题10分)
如图，已知CD=6，AB=3，∠ABC=∠D=90°，BD=DC，求AC的长．
21.(本小题10分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，D为AB上一点，CD=8，BD=6．
(1)求证：∠CDB=90°；
(2)求AC的长．
23.(本小题10分)
已知：在平面直角坐标系中，两点的横向(或纵向)距离可以用两点横坐标(或纵坐标)的差的绝对值来表示．
(1)如图，平面内点A坐标为(2,3)，点B坐标为(−1,−1)，则AB两点的横向距离BC=______，纵向距离AC=______，最后，可得AB=______；
(2)平面内有点M(1, 2m+2)，点N(m,− 2m+2)(m>0)，请参考(1)中方法求线段MN的长．(用含m的式子表示)
24.(本小题10分)
如图，将△ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，使得点A′落在∠ABC的平分线BD上，连接AA′、AC′．
(1)判断四边形ABB′A′的形状，并证明；
(2)在△ABC中，AB=6，BC=4，若AC′⊥A′B′，求四边形ABB′A′的面积．
25.(本小题10分)
已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，△BDE也是等边三角形，求证：AD=CE；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5 2，DC=7，试求∠BDC的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、根据二次根式有意义的条件可得：3−x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、根据二次根式有意义的条件可得：6+2x≥0，解得x≥−3，故此选项错误；
C、根据二次根式有意义的条件可得：x−3≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D、根据二次根式有意义的条件可得：x+3≥0，解得x≥−3，故此选项错误；
故选：C．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数分别进行分析．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关进是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
B.12+12=( 2)2，能构成直角三角形，故选项正确；
C.62+82≠112，不能构成直角三角形，故选项错误；
D.22+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
欲判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 2是最简二次根式；
C、 a2=|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D、 8=2 2，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
则AB= AC2+BC2= 5，
故选：A．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角相等，邻角互补，
∵有两个内角的度数比为1：2，
∴▱ABCD中较大的内角是：180°×21+2=120°．
故选：D．
由▱ABCD中，有两个内角的度数比为1：2，可得此两角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
6.【答案】D
【解析】解：(2 3)2+ 42=12+4=16，
故选：D．
根据二次根式的加减计算解答即可．
此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了命题的真假判断，互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数，逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系.由题意可得∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，由勾股定理CD2=EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴EC=AC−AE=10−6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，
在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，
即：(8−x)2=x2+16，
解得：x=3，
∴BD=3．
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键，属于中档题．
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】
解：
①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，
故本选项正确；
②由图可知，x−y=CE=2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4×12xy+4=49，
即2xy+4=49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=12DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3 3，
∴BD= AD2+AB2= 32+(3 3)2=6，
∴EF的最大值=12BD=3．
故选A．
根据三角形中位线定理可知EF=12DN，求出DN的最大值即可．
本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
11.【答案】<
【解析】解：∵(2 3)2=12，(3 2)2=18，
而12<18，
∴2 3<3 2．
故答案为：<．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
12.【答案】4
【解析】解：∵最简二次根式 2m−1与 7可以合并，
∴2m−1=7．
∴m=4．
故答案为：4．
根据题意得出2m−1=7，解方程可得答案．
本题考查的是同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14.【答案】2
【解析】解：(3※2)×(8※12)
=( 3− 2)×( 8+ 12)
=( 3− 2)×2( 3+ 2)
=2，
故答案为：2．
根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：由勾股定理得，斜边长= 32+42=5，
故答案为：5．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16.【答案】(0,−21010)
【解析】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，
∴A1(0,1)，A2(1,1)；
根据勾股定理得：OA2= 12+12= 2，
∴OA3= 2OA2=2，
∴A3(2,0)，A4(2,−2)，
根据勾股定理得：OA4= 22+22=2 2，
∴OA5= 2OA4=4，
∴A5(0,−4)，
∴A6(−4,−4)，
根据勾股定理得：OA6= 2OA5=4 2，
∴OA7= 2OA6=8，
∴A7(−8,0)，A8(−8,−8)，
根据勾股定理得：OA8= 2OA7=8 2，
∴OA9= 2OA8=16，
∴A9(0,16)，
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴A2021的坐标与A5(0,−4)的规律相同，
∵−4=−22=−25−12，
∴A2021的纵坐标为−22021−12=−21010，
∴A2021的坐标为(0,−21010)，
故答案为：(0,−21010).
