2022-2023学年福建省龙岩市长汀县城区六校联考八年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省龙岩市长汀县城区六校联考八年级（下）月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有(    )

A. 个 B.  个 C. 个 D. 个

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形无重叠、无间隔，已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是(    )

A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为
C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为

6.  如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，有四个三角形，各有一边长为，一边长为，若第三边分别为，，，，则面积最大的三角形是
(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在一张矩形纸板上找一点，使点到，的距离相等，且到点，的距离也相等，则下列作法正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中不计空气阻力，则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间之间的关系大致可以用图、图中的图象来描述，那么对图、图的解读正确的是(    )

 

A. 图表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B. 图表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C. 图表示水面高度和时间的函数图象
D. 图表示铁块受到的浮力和时间的函数图象

10.  已知直线：与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  化简的结果为______ ．

12.  若把一次函数，向上平移个单位长度，得到图象解析式是______ ．

13.  已知一次函数的图象如图所示，则 ______ ．

14.  如图，已知正方形的边长为，连接、，平分交于点，则          ．

15.  已知：如图，在中，，是的角平分线，，，则 ______ ．

16.  在正方形中，，点、分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？为什么？

19.  本小题分
如图，在矩形中，点，分别在，边上，求证：．

20.  本小题分
如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，在中，是它的中位线，如图延长到，使，连结，试证明：，且．

22.  本小题分
学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离米与时间分钟之间的函数关系如图所示．
根据图象信息，甲的速度为______ 米分钟，乙的速度为______ 米分钟；
图中点的实际意义是：______ ，并求出点的坐标；
甲乙之间距离小于米的时长有______ 分钟．

23.  本小题分
在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍．已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
规划组认为有比元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

24.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．

25.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
求点的坐标及直线的表达式；
点在轴上，若的面积为，求点的坐标；
如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：矩形、菱形、正方形是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
一次函数的象经过第二、四象限，
，
一次函数的图象与轴的交点在轴下方，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
即一次函数的图象不经过第一象限，
故选：．
由于，，根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数的图象经过第二、四象限，与轴的交点在轴下方，即不经过第一象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，
根据矩形的性质推出，
，，
，
．
故选：．
由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
本题主要考查矩形的性质，解答的关键是明确互余的两角之和为，互补的两角之和为．
 

5.【答案】 

【解析】解：小长方形的长为、宽为，
大长方形的长为，
大长方形的宽为，
大长方形的周长为，
大长方形的面积为．
故A、、选项正确，选项错误．
故选：．
根据题目中的数据分别求出大长方形的长、宽、周长和面积，以此即可解答．
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，当时，，
所以关于的不等式的解集是．
故选：．
根据函数图象即可直接得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，，
，
当与重合时，最长为，
此时，，的面积最大，
，
四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为，，，
故选：．
过作于，依据，，可得，进而得到当与重合时，最长为，此时，，的面积最大．
本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
 

8.【答案】 

【解析】解：点到，的距离相等，且到点，的距离也相等，
点为的平分线与的垂直平分线的交点．
由选项的作图痕迹得到点在的垂直平分线上，则点在的垂直平分线上，利用对称性得到平分．
故选：．
利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质得到点为的平分线与的垂直平分线的交点，然后对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为；
弹簧测力计读数为：铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象．
故选：．
铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为；弹簧测力计读数为：开始一段的铁块在空气中的重量保持不变，当铁块进入水中的过程中，重量逐渐减小，直到全部进入水中，重量保持不变．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线与轴的交点为，
，
，
直线：与轴的交点坐标为，
若直线与轴的交点为，
则与轴交点在原点和点之间，
即：，
解得：，
故选：．
直线轴的表达式为，则与轴交点在原点和点之间，即可求解．
本题通过考查一次函数的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定，与轴交点在原点和点之间，进而求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次函数的性质与化简，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
根据平移法则上加下减可得出解析式．
【解答】
解：由题意得：平移后的解析式为：．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：由解析式可知点坐标为，即，
，
，
，
，
点的坐标为，
把点代入解析式得，
，
．
故答案为：．
通过一次函数的解析式和的角，可以确定，的长度，再把点的坐标代入解析式求出的值．
本题考查了一次函数的解析式，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值和待定系数法求函数的解析式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
过作于点，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长．
【解答】
解：过作于点，设、交于点．

四边形是正方形，
，，
平分交于点，
，
在和中
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

是的角平分线，，，
，
又，
≌，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，
，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
故答案为：．
过点作于，由证明≌得出，再由勾股定理求出的长，设，在中，根据勾股定理得出方程求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
正方形中，，
，，
在和中，
，
和，
，
，
的最小值就是的最小值，
如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小，
，
，，
．
的最小值是．
故答案：．
首先利用正方形的性质可以证明和，然后利用全等三角形的性质得到的最小值就是的最小值，最后利用轴对称即可求解．
本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先根据二次根式的性质化简，再算加法即可；
先算平方，再算除法，最后计算加法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：不能在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板．理由如下：
，
，
，
故不能在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 

【解析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可．
本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】由矩形的性质得，，，而，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，则，所以．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
边上的垂直平分线为，
，
，
，
，
，
；
解：设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为． 

【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
设，则，在中，根据列出方程计算即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
． 

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】    乙到达学校   

【解析】解：设甲的速度为，乙的速度为．
根据题意，得，解得．
甲的速度为米分钟，乙的速度为米分钟．
故答案为：，．
由题意可知，在处乙先到达学校．
乙到达学校时所用时间为分钟，
此时，两人之间的距离为米．
点的坐标为．
故答案为：乙到达学校．
设在相遇前，当时两相距米．
由题意，得，解得．
由图象可知，从到时期间，两人之间的距离小于米，
分钟．
故答案为：．
甲、乙两人分别匀速步行同时从学校和图书馆相向出发，出发后分钟时相遇，在这个过程中两人之间的距离一直在缩短；相遇后两人继续相向而行，两人之间的距离逐渐增大，在处乙先到达学校；之后甲继续先走，两人之间的距离继续增大，在点处甲到达图书馆．
根据两人相遇和点的坐标列方程组并求解即可；
根据上述两人运动过程即可解答；
求出两人相距米时对应的值，两者之差即为甲乙之间距离小于米的时长．
本题考查一次函数的应用，正确分析两人的运动过程并从图象获取有用的数学信息是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
，，
符合题意．
答：购买绿萝盆，吊兰盆．
设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
设购买两种绿植的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买两种绿植总费用的最小值为元． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设购买绿萝盆，吊兰盆，利用总价单价数量，结合购进两种绿植盆共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买两种绿植的总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：． 

【解析】先证，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
由菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积公式即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为：；
设点的坐标为，
直线的解析式为：，
，
，
的面积为，，
，
或，
点的坐标为或；
存在，
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
当时，过点作轴于，过点作轴于，

，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
；
当时，过点作轴于，延长交直线于，

同理：≌，
，，

；
当时，过点作直线于，过点作直线于，

同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，解得
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或． 

【解析】将点的坐标代入直线可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可；
设点的坐标为，根据的面积为求解即可；
分三种情况：当时，过点作轴于，过点作轴于，当时，过点作轴于，延长交直线于，当时，过点作直线于，过点作直线于，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．