2023-2024学年安徽省合肥四十二中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年安徽省合肥四十二中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算中，正确的是( )
A. 9=±3B. 3−8=2C. |−4|=2D. (−8)2=−8
2.已知a>b.下列不等式变形正确的是( )
A. a+13.下列运算正确的是( )
A. x2+x2=x4B. (2x2)3=6x6C. 4x6+2x2=2x3D. x⋅x3=x4
4.估计5− 3的值应在( )
A. 3和4之间B. 2和3之间C. 4和5之间D. −1和2之间
5.将不等式组x−1>0x−3≤0的解集在数轴上表示出来正确的是( )
A. B.
C. D.
6.计算(−54)2023×(−0.8)2024=( )
A. −1B. 1C. −1.25D. −0.8
7.若(x2−mx+2)(2x+1)的积中x的二次项系数和一次项系数相等，则m的值为( )
A. 0B. −1C. −2D. −3
8.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为( )
A. − 5B. 1− 5C. −1− 52D. 32− 5
9.已知实数x，y，z满足x+y=4，x−z=7.若x≥−2y，则x+y+z的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.若关于x的不等式组−2(x−2)−x<2k−x2≥−12+x有3个整数解，且关于y的一元一次方程3(y−1)−2(y−k)=15的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为( )
A. 18B. 19C. 20D. 21
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.某微生物的直径为0.00004035m，0.00004035用科学记数法表示为______．
12.比较大小： 5−12______0.5．
13.若4x2+kx+25是一个完全平方式，则k=______．
14.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为{x}，即：当n为非负整数时，如果n−12(1)如果{2x+1}=3，则x的取值范围为______；
(2)如果{x}=32x，则x= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(12)−1− 2+20240−327．
16.(本小题8分)
解不等式：x+12−3x−14<1．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+y)(2x−y)−(x−3y)2，其中x=−2，y=1．
18.(本小题8分)
已知5a−2的立方根是2，6a+b−1的算术平方根是4，c是 17的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求5a−b+c的平方根．
19.(本小题10分)
【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
(1)【验证】(3+1)2−(3−1)2= ______；
(2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确；
(3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
20.(本小题10分)
对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)由图2可以得到：______；
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，则a2+b2+c2的值为______；
②若实数x，y，z满足8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，求6xy−3xz−2yz的值．
21.(本小题12分)
已知方程组x+y=7−2mx−2y=1+m的解满足x为非负数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：|m−5|+|m−2|= ______；
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式mx+4<4x+m的解集为x>1？
22.(本小题12分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2．
(1)S1= ______；S2= ______(用含a、b的式子表示S1、S2)；
(2)若a+b=8，ab=10，求S1+S2；
(3)若图3中阴影部分的面积S3=9.5，a+b=8，求a−b的值．
23.(本小题14分)
某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和一辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
(2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
(3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解；A、9的算术平方根是3，故A错误；
B、−8的立方根是−2，故B错误；
C、|−4|=4，4的算术平方根是2，故C正确；
D、算术平方根都是非负数，故D错误；
故选：C．
根据开方运算，可得算术平方根、立方根．
本题考查了立方根，负数的立方根是负数．
2.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴a+1>b+1，
∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴−3a<−3b，
∴选项B符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a−3>2b−3，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据a>b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意；
B、(2x2)3=8x6，故B不符合题意；
C、4x6与2x2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、x⋅x3=x4，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】A
【解析】解：∵ 1< 3< 4，
∴1< 3<2，
∴−2<− 3<−1，
∴5−2<5− 3<5−1，
∴3<5− 3<4，
故选：A．