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找的规律计算即可．
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
17.【答案】解：(1−1x)÷x2−2x+1x2
=x−1x⋅x2(x−1)2
=xx−1，
当x= 3+1时，原式= 3+1 3+1−1=3+ 33．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：(1)原式=3 3− 2−2 3
= 3− 2；
(2)原式=2×14×15× 12×3×12
=3 210．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19.【答案】证明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，AE=CF，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由△ADE≌△CBF与E、F分别为边AB、CD的中点，易证得AD=BC，AB=CD，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：在Rt△BDC和Rt△ABC中，BC2=BD2+DC2，AC2=AB2+BC2，
则AC2=AB2+BD2+DC2，
又∵BD=DC，
∴AC2=AB2+2CD2=32+2×62=81，
∴AC=9即AC的长为9．
【解析】首先由勾股定理可得AC2=AB2+BD2+DC2，又由BD=DC可得AC2=AB2+2CD2，代入数值求出AC即可．
本题考查了勾股定理，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】解：(1)三边分别为：3、4、5 (如图1)；
(2)三边分别为： 2、2 2、 10(如图2)；
(3)画一个边长为 10的正方形(如图3)．
【解析】本题考查格点作图，涉及无理数，勾股定理，正方形的性质．
(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；
(2)画一个边长 2，2 2， 10的三角形即可；
(3)画一个边长为 10的正方形即可．
22.【答案】解：(1)∵BC=10，CD=8，BD=6，
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB=90°；
(2)∵AB=AC，
∴设AC=x，则AD=x−6，
∴x2=(x−6)2+82，
解得：x=253，
故AB=AC=253．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，再结合勾股定理得出AC的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出AC的长是解题关键．
23.【答案】3 4 5
【解析】解：(1)BC=2−(−1)=3，AC=3−(−1)=4，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2= 32+42=5，
故答案为：3，4，5；
(2)∵MN的横向距离为m−1，纵向距离为2 2m+2，
∴MN= (m−1)2+4(2m+2)2
= m2+6m+9
= (m+3)2
=|m+3|，
∵m>0，
∴MN=m+3．
(1)根据定义可得答案；
(2)表示出MN的横向距离为m−1，纵向距离为2 2m+2，再利用勾股定理列式，化简即可得出答案．
本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形ABB′A′是菱形．
理由：由平移得AA′//BB′，AA′=BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，∠AA′B=∠A′BC．
∵BA′平分∠ABC，
∴∠ABA′=∠A′BC，
∴∠AA′B=∠A′BA．
∴AB=AA′，
∴平行四边形ABB′A′是菱形；
(2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，AC′与A′B′交于点E，
由(1)得BB′=BA=6，即BC′=BB′+B′C′=10，
∵AC′⊥A′B′，
∴∠B′EC′=90°，
∵AB//A′B′，
∴∠BAC′=∠B′EC′=90°．
在Rt△ABC′中，AC′= BC′2−AB2=8．
∵S△ABC′=12AB⋅AC′=12BC′⋅AF，
∴AF=AB⋅AC′BC′=245，
∴S菱形ABB′A′=BB′⋅AF=1445，
∴菱形ABB′A′的面积是1445．
【解析】本题考查平移变换，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法求斜边上的高．
(1)四边形ABB′A′是菱形．由菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”推知该结论；
(2)过点A作AF⊥BC于点F.利用面积法求出AF，进而得到答案．
25.【答案】(1)证明：如图1中，连接AD．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE．
(2)解：结论：DA2=DC2+DB2．
理由：如图2中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE，
∵∠CDB=30°，∠BDE=60°，
∴∠CDE=90°，
∴CE2=CD2+DE2，
∵DB=DE，DA=EC，
∴DA2=DC2+DB2．
(3)解：如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．
同法可证：△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=13，设EH=x，DH=y，
则有x2+y2=50(7+y)2+x2=132，
解得x=5y=5，
∴DH=HE=5，
∵∠H=90°，
∴∠EDH=45°，
∴∠CDE=135°，
∵∠BDE=60°，
∴∠BDC=135°−60°=75°．
【解析】(1)如图1中，连接AD.根据SAS证明△ABD≌△CBE即可解决问题；
(2)如图2中，结论：DA2=DC2+DB2.以BD为边向下作等边△BDE，连接EC.证明△ABD≌△CBE(SAS)，推出AD=CE，再证明∠CDE=90°，即可解决问题；
(3)如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H.同法可证：△ABD≌△CBE(SAS)，可得AD=CE=13，设EH=x，DH=y，利用勾股定理构建方程组，求出x，y即可解决问题；
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
1.下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是( )
A. 3−xB. 6+2xC. x−3D. x+3
2.下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 2，2，3
3.下列式子是最简二次根式的是( )
A. 12B. 2C. a2D. 8
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB=( )
A. 5B. 5C. 3D. 3
5.在▱ABCD中，有两个内角的度数比为1：2，则这个平行四边形中较大的内角是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
6.计算(2 3)2+ 42的正确结果是( )
A. 8B. 10C. 14D. 16
7.下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是( )
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个
8.如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，连接ED，则BD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6.
