福建省龙岩市新罗区莲东中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市新罗区莲东中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023—2024学年第二学期第一次阶段性统一练习
八年级 数学学科
（时间：120分钟）
命题人：赖建红 审核人：陈鸿洲
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，1，C．6，8，11D．2，2，3
3．下列式子是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
4．在中，，，则（ ）
A．B．5C．D．3
5．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：2，则这个平行四边形中较大的内角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
6．计算的正确结果是( )
A．8B．10C．14D．16
7．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=900,AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为( )
A．3B．4C．5D．6
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49.其中正确的结论是( )
A．①②B．②C．①②③D．①③
10．如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（ ）

A．3B．4C．4.5D．5
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．比较大小：
12．最简二次根式与可以合并，则 ．
13．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
14．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
15．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等限直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，则点A2021的坐标为 ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（1）－－；（2）
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若．求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．如图，已知，，，，求的长．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6．
（1）求证：∠CDB＝90°；（2）求AC的长．
23．已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或级向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．
(1)如图，平面内点A坐标为，点B坐标为，则两点的横向距离______，纵向距离______，最后，可得______．
(2)平面内有点，点，请参考（1）中方法求线段的长．（用含m的式子表示）
24．如图，将沿射线BC平移得到，使得点落在∠ABC的平分线BD上，连接、．

