安徽省池州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题

这是一份安徽省池州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
2. 安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．利用2023年人均 年人均年平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
根据题意得出且，求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
故选：．
4. 一个多边形的内角和与它的外角和的和为，则这个多边形的边数为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．
设这个多边形的边数为n，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则依题意可得，
解得，
所以这个多边形是十边形．
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
6. 如图，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（ ）
A B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据尺规作图可知，平分，进而得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据尺规作图可知，平分
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键是根据尺规作图得到，平分．
7. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据作图可知，垂直平分，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
8. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（ ）

A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据斜中半定理可求出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴
∵点M，N分别是边中点，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：D
【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、斜中半定理、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键．
9. 勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书(周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为( )

A. 120B. 110C. 100D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∵∠BAC=∠BOF,
∠ACB=∠OBF,
BC=BF,，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解．
【详解】解：延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为．
最小值为．
，
．
在中，，，
．
最小值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
12. 如图，在中，的平分线交的延长线于点．若，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，所以．由平分得，由平行线的性质得，运用等量代换得，从而得到为等腰三角形，得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13. 已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查无理数的整数部分、勾股定理等知识，由题中条件，分别得到、，分类讨论，利用勾股定理求出以为两边的直角三角形的第三边的长度即可，熟记无理数估算及勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：是的整数部分，，
，
，，
，即，
其中是整数，，，
，
当为直角三角形的两直角边时，第三边长为；
当为直角三角形的直角边、为直角三角形的斜边时，第三边长为；
综上所述，以为两边的直角三角形的第三边的长度是或，
故答案为：或．
14. 如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接．
（1）若，则的度数是______；
（2）连接，则与之间的位置关系是______．
【答案】 ①. 32° ②. AH垂直平分DG（AH是DG的垂直平分线）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，难度较大，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本图形的证明和结论．
连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，从而求出，也由等腰三角形性质证得．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为．
（2）如图，连接，
同理可得：，
，
，
垂直平分（AH是DG的垂直平分线）．
故答案为：垂直平分（AH是DG的垂直平分线）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的除法及乘法进行计算，合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减及混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
【小问1详解】
解：原式；
小问2详解】
解：原式．
16. 解下列方程．
（1）．
（2）．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解题的关键．
（1）用直接开平方法解方程；
（2）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程．
【小问1详解】
解：
或
解得；
【小问2详解】
解：
因式分解，得
或
解得；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知．
（1）求的值．
（2）若为的整数部分，为的小数部分，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的加减，平方差公式，无理数的估算，分母有理数，
（1）首先求出，，然后利用平方差公式求解即可；
（2）首先利用无理数的估算求出，，然后代入求解即可．
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
∵
∵
∴
∴
∴即，
为的整数部分，
，
即
为的小数部分，
18. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114（cm2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【小问1详解】
解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
【小问2详解】
解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
（2）若该方程的两个根分别为，当时，求的值．
【答案】（1）且；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据题意得到，，进而求解即可；
（2）首先得到方程，然后利用根与系数关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可．
【小问1详解】
由题意得，该方程有两个不相等的实数根
，即，
解得，
则的取值范围为且；
【小问2详解】
当时，，
，
．
20. 如图，为上一点，，，，，交于点，且．
（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；
（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）．理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
（1）根据证明，可得答案；
（2）根据，可得答案．
【小问1详解】
解：．
理由如下：
如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
．
，．
又，
．
【小问2详解】
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
图1 图2
（1）如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
（2）如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【答案】（1）2cm （2）不能，详见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解；
（2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【小问1详解】
解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形，
根据题意得，
整理得：，
解得（不合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为．
【小问2详解】
（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
理由如下：
设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为，
根据题意得，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
，
折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为，
，
不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
七、（本题满分12分）
22. 在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）①求证：；②若，求的长．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由菱形性质得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，再由直角三角形两锐角互余即可得到答案；
（2）①由菱形性质，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质即可得到；②过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，设，在等腰直角三角形与中应用勾股定理列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：①四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
②过点作于点，如图所示：
四边形是菱形，
平分，
又，
，
设，
，
与均为等腰直角三角形，
，，
，
，解得，
．
【点睛】本题考查菱形综合，涉及菱性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线性质和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握几何图形的判定与性质并灵活运用是解决问题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点．
（1）求证：．
（2）①______；
②求证：．
（3）求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）①15°；②详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出；
（2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分；
（3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
①；
故答案为：；
②证明：
，即，
垂直平分，
即．
【小问3详解】
设，由勾股定理得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．