9.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列结论：①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ②C. ①②③D. ①③
10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小：2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
12.最简二次根式 2m−1与 7可以合并，则m= ______．
13.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
14.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= m− n(m>n) m+ n(m
16.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等限直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，则点A2021的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.先化简，再求值：(1−1x)÷x2−2x+1x2，其中x= 3+1．
四、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 27−13 18− 12；
(2)2 12× 34÷5 2．
19.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题10分)
如图，已知CD=6，AB=3，∠ABC=∠D=90°，BD=DC，求AC的长．
21.(本小题10分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，D为AB上一点，CD=8，BD=6．
(1)求证：∠CDB=90°；
(2)求AC的长．
23.(本小题10分)
已知：在平面直角坐标系中，两点的横向(或纵向)距离可以用两点横坐标(或纵坐标)的差的绝对值来表示．
(1)如图，平面内点A坐标为(2,3)，点B坐标为(−1,−1)，则AB两点的横向距离BC=______，纵向距离AC=______，最后，可得AB=______；
(2)平面内有点M(1, 2m+2)，点N(m,− 2m+2)(m>0)，请参考(1)中方法求线段MN的长．(用含m的式子表示)
24.(本小题10分)
如图，将△ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，使得点A′落在∠ABC的平分线BD上，连接AA′、AC′．
(1)判断四边形ABB′A′的形状，并证明；
(2)在△ABC中，AB=6，BC=4，若AC′⊥A′B′，求四边形ABB′A′的面积．
25.(本小题10分)
已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，△BDE也是等边三角形，求证：AD=CE；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5 2，DC=7，试求∠BDC的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、根据二次根式有意义的条件可得：3−x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、根据二次根式有意义的条件可得：6+2x≥0，解得x≥−3，故此选项错误；
C、根据二次根式有意义的条件可得：x−3≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D、根据二次根式有意义的条件可得：x+3≥0，解得x≥−3，故此选项错误；
故选：C．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数分别进行分析．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关进是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
B.12+12=( 2)2，能构成直角三角形，故选项正确；
C.62+82≠112，不能构成直角三角形，故选项错误；
D.22+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
欲判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 2是最简二次根式；
C、 a2=|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D、 8=2 2，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
则AB= AC2+BC2= 5，
故选：A．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角相等，邻角互补，
∵有两个内角的度数比为1：2，
∴▱ABCD中较大的内角是：180°×21+2=120°．
故选：D．
由▱ABCD中，有两个内角的度数比为1：2，可得此两角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
6.【答案】D
【解析】解：(2 3)2+ 42=12+4=16，
故选：D．
根据二次根式的加减计算解答即可．
此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了命题的真假判断，互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数，逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系.由题意可得∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，由勾股定理CD2=EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴EC=AC−AE=10−6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，
在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，
即：(8−x)2=x2+16，
解得：x=3，
∴BD=3．
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键，属于中档题．
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】
解：
①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，
故本选项正确；
②由图可知，x−y=CE=2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4×12xy+4=49，
即2xy+4=49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=12DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3 3，
∴BD= AD2+AB2= 32+(3 3)2=6，
∴EF的最大值=12BD=3．
故选A．
根据三角形中位线定理可知EF=12DN，求出DN的最大值即可．
本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
11.【答案】<
【解析】解：∵(2 3)2=12，(3 2)2=18，
而12<18，
∴2 3<3 2．
故答案为：<．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
12.【答案】4
【解析】解：∵最简二次根式 2m−1与 7可以合并，
∴2m−1=7．
∴m=4．
故答案为：4．
根据题意得出2m−1=7，解方程可得答案．
本题考查的是同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14.【答案】2
【解析】解：(3※2)×(8※12)
=( 3− 2)×( 8+ 12)
=( 3− 2)×2( 3+ 2)
=2，
故答案为：2．
根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：由勾股定理得，斜边长= 32+42=5，
故答案为：5．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16.【答案】(0,−21010)
【解析】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，
∴A1(0,1)，A2(1,1)；
根据勾股定理得：OA2= 12+12= 2，
∴OA3= 2OA2=2，
∴A3(2,0)，A4(2,−2)，
根据勾股定理得：OA4= 22+22=2 2，
∴OA5= 2OA4=4，
∴A5(0,−4)，
∴A6(−4,−4)，
根据勾股定理得：OA6= 2OA5=4 2，
∴OA7= 2OA6=8，
∴A7(−8,0)，A8(−8,−8)，
根据勾股定理得：OA8= 2OA7=8 2，
∴OA9= 2OA8=16，
∴A9(0,16)，
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴A2021的坐标与A5(0,−4)的规律相同，
∵−4=−22=−25−12，
∴A2021的纵坐标为−22021−12=−21010，
∴A2021的坐标为(0,−21010)，
故答案为：(0,−21010).
