2023-2024学年安徽省池州十二中七年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省池州十二中七年级（下）第三次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的算术平方根是( )
A. 3B. 9C. ±3D. ±9
2.下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A. 1x+1>0B. x2≥4C. 2x+y<−3D. x+52≤1
3.北宋诗人苏轼在《前赤壁赋》中写道：“寄蜉游于天地，渺沧海之一粟.”“沧海一粟”比喻非常渺小.据测量，200粒粟的质量大约为1g.1粒粟的质量用科学记数法可表示为( )
A. 5×10−3gB. 5×10−2gC. 2×10−2gD. 2×102g
4.若把分式3x+yxy中的x和y都扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大2倍B. 不变C. 缩小为原来的12D. 缩小为原来的14
5.估计 81− 7的值在下列哪两个整数之间( )
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 无法确定
6.下列运算正确的是( )
A. 2a3⋅a4=2a12B. (−3a2)3=−9a6
C. a2÷a×1a=a2D. a⋅a3+a2⋅a2=2a4
7.若a+6=2，则代数式(b2a−a)÷a−ba的值为( )
A. −2B. −12C. 2D. 12
8.已知a−1>0，则下列结论正确的是( )
A. −1<−aC. −a<−19.A、B两地相距90千米，甲车和乙车的平均速度之比为5：3，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车迟到30分钟.若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为5x千米/小时，则所列方程是( )
A. 905x−903x=30B. 903x−905x=12C. 905x−903x=12D. 905x+903x=30
10.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为( )
A. 3B. 19C. 21D. 28
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算：|−4|−3−27= ______．
12.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是______．
13.把45b2−20分解因式的结果是______．
14.已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y．
(1)实数a的取值范围是______．
(2)关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解，那么所有符合条件的整数a的个数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.解方程：xx−1+21−x=3．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
先化简，再求值：[(2x−y)2−(2x−y)(2x+y)−4xy]÷2y，其中x=1，y=2．
17.(本小题8分)
整式3(13−m)的值为P．
(1)当m取什么值时，P的值是正数？
(2)当m取什么值时，P的取值范围如图所示？
18.(本小题8分)
已知10a=5，10b=6，求下列各式的值：
(1)10a+b；
(2)102−2a+b．
19.(本小题10分)
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为a，点B表示的数为b．
(1)求|a+1|+|b+1|的值．
(2)在数轴上，C，D两点分别表示实数c和d，且|c−5|与(d+2)2互为相反数，求2c+3d的平方根．
20.(本小题10分)
观察下面的式子，解答下列问题．
第1个式子：(x−1)÷(x−1)=1；
第2个式子：(x2−1)÷(x−1)=x+1；
第3个式子：(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；
第4个式子：(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1．
(1)你能得到(xn+1−1)÷(x−1)的结果吗？请写出结果．
(2)求22024+22023+22022+…+2+1的值．
21.(本小题12分)
阅读下面的材料，解答下列问题．
(a+b)2=a2+2ab+b2和(a−b)2=a2−2ab+b2是我们熟悉的两个乘法公式.将这两个公式变形，可得到一个新公式；ab=(a+b2)2−(a−b2)2，这个新公式形似平方差公式，我们称之为“准平方差公式”.灵活、恰当地运用这个新公式将会使一些数学问题迎刃而解．
(1)利用新公式分解因式：(ab−1)2+(a+b−2)(a+b−2ab)．
(2)已知实数a，b，c满足ab=c2+9，且a=6−b，试说明a−b．
22.(本小题12分)
有两款售价相同的汽车，信息如表所示：
(1)新能源车的每千米行驶费用是______元；(用含a的代数式表示)
(2)若然油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
23.(本小题14分)
定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.例如，x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式：①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2其中，属于“和谐分式”的是______.(填序号)(2)将“和谐分式”a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
(3)化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求当x取什么整数时，该式的值为整数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵32=9，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．
