2023-2024学年福建省泉州市石狮市自然门中学八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市石狮市自然门中学八年级（下）月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式：mm−1，aπ，x+y2，1n中，是分式的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.若分式x2x−1有意义，则该分式中的字母x满足的条件是( )
A. x<12B. x>12C. x≠12D. x=12
3.下列分式中，最简分式是( )
A. 2xy4x2B. a2+b2a+bC. 2−x4−x2D. 3−xx2−6x+9
4.无论x取什么数，总有意义的分式是( )
A. 4xx3+1B. x(x+1)2C. 3xx2+1D. x−2x2
5.如果把分式xyx+y(x、y均不为0且x+y≠0)中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值( )
A. 变为原来的5倍B. 不变C. 变为原来的15D. 变为原来的10倍
6.不改变分式的值，将分式−0.2x−1−0.3x+0.5中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是( )
A. 2x+13x−5B. 2x−103x+5C. 2x+103x+5D. 2x+103x−5
7.对于分式−x+23−x，下列变形正确的是( )
A. −x+23−xB. x−2x−3C. x+2−3−xD. x+2x−3
8.下列方程中是分式方程的是( )
A. x−13=1B. 2x−5=3xC. x2−1=0D. x+1x=2
9.关于x的分式方程a−32−x=1有增根，则a的值为( )
A. −1B. 5C. 1D. 3
10.劳动课上，八(1)班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分种包x个，则可列方程为( )
A. 300x=200x−30B. 300x=200x+30C. 300x−30=200xD. 300x+30=200x
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将分式6a4c29a2b2约分后的结果是______．
12.分式12x2y,16xy3的最简公分母是______．
13.使得分式a2−1a+1值为零的a的值是______．
14.若代数式23−x与代数式3x+1互为相反数，则x的值是______．
15.已知非零实数x，y满足y=xx+1，则x−yxy的值是______．
16.若关于x的方程x−mx−1+2m1−x=5的解为正数，则m的取值范围是______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.先化简，再求值：(1+1x−2)÷x2−2x+1x2−4，其中x=−5．
18.解方程：
(1)2x=3x+1；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算
(1)x2x+1−1x+1；
(2)x+2x−2+42−x．
20.(本小题8分)
计算
(1)a2−1ab⋅2aba2+2a+1．
(2)(a−aa−1)÷a2−4a+4a−1．
21.(本小题8分)
已知A=x2+2x+1x2−1−xx−1，
(1)化简A；
(2)当x满足不等式组x−1≥0x−3<0，且x为整数时，求A的值．
22.(本小题10分)
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球，回校后，王老师和李老师编写了一道题：
王老师说：“篮球的单价比排球的单价多60元”
李老师说：“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
23.(本小题10分)
一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1；
②x2x−2=x2−4+4x−2=(x+2)(x−2)+4x−2=(x+2)+4x−2．
(1)仿照上述方法，试将分式x+5x+3化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
(2)如果分式2x2−1x−1的值为整数，求整数x的值．
24.(本小题12分)
【阅读】把等式x2−3x+1=0(x≠0)的两边同时乘以1x得x−3+1x=0，移项得x+1x=3，两边平方得(x+1x)2=x2+1x2+2⋅x⋅1x=x2+1x2+2=32，
所以x2+1x2=(x+1x)2−2=32−2=7．
【思考】若等式2x2−8x+2=0(x≠0)成立，求下列各式的值：
(1)x2+1x2=______，x4+1x4=______．
(2)先计算(a+b)(a2−ab+b2)=______，把计算结果作为公式，求x3+1x3的值．
25.(本小题14分)
某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了10%．
(1)求第一次购买苹果的进价；
(2)求第二次购买苹果的数量；
(3)该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果(不计损耗)，共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：mm−1，形式为AB，且B中含有字母，是分式；
aπ，形式为AB，但B中不含字母，不是分式；
x+y2，形式为AB，且B中不含有字母，不是分式；
1n，形式为AB，且B中含有字母，是分式；
故一共有2个分式．
故选：B．
形如AB，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．根据分式的概念依次判断即可．
本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得：2x−1≠0，
解得：x≠12，
故选：C．