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找的规律计算即可．
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
17.【答案】解：(1−1x)÷x2−2x+1x2
=x−1x⋅x2(x−1)2
=xx−1，
当x= 3+1时，原式= 3+1 3+1−1=3+ 33．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：(1)原式=3 3− 2−2 3
= 3− 2；
(2)原式=2×14×15× 12×3×12
=3 210．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19.【答案】证明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，AE=CF，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由△ADE≌△CBF与E、F分别为边AB、CD的中点，易证得AD=BC，AB=CD，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：在Rt△BDC和Rt△ABC中，BC2=BD2+DC2，AC2=AB2+BC2，
则AC2=AB2+BD2+DC2，
又∵BD=DC，
∴AC2=AB2+2CD2=32+2×62=81，
∴AC=9即AC的长为9．
【解析】首先由勾股定理可得AC2=AB2+BD2+DC2，又由BD=DC可得AC2=AB2+2CD2，代入数值求出AC即可．
本题考查了勾股定理，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】解：(1)三边分别为：3、4、5 (如图1)；
(2)三边分别为： 2、2 2、 10(如图2)；
(3)画一个边长为 10的正方形(如图3)．
【解析】本题考查格点作图，涉及无理数，勾股定理，正方形的性质．
(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；
(2)画一个边长 2，2 2， 10的三角形即可；
(3)画一个边长为 10的正方形即可．
22.【答案】解：(1)∵BC=10，CD=8，BD=6，
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB=90°；
(2)∵AB=AC，
∴设AC=x，则AD=x−6，
∴x2=(x−6)2+82，
解得：x=253，
故AB=AC=253．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，再结合勾股定理得出AC的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出AC的长是解题关键．
23.【答案】3 4 5
【解析】解：(1)BC=2−(−1)=3，AC=3−(−1)=4，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2= 32+42=5，
故答案为：3，4，5；
(2)∵MN的横向距离为m−1，纵向距离为2 2m+2，
∴MN= (m−1)2+4(2m+2)2
= m2+6m+9
= (m+3)2
=|m+3|，
∵m>0，
∴MN=m+3．
(1)根据定义可得答案；
(2)表示出MN的横向距离为m−1，纵向距离为2 2m+2，再利用勾股定理列式，化简即可得出答案．
本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形ABB′A′是菱形．
理由：由平移得AA′//BB′，AA′=BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，∠AA′B=∠A′BC．
∵BA′平分∠ABC，
∴∠ABA′=∠A′BC，
∴∠AA′B=∠A′BA．
∴AB=AA′，
∴平行四边形ABB′A′是菱形；
(2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，AC′与A′B′交于点E，
由(1)得BB′=BA=6，即BC′=BB′+B′C′=10，
∵AC′⊥A′B′，
∴∠B′EC′=90°，
∵AB//A′B′，
∴∠BAC′=∠B′EC′=90°．
在Rt△ABC′中，AC′= BC′2−AB2=8．
∵S△ABC′=12AB⋅AC′=12BC′⋅AF，
∴AF=AB⋅AC′BC′=245，
∴S菱形ABB′A′=BB′⋅AF=1445，
∴菱形ABB′A′的面积是1445．
【解析】本题考查平移变换，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法求斜边上的高．
(1)四边形ABB′A′是菱形．由菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”推知该结论；
(2)过点A作AF⊥BC于点F.利用面积法求出AF，进而得到答案．
25.【答案】(1)证明：如图1中，连接AD．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE．
(2)解：结论：DA2=DC2+DB2．
理由：如图2中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE，
∵∠CDB=30°，∠BDE=60°，
∴∠CDE=90°，
∴CE2=CD2+DE2，
∵DB=DE，DA=EC，
∴DA2=DC2+DB2．
(3)解：如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．
同法可证：△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=13，设EH=x，DH=y，
则有x2+y2=50(7+y)2+x2=132，
解得x=5y=5，
∴DH=HE=5，
∵∠H=90°，
∴∠EDH=45°，
∴∠CDE=135°，
∵∠BDE=60°，
∴∠BDC=135°−60°=75°．
【解析】(1)如图1中，连接AD.根据SAS证明△ABD≌△CBE即可解决问题；
(2)如图2中，结论：DA2=DC2+DB2.以BD为边向下作等边△BDE，连接EC.证明△ABD≌△CBE(SAS)，推出AD=CE，再证明∠CDE=90°，即可解决问题；
(3)如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H.同法可证：△ABD≌△CBE(SAS)，可得AD=CE=13，设EH=x，DH=y，利用勾股定理构建方程组，求出x，y即可解决问题；
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
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