此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B.不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C.不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D.不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
本题考查了一元一次不等式的定义，能熟练掌握一元一次不等式的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等号的两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式)是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：1÷200=0.005=5×10−3，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：∵3x×2+y×2x×2×y×2=2(3x+y)4xy=12×3x+yxy，
∴把分式3x+yxy中的x和y都扩大2倍，则分式的值缩小为原来的12，
故选：C．
根据分式值的大小进行计算即可．
本题考查分式的值，分式方基本性质，掌握分式的基本性质是正确解答的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ 81=9，4<7<9，
∴2< 7<3，
∴−3<− 7<−2，
∴−3+9<9− 7<−2+9，
∴6<9− 7<7，
即：6< 81− 7<7，
∴ 81− 7的值在6和7之间，
故选：B．
首先可求出 81=9，然后根据4<7<9得2< 7<3，据此可得出−3<− 7<−2，然后根据不等式的性质可得出6<9− 7<7，据此可得出答案．
此题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，正确估算出−3<− 7<−2是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：2a3⋅a4=2a7，
故A不符合题意；
(−3a2)3=−27a6，
故B不符合题意；
a2÷a×1a=1，
故C不符合题意；
a⋅a3+a2⋅a2=2a4，
故D符合题意，
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方等运算法则依次判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：(b2a−a)÷a−ba
=b2−a2a⋅aa−b
=−(a+b)(a−b)a⋅aa−b
=−(a+b)，
∵a+6=2，
∴原式=−2．
故选：A．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a+b=2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a−1>0，
∴a>1，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1故选：B．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设甲车平均速度为5x千米/小时，则乙车平均速度为3x千米/小时，
根据题意得，903x−905x=12．
故选：B．
设甲车平均速度为5x千米/小时，则乙车平均速度为3x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间作为等量关系列方程．
10.【答案】B
【解析】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD=x，EF=y，AE=x+y=8，
所以(x+y)2=64，
所以x2+y2+2xy=64，
因为点H为AE的中点，
所以AH=EH=4，
因为图2的阴影部分面积=(x−y)2=x2+y2−2xy=6，
所以(x+y)2+(x−y)2=64+6，
所以x2+y2=35，
所以图1的阴影部分面积=x2+y2−12×4⋅x−12×4⋅y
=x2+y2−2(x+y)
=35−2×8
=19，
故选：B．
设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到(x+y)2=64，(x−y)2=6，两式相加可得x2+y2=35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
11.【答案】7
【解析】解：|−4|−3−27
=4−(−3)
=4+3
=7，
故答案为：7．
先化简各式，然后再进行计算即可解答
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：由题可知，
2x−3=0且x+2≠0，
解得x=32．
故答案为：32．
根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
13.【答案】5(3b+2)(3b−2)
【解析】解：45b2−20
=5(9b2−4)
=5(3b+2)(3b−2)．
故答案为：5(3b+2)(3b−2)．
首先提取公因式5，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
14.【答案】(1)a>−3
(2) 7
【解析】解：(1)解方程组x−y=a+32x+y=5a得x=2a+1y=a−2，
由x>y得2a+1>a−2，
解得a>−3，
故答案为：a>−3；
(2)由2x+1<2a，得：x<2a−12，
由2x−114≥37，得：x≥3.5，
因为不等式组无解，
所以2a−12≤3.5，
解得a≤4，
又a>−3，
所以−3所以符合条件的整数a有−2、−1、0、1、2、3、4，共7个，
故答案为：7．
(1)解方程组x−y=a+32x+y=5a得x=2a+1y=a−2，由x>y得2a+1>a−2，解之即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集得出关于a的不等式，解之求出a的范围，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】解：去分母得x−2=3(x−1)，
