2023-2024学年福建省龙岩二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年福建省龙岩二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.的三边分别为，，，若，，的长为偶数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.等腰三角形的一个角为，则顶角是度．(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

4.一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长是(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

5.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.已知点与点关于轴对称，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，四个图形中，线段是的高的图是(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数(    )
平分；；；．

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如图，，分别是的高和角平分线，，，则______

12.如图，点，，，在一条直线上，，，当添加条件______ 时，可由“边角边”判定≌．

13.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是______．

 

14.如图中，，平分，，，则的面积是______ ．

15.如图，是直角，平分，平分，，则的度数为______ ．

16.如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为______ 时，和全等．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，，，，求证：．

18.本小题分
一个多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度，求多边形的边数．

19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．
作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
求的面积．

20.本小题分

如图，某城市公园里有三个景点、、，直线、表示直路，而表示弯路想在区里修建一座公厕，使它到两条路和的距离相等，且到两个景点和的距离也相等求点位置．

21.本小题分
在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”．
中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？
若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数．

22.本小题分

如图，与中，与交于点，且，．
求证：≌；
当，求的度数？

23.本小题分

如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
求证：；
连接，请判断的形状，并说明理由．

24.本小题分
如图，试探究，与，之间的数量关系；
请你用文字语言描述中的关系；
用你发现的结论解决下列问题：如图，，分别平分四边形的外角、，，求的度数．

 

25.本小题分

如图，，，，，垂足为．

求证：≌；

求的度数；

求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：由三角形三边关系可得：，
即，
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答即可．
此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答．

3.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为时，则它的底角；
当等腰三角形的一个底角为时，则它的顶角；
综上所述：它的顶角是或，
故选：．
分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的一个底角为时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两边长分别为和，
当腰长是时，则三角形的三边是，，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长是时，三角形的三边是，，，三角形的周长是．
故选：．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】由题意可求得，利用三角形的外角性质即可求的度数．
解：如图所示：

，，，
，
是的一个外角，
．
故选：．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．

6.【答案】 

【解析】解：为的边上的中线，
，
的周长比的周长大，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中线的特点进行解答即可．
本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：延长交于点，设交于点，如图，
四边形的内角和为，
，
，
．
由折叠的性质可得：．
，
．
在和中，
，
，
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求．
本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
则．
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出，的值即可．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】
解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
点在的角平分线上，故正确；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
，正确；
平分，平分，
，，
，正确；
由可知≌，≌
，，
，故正确，
故选：．
过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断；证明≌，根据全等三角形的性质得出，判断；根据三角形的外角性质判断；根据全等三角形的性质判断．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
所以，
因为是高，
所以，
所以，
故答案为：．
根据三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，求得，再利用角的和差关系得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
，
，
用“边角边”证明≌，
需要添加条件是：．
故答案为：答案不唯一．
用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：如图，过和分别作轴于，轴于，

，
，，
，
在和中，

≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
，
则点的坐标是，
故答案为：．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线证明全等三角形．
过和分别作轴于，轴于，利用已知条件可证明≌，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
是直角，
．
又平分，
，
．
故答案为：．
由平分及的度数，利用角平分线的性质，可求出的度，结合是直角，可求出的度数，由平分，利用平分线的性质，可求出的度数，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了角平分线的性质以及度分秒的换算，牢记“若是的平分线，则”是解题的关键．

16.【答案】秒或秒 

【解析】解：当秒或秒时，和全等，
理由是：，，
，
当时，
在和中，
，
≌，
当时，
在和中，
，
≌，
点的运动速度为每秒钟，
，
当运动时间为秒或秒时，和全等．
故答案为：秒或秒．
当秒或秒时，和全等，根据定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．

17.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先由平行线的性质推导出，，再由，根据等式的性质证明，即可证明≌，得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．

18.【答案】解：设多边形的边数为
多边形的外角和是，内角和的度数比外角和的度数的倍多度，
可得方程
解得．
多边形的边数为． 

【解析】根据多边形的外角和是可得出内角和为，再根据内角和公式可以求得多边形的边数．
本题主要考查的是多边形的外角和是以及多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键．

19.【答案】解：如图，即为所求，点；


． 

【解析】解答：见答案。
分析：
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．

20.【答案】解：设和交于点，
以点为圆心，以适当的长为半径画弧分别交，于点，，
分别以为圆心，以大于为半径画弧在，的内部交于点，
作射线，
连接，
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，，
作直线与射线交于点，
则点为所求作的点．

理由如下：
由作图可知：为直线，夹角的平分线，点在上，
点到和的距离相等，
由作图可知：直线为线段的垂直平分线，点在上，
．
点点到和的距离相等，且到点和的距离也相等． 

【解析】设和交于点，先作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点．
此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

21.【答案】解：是“三倍角三角形”，理由如下：
，，
，
是“三倍角三角形”；
，
，
设最小的角为，
当时，，
当时，，，
，，
答：中最小内角为或． 

【解析】由三角形内角和可求第个内角为，由“三倍角三角形”定义可求解；
分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解．
本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理，理解“三倍角三角形”定义，并能运用是本题的关键．

22.【答案】证明：在和中

≌；

解：≌，
，
，
，
． 

【解析】根据即可推出和全等；
根据三角形全等得出，推出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

23.【答案】证明：
连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
；
解：是等边三角形，
理由如下：
垂直平分，
为中点，
，
，
，
是等边三角形． 

【解析】连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；
由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

24.【答案】解：、、、是四边形的四个内角，
，
，
，，
，
；
四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
． 

【解析】根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解；
从外角的定义考虑解答；
根据的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义等知识；整体思想的利用是解题的关键．

25.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌，
即≌；
，，
，
由知≌，
，
，
，
，
；
延长到，使得，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和题目中的条件可以找出≌的条件；
根据中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．