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、2xy4x2=y2x，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、a2+b2a+b是最简分式，故此选项符合题意；
C、2−x4−x2=−(x−2)(x−2)(x+2)=−1x+2，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、3−xx2−6x+9=−x−3(x−3)2=−1x−3，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：A．4xx3+1，x3+1≠0，x≠−1，
B.x(x+1)2，(x+1)2≠0，x≠−1，
C.3xx2+1，x2+1≠0，x为任意实数，
D.x−2x2，x2≠0，x≠0；
故选：C．
按照分式有意义，分母不为零即可求解．
本题考查的是分式有意义的条件．
5.【答案】A
【解析】解：把分式xyx+y中的x和y都变为原来的5倍得：
5x⋅5y5x+5y=5xyx+y，
∴分式的值变为原来的5倍，
故选：A．
把分式xyx+y中的x和y都变为原来的5倍，然后根据分式的基本性质化简即可得出结论．
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
6.【答案】D
【解析】解：−0.2x−1−0.3x+0.5=−(0.2x+1)−(0.3x−0.5)=0.2x+10.3x−0.5=10(0.2x+1)10(0.3x−0.5)=2x+103x−5．
故选：D．
根据分式的基本性质，即可求解．
本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．
7.【答案】B
【解析】解：A、−x+23−x=−(x−2)3−x=−x−23−x，故A不符合题意；
B、−x+23−x=−(x−2)−(x−3)=x−2x−3，故B符合题意；
C、−x+23−x=−(x−2)3−x=x−2−(3−x)=x−2−3+x，故C不符合题意；
D、−x+23−x=−(x−2)−(x−3)=x−2x−3，故D不符合题意；
故选：B．
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B.是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.是分式方程，故此选项符合题意．
故选：D．
根据分式方程的定义进行判断即可．
本题考查了分式方程的定义，关键要注意分式方程的分母中含有字母．
9.【答案】D
【解析】解：去分母，得：a−3=2−x，
由分式方程有增根，得到2−x=0，即x=2，
把x=2代入整式方程，可得：a=3．
故选：D．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到2−x=0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10.【答案】A
【解析】解：若设女生组每分种包x个，则男生组每分种包(x−30)个，
依题意，得300x=200x−30．
故选：A．
关键描述语是：女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，等量关系为：300÷女生的工效=200÷男生的工效．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11.【答案】2a2c23b2
【解析】解：6a4c29a2b2=6a4c2÷3a29a2b2÷3a2=2a2c23b2．
故答案为：2a2c23b2．
本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．
本题考查约分，找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键．
12.【答案】6x2y3
【解析】解：分式12x2y,16xy3的最简公分母是6x2y3；
故答案是：6x2y3．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
13.【答案】1
【解析】解：要使得分式a2−1a+1=0，
则a2−1=0且a+1≠0，
解得a=1．
故答案为：1．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零是解题的关键．
14.【答案】11
【解析】解：由题意得：23−x+3x+1=0，
2(x+1)+3(3−x)=0，
解得：x=11，
检验：当x=11时，(3−x)(x+1)≠0，
∴x=11是原方程的根，
故答案为：11．
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，相反数，一定要注意解分式方程必须检验．
15.【答案】1
【解析】解：∵y=xx+1，
∴xy+y=x，即x−y=xy，
∴x−yxy=xyxy=1，
故答案为：1．
由y=xx+1，可得x−y=xy，然后整体代入，计算求解即可．
本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
16.【答案】m<53且m≠13
【解析】解：x−mx−1+2m1−x=5，
去分母，得x−m−2m=5(x−1)，
∴x−3m=5x−5，
∴−4x=−5+3m．
∴x=5−3m4．
∵方程的解为正数，且x≠1．
∴5−3m4>0，且5−3m4≠1．
∴m<53且m≠13．
故答案为：m<53且m≠13．
先解分式方程，再根据方程的解为正数，得不等式，求解不等式即可．
本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
17.【答案】解：原式=x−2+1x−2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=x+2x−1，
当x=−5时，
原式=−3−6=12．
【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：(1)去分母得：2(x+1)=3x，