解得x=12，
检验：当x=12时，x−1≠0，则x=12是原方程的解，
所以原方程的解为x=12．
【解析】先把方程化为整式方程x−2=3(x−1)，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解分式方程：解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
16.【答案】解：[(2x−y)2−(2x−y)(2x+y)−4xy]÷2y
=(4x2−4xy+y2−4x2+y2−4xy)÷2y
=(2y2−8xy)÷2y
=y−4x，
当x=1，y=2时，原式=2−4=−2．
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3(13−m)>0，
解得m<13；
(2)由图可知，3(13−m)≤7，
解得m≥−2．
【解析】(1)根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
(2)根据P在数轴上的位置得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)10a+b=10a⋅10b=5×6=30；
(2)102−2a+b=102÷(10a)2⋅10b=100÷52×6=24．
【解析】(1)根据10a+b=10a⋅10b得出结论即可；
(2)根据102−2a+b=102÷(10a)2⋅10b得出结论即可．
本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法的计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵a<−1，b>0，
∴|a+1|+|b+1|=−a−1+b+1=b−a，
∵b=a+2，
∴原式=a+2−a=2；
(2)由题意得，|c−5|+(d+2)2=0，
∴c=5，d=−2，
∴2c+3d=2×5−3×2=4，(±2)2=4，
∴2c+3d的平方根是±2．
【解析】(1)根据a<−1，b>0，可得|a+1|+|b+1|=−a−1+b+1=b−a，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即b=a+2，因此原式=a+2−a=2；
(2)根据题意可知，|c−5|+(d+2)2=0，可得c=5，d=−2，因此2c+3d=2×5−3×2=4，(±2)2=4，即可得出结果．
本题考查的是实数与数轴，非负数与平方根，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据式子中的规律，可得(xn+1−1)÷(x−1)=xn+xn−1+⋯+x+1；
(2)22024+22023+22022+⋯+2+1
=(22025−1)÷(2−1)
=22025−1．
【解析】(1)从数字找规律，即可解答；
(2)利用(1)的结论进行计算，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，整式的除法，从数字找规律是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=(ab−1)2+[(a+b−2)+(a+b−2ab)2]2−[(a+b−2)−(a+b−2ab)2]2
=(ab−1)2+(a+b−ab−1)2−(ab−1)2
=[(a−1)(b−1)]2
=(a−1)2(b−1)2；
(2)∵a=6−b，∴a+b=6，而ab=c2+9，
∴(a+b2)2−(a−b2)2=c2+9，
∴9−(a−b2)2=c2+9，
∴(a−b2)2+c2=0，
∴a−b2=c=0，
∴a−b=0．
【解析】(1)根据“准平方差公式”的定义进行计算即可；
(2)
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征，理解“准平方差公式”的定义是正确解答的关键．
22.【答案】48a 48a
【解析】解：(1)根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：80×0.6a=48a，
故答案为：48a；
(2)①50×7.2a−80×0.6a=0.52，
解得a=600，
经检验，a=600是原方程得解，
50×7.2600=0.6，80×0.6600=0.08，
∴燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.08元．
②设每年行驶的里程为m千米，
由题意得0.6m+4600>0.08m+7200，
解得m>5000，
∴当每年的行项里程超过5000千米时新能漂车的年费用更低．
(1)根据表中数据，每千米行驶费用=电池电量×电价÷续航里程，即可求解；
(2)①由题意可得，由燃油车的每千米行驶费用−新能源车每千米行驶费用=0.52即可求解；②设每年行驶里程为m千米，新能源车的年费用更低，根据题意可列出关于m的不等式，求解即可．
本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
23.【答案】①③④
【解析】解：(1)①x+1x=1+1x；
②2+x2不是分式；
③x+2x+1=1+1x+1；
④y2+1y2=1+1y2，
属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
(2)a2−2a+3a−1
=(a−1)2+2a−1
=(a−1)2a−1+2a−1
=a−1+2a−1；
(3)原式=3x+6x+1−x−1x⋅x(x+2)(x+1)(x−1)
=3x+6x+1−x+2x+1
=2x+4x+1
=2(x+1)+2x+1
=2+2x+1，
∵该式的值为整数，
∴x+1=±1，±2，
解得x=0或−2或1或−3，
又x≠0，1，−1，−2，
∴x=−3，
即当x=−3时，该式的值为整数．
(1)根据“和谐分式”的定义解答即可；
(2)根据“和谐分式”的定义把分式化简即可；
(3)根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键．燃油车
油箱容积：50升
油价：7.2元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：50×7.2a元
新能源车
电池容量：80千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：______元