根据 3的取值范围，求出5− 3的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握 3的取值范围是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：x−1>0 ①x−3≤0 ②，
解①得x>1，
解②得x≤3．
则不等式组的解集为1将其解集在数轴上表示出来为：
故选：B．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6.【答案】D
【解析】解：原式=(−54)2023×(45)2023×45
=(−54×45)2023×45
=−45
=−0.8．
故选：D．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：(x2−mx+2)(2x+1)，
=2x3−2mx2+4x+x2−mx+2，
=2x3+(−2m+1)x2+(4−m)x+2，
∵积中x的二次项系数和一次项系数相等，
∴−2m+1=4−m，
解得m=−3．
故选：D．
先将(x2−mx+2)(2x+1)展开，根据积中x的二次项系数和一次项系数相等，列出方程求解即可．
本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式的系数的定义及解一元一次方程．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD=AE= 5，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】
解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD=AE，
∴AD=AE= 5，
∵点A表示的数是1，且点E在点A左侧，
∴点E表示的数为：1− 5．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：设x+y+z=t，
∵x−z=7，
∴z=x−7，
∵x+y=4，
∴t=4+x−7=x−3，
∴x=t+3，
∵x≥−2y，
即x≥−2(4−x)，
∴x≤8，
∴t+3≤8，
解得t≤5，
∴x+y+z的最大值为5．
故选：C．
设x+y+z=t，用x表示z得到z=x−7，则t=3+x−7=x−4，所以x=t+4，再利用x≥−2y，y=4−x得到x≥−2(4−x)，解不等式得到x≤8，所以t+3≤8，然后解不等式得到t的最大值即可．
本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．
10.【答案】B
【解析】解：由−2(x−2)−x<2得：x>23，
由k−x2≥−12+x得：x≤k+13，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2、3，
∴3≤k+13<4，
解得8≤k<11，
解3(y−1)−2(y−k)=15得y=18−2k，
由题意知18−2k≤0，
解得k≥9，
∴9≤k<11，
则符合条件的所有整数k的和为9+10=19，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的情况求出k的第一个范围，再解关于y的方程，根据其解的情况列出关于k的不等式，解之求出k的第二个范围，从而得出k的最终范围，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
11.【答案】4.035×10−5
【解析】解：0.00004035=4.035×10−5，
故答案为：4.035×10−5．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：∵0.5=12，2< 5<3，
∴ 5−1>1，
∴ 5−12>0.5
故答案为：>．
首先把0.5变为12，然后估算 5的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
此题主要考查了实数的大小比较．此题应把0.5变形为分数，然后根据无理数的整数部分再来比较即可解决问题．
13.【答案】±20
【解析】解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25=(2x±5)²=4x2±20x+25
∴k=±20．
故答案为：±20．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】34【解析】解：(1)∵{2x+1}=3，
∴3−12<2x+1<3+12，
解得34故答案为：34(2)∵{x}=32x，
∴32x−12解得x=0，
故答案为：0．
(1)根据题意可以得到3−12<2x+1<3+12，然后求解即可；
(2)根据题意可以得到32x−12本题考查近似数和有效数字、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
15.【答案】解：原式=2− 2+1−3=− 2．
【解析】利用负整数指数幂，零指数幂及立方根的定义计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：x+12−3x−14<1，
去分母，得：2(x+1)−(3x−1)<4，
去括号，得：2x+2−3x+1<4，
移项，得：2x−3x<4−2−1，
合并，得：−x<1，
系数化为1，得：x>−1．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得其解集．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】解：(2x+y)(2x−y)−(x−3y)2
=4x2−y2−(x2−6xy+9y2)
=3x2+6xy−10y2，
当x=2，y=1时，
原式=3×(−2)+6×(−2)×1−10×12
=12−12−10
=−10．
【解析】根据平方差公式与完全平方公式化简，然后将字母的值代入计算即可求解．
本题考查了平方差公式与完全平方公式，整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵5a−2的立方根是2，6a+b−1的算术平方根是4，
∴5a−2=8①6a+b−1=16②，
由①得：a=2，
把a=2代入②得：b=5，
∵ 16< 17< 25，即4< 17<5，
∴ 17的整数部分c=4；
(2)由(1)可知：a=2，b=5，c=4，
∴5a−b+c
=5×2−5+4
=10−5+4
=9，
∵9的平方根是±3，
∴5a−b+c的平方根是±3．
【解析】(1)根据已知条件和平方根、立方根的定义，列出关于a，b的方程组，求出a，b，再估算 17的大小，求出它的整数部分c即可；
(2)把(1)中所求a，b，c代入5a−b+c，求出其平方根即可．
本题主要考查了平方根、立方根和无理数的估算，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
19.【答案】12
【解析】解：(1)(3+1)2−(3−1)2
=(3+1+3−1)(3+1−3+1)
=6×2
=12，
故答案为：12；