去括号得：2x+2=3x，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
去括号得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验：x=1 是原方程的增根，原方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：(1)x2x+1−1x+1
=x2−1x+1
=x−1．
(2)x+2x−2+42−x
=x+2x−2−4x−2
=x+2−4x−2
=1．
【解析】(1)根据分母分式加减法法则计算即可；
(2)首先通分，然后根据分母分式加减法法则计算即可．
此题主要考查了分式加减法的运算方法，解答此题的关键是要明确同分母、异分母分式加减法法则．
20.【答案】解：(1)a2−1ab⋅2aba2+2a+1
=(a+1)(a−1)ab⋅2ab(a+1)2
=2a−2a+1．
(2)(a−aa−1)÷a2−4a+4a−1
=a(a−1)−aa−1⋅a−1(a−2)2
=a(a−2)a−1⋅a−1(a−2)2
=aa−2．
【解析】(1)先把各分式的分子、分母因式分解，然后约分即可；
(2)先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可．
本题考查的是分式的混合运算，关键是解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
21.【答案】解：(1)A=x2+2x+1x2−1−xx−1
=(x+1)2(x+1)(x−1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1；
(2)∵x−1≥0x−3<0，
∴1≤x<3，
∵x为整数，
∴x=1或x=2，
∵A=1x−1中x≠1，
∴x=2，
∴A=1x−1=12−1=1．
【解析】本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组的解法、一元一次不等式组的整数解．
(1)根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
(2)解不等式组，求得整数解，代入化简后的A式计算即可，注意验证A式是否有意义．
22.【答案】解：设排球单价为x元，则篮球单价为(x+60)元，
由题意得：2000x=3200x+60，
解得x=100，
经检验，x=100为原方程的解，
x+60=160元，
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
【解析】设排球单价为x元，则篮球单价为(x+60)元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)x+5x+3
=x+3+2x+3
=1+2x+3；
(2)原式=2x2−2+1x−1
=2(x+1)(x−1)+1x−1
=2(x+1)+1x−1，
∵原分式的值为整数，且x为整数，
∴x−1=±1，
∴x=2或x=0．
【解析】(1)参照范例进行解答即可；
(2)先参照范例把分式2x2−1x−1化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和x的值都为整数这个条件进行分析解答即可．
本题考查了分式的性质，分式的加减运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
24.【答案】解：(1)14 ，194；
(2)a3+b3；
逆用公式得x3+1x3
=(x+1x)(x2−1+1x2)
=4×(14−1)
=4×13
=52．
【解析】【分析】
本题考查了整式的混合运算，逆用公式(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3是解题的关键．
(1)根据阅读材料，利用完全平方公式求解即可；
(2)用多项式乘多项式展开，得到公式(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3，逆用公式即可得出答案．
【解答】
解：(1)∵2x2−8x+2=0，
∴x2−4x+1=0，
∵x≠0，
∴x−4+1x=0，
∴x+1x=4，
∴(x+1x)2=16，
∴x2+1x2+2=16，
∴x2+1x2=14，
∴(x2+1x2)2=196，
∴x4+1x4+2=196，
∴x4+1x4=194，
故答案为：14，194；
(2)(a+b)(a2−ab+b2)
=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3
=a3+b3，
故答案为：a3+b3，
25.【答案】解：(1)设第一次购买苹果的进价为x元/千克，则：第二次购买的进价为(1+10%)x元/千克，
由题意，得：2200x(1+10%)−800x=120，
解得：x=10，
经检验x=10是原方程的解，
∴(1+10%)x=11，
答：第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克；
(2)第二购买的数量为220011=200(千克)；
(3)由题意，得：m(a−11)+(15−11)(200−m)=1500，
整理，得：ma−15m=700，
解得：a=700m+15，
∵a≤22，
∴700m+15≤22，
∴m≥100，
∵a，m均为正整数，
∴a=22m=100，a=20m=140．
【解析】(1)设第一次购买苹果的进价为x元，根据第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了10%，列出分式方程进行求解即可；
(2)用总价除以进价，求出数量即可；
(3)根据总利润等于单价利润乘以销量，列出二元二次方程，用含m的代数式表示出a的值，根据a不超过第二次进价的2倍，求出m的范围，求出a，m的正整数解即可．
本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．