（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）在中，AB＝6，BC＝4，若，求四边形的面积．
25．已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数．
图1 图2 图3
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件逐项进行求解即可得．
【解答】解：A、3-x≥0，解得x≤3，不符合题意；
B、6+2x≥0，解得x≥-3，不符合题意；
C、x-3≥0，解得x≥3，符合题意；
D、x+3≥0，解得x≥-3，不符合题意，
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
2．B
【解答】【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】A、∵2 2 +3 2 =13≠4 2 ，∴不能构成直角三角形，故A选项错误；
B、∵1 2 +1 2 =2=（） 2 ，∴能构成直角三角形，故B选项正确．
C、∵6 2 +8 2 =100≠11 2 ，∴不能构成直角三角形，故C选项错误；
D、∵2 2 +2 2 =8≠3 2 ，∴不能构成直角三角形，故D选项错误，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键.
3．B
【解答】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可得出答案．
【解答】A、被开方数含有分母的一定不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、 =|a|，故C选项不是最简二次根式；
D、，故D选项不是最简二次根式，
故选B.
【点拨】本题考查最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．A
【分析】根据勾股定理直接计算即可求解．
【解答】解：如图，
在中，，，
∴
故选A
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】据平行四边形的性质得出AB//CD，推出∠B+∠C= 180°，根据∠B∶∠C= 1∶2，求出∠C即可．
【解答】如图：
因为四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，
∴∠B+∠C= 180°，
又∠B：∠C=1∶2，
∴∠C=×180°= 120°
故选： D．
【点拨】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
6．D
【解答】【分析】先分别进行二次根式的乘方运算、二次根式的化简，然后再进行加法运算即可.
【解答】
=
=12+4
=16，
故选D.
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键.
7．B
【解答】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．
【解答】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，
所以逆命题成立的只有一个，
故选B.
【点拨】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.
8．A
【分析】由题意可得∠AED=∠ABC =90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=4−x，由勾股定理CD =EC+ED，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∴EC=AC−AE=10−6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，
在Rt△CDE中，CD=EC+ED，
即：(8−x) =x+16，
解得：x=3，
∴BD=3．
故选A．
【点拨】此题考查勾股定理，折叠的性质,解题关键在于求得AC的长.
9．C
【解答】【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式逐一进行判断即可得.
【解答】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然直角三角形的斜边为7，利用勾股定理可得x2+y2=49，故①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故③正确，
综上可知正确的结论是①②③，
故选C.
【点拨】本题考查了勾股定理，结合图形，灵活运用正方形的面积和勾股定理进行解题是关键.
10．A
【分析】连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案．
【解答】如图，连接，
，
，当点与点重合时，的值最大，即最大，
在中，
，
，
的最大值，
，
故选：A．
【点拨】本题考查中位线定理的判定和性质，勾股定理，得到当点与点重合时，的值最大，即最大是解题的关键．
11．<
【分析】根据无理数的大小比较方法解答
【解答】，，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键．
12．4
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
根据题意得出，解方程可得答案．
【解答】解：最简二次根式与可以合并，
．
．
故答案为：4．
13．两直线平行，同位角相等
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
【点拨】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键．
14．2
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：※※
，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15．5
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
16．（0，﹣21010）
【分析】根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找规律，再按规律计算即可．
【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，
∴A1（0，1），A2（1，1）；
根据勾股定理得：OA2＝，
∴OA3＝OA2＝2，
∴A3（2，0），A4（2，﹣2），
根据勾股定理得：OA4＝，
∴OA5＝OA4＝4，
∴A5（0，﹣4），
∴A6（﹣4，﹣4），
根据勾股定理得：OA6＝OA5＝4，
∴OA7＝OA6＝8，
∴A7（﹣8，0），A8（﹣8，﹣8），
根据勾股定理得：OA8＝OA7＝8，
∴OA9＝OA8＝16，
∴A9（0，16），
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8＝252…5，
∴A2021的坐标与A5（0，﹣4）的规律相同，
∵﹣4＝﹣22＝，
∴A2021的纵坐标为＝﹣21010，
∴A2021的坐标为（0，﹣21010），
故答案为：（0，﹣21010）．
【点拨】本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
17．（1）－ （2）
【分析】（1）把每一个二次根式都化成最简二次根式，然后再对同类二次根式进行合并即可得；
（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可．
【解答】解（1）原式=－
=－
（2）原式=
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】原式=
=，
当时 原式=．
【点拨】此题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据可得，，根据E、F分别为边AB、CD的中点可得，，进而可得，由此即可证得四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵，
∴，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键．
20．的长为．
【解答】本题考查了勾股定理．首先由勾股定理可得，又由可得，代入数值求出即可．
【分析】解：在和中，，，
则，
又，
，
即的长为．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意可画出三边长分别为的三角形即可；
（2）根据题意及勾股定理即可画出边长为、、的直角三角形；
（3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形．
【解答】（1）如图1，三角形为所求；
（2）如图2，三角形为所求；
（3）如图3，正方形为所求．
【点拨】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
22．（1）见解析；（2）AC＝．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设AC＝x，由题意得到x2＝（x﹣6）2+82，计算即可得到答案.
【解答】解：（1）∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）∵AB＝AC，
∴设AC＝x，则AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x＝，
故AB＝AC＝．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
23．(1)3，4，5
(2)
【分析】（1）先求出点C坐标，在根据题意即可求得、长，根据勾股定理即可求得长．
（2）根据题意，先求出M、N两点之间的横向距离及纵向距离，再根据勾股定理即可解答．
【解答】（1）∵点A坐标为，点B坐标为
∴点C坐标为
，
（2）横向距离为，纵向距离为
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中，两点的距离表示方式及勾股定理等知识点，充分理解题意，并掌握上述知识点是解答本题的关键．
24．（1）四边形是菱形，见解析；（2）
【分析】（1）四边形是菱形．由菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”推知该结论；
（2）过点作于点．利用面积法求出即可．
【解答】（1）四边形是菱形．
理由：由平移得，＝，
∴ 四边形是平行四边形，＝．
∵ 平分，
∴ ＝，
∴ ＝．
∴ ＝，
∴ □是菱形；
（2）过点作于点

由（1）得＝＝．
∵ ，
∴ ＝，
∵ ，
∴ ＝＝．
在中，．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 菱形的面积是．
【点拨】本题考查平移变换，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法求斜边上的高．
25．（1）证明见解析；（2）DB2+DC2=DA2，证明见解析；（3）∠CDB=75°.
【解答】【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得；
（2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ；
（3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数.
【解答】（1）∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ，
∴∠ABD=∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE；
（2）结论： DB2+DC2=DA2，
以BD为边作等边△BDE，连CE，
则BD=DE，∠BDE=60°，

由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE ，
又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°，
∴CD2+DE2=CE2，
∴DB2+DC2=DA2 ；
（3） 以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，
由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=13，
设DH=x，
在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2，

即，
在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2，
，
∴= ，
∴x=5 ， 即DH=5 ，
∴EH=5=DH，则∠EDH=45°，
∴∠CDB=180°—45°—60°=75°.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，准确添加辅助线是解答本题的难点和关键.