(2)设两个正整数为m、n，
则(m+n)2−(m−n)2
=(m+n+m−n)(m+n−m+n)
=2m×2n
=4mn，
∴(m+n)2−(m−n)2能被4整除，
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确．
(3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2，
∴mn=(m+n2)2−(m−n2)2，
∵正整数m、n同为偶数或同为奇数，
∴m+n，m−n同为偶数，
∴m+n2，m−n2都是整数，
∴mn可以表示为两个整数的平方差．
(1)根据平方差公式计算即可；
(2)设两个正整数为m、n，则计算(m+n)2−(m−n)2并验证结论即可；
(3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2，可得mn=(m+n2)2−(m−n2)2，根据偶数和奇数的知识，可知m+n2，m−n2都是整数，从而得mn可以表示为两个整数的平方差．
本题考查的是因式分解的应用和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
20.【答案】(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc 45
【解析】解：(1)由图2可知，(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc，
故答案为：(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc；
(2)①根据(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc，a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
可得：a2+b2+c2
=(a+b+c)2−2(ac+ab+bc)
=112−2×38
=121−76
=45，
故答案为：45；
②∵8x×4y÷2z=4，
∴23x×22y÷2z=22，
∴23x+2y−z=22，
∴3x+2y−z=2，
∵9x2+4y2+z2=44，
∴(3x)2+(2y)2+z2=44，
∴(3x+2y−z)2=(3x)2+(2y)2+z2+6xy−3xz−2yz，
∴6xy−3xz−2yz
=(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2
=4−44
=−40．
(1)根据长方形和正方形的面积公式计算即可；
(2)①根据(1)中的(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc公式变形计算即可；
②根据8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，可知3x+2y−z=2，(3x)2+(2y)2+z2=44，则6xy−3xz−2yz=(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2，代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘和完全平方公式的几何意义，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
21.【答案】3
【解析】解：(1)解方程组得x=5−my=2−m，
由题意知5−m≥02−m<0，
解得2(2)|m−5|+|m−2|
=(5−m)+(m−2)
=5−m+m−2
=3；
故答案为：3；
(3)由mx+4<4x+m得(m−4)x∵不等式的解集为x>1，
∴m−4<0，
解得m<4，
则2∴符合条件的整数m的值为3．
(1)解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得；
(2)由m的取值范围，结合绝对值的性质化简可得；
(3)先根据不等式的性质得出m−4<0，解得m<4，结合以上求出m的范围可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】a2−b2 2b2−ab
【解析】解：(1)由图得S1=a2−b2；
S2=b2+b2−ab=2b2−ab．
故答案为：a2−b2，2b2−ab．
(2)S1+S2
=a2−b2+2b2−ab
=a2+b2−ab
=(a+b)2−3ab
=82−3×10
=34．
(3)S3=a2+b2−12a2−12b(a+b)=12a2+12b2−12ab=12(a2+b2−ab)=12(a+b)2−32ab，
∵S3=9.5，
∴12(a+b)2−32ab=9.5，
∴12×82−32ab=9.5，
∴ab=15，
∵(a−b)2=(a+b)2−4ab=82−4×15=4，
又a>b，
∴a−b=2．
(1)由图得S1=a2−b2，S2=b2+b2−ab=2b2−ab．
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，再计算即可．
(3)S3=12(a+b)2−32ab=9.5，故ab=15，由(a−b)2=(a+b)2−4ab=82−4×15=24，得a−b=2．
本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式是解题关键．
23.【答案】解：(1)设甲、乙两种型号的客车每辆各有x，y个座位，
根据题意得：x+2y=1652x+y=150，
解得：x=45y=60，
答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生；
(2)设甲型客车m辆，乙型客车n辆，
由题意可知45m+60n=450，
整理，得：3m+4n=30，
所以n=30−3m4，
因为m，n都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即n>m，
所以m=2，n=6，
答：甲型客车2辆、乙型客车6辆；
(3)结合(2)可知m=2，n=6；m=6，n=3；
当m=2，n=6时，
200×2+250×6=1900<2000；
当m=6，n=3时，
200×6+250×3=1950<2000．
又因为1900<1950，
所以最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
【解析】(1)设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
(2)根据题意可列出关于m，n的二元一次方程结合m，n都为正整数，n>m求解即可
(3)结合(2)可得出有两种租车方案分别为当m=2，n=6时和当m=6，n=3时，再分别计算出所需租金比较即可．
本题考香二元一次方程和二元一次方程组的实际应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．

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