2024年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算−1▢1=0，则“▢”表示的运算符号是( )
A. +B. −C. ×D. ÷
2.如图，将△ABC折叠，使点C边落在BC边上，展开得到折痕m，则m是△ABC的( )
A. 中线
B. 中位线
C. 角平分线
D. 高线
3.若代数式2m与3−m的值相同，则m等于( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1C. x<1D. x≤1
5.如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的
( )
A. 北偏东44°方向B. 北偏东54°方向C. 南偏西54°方向D. 南偏西90°方向
6.如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“
”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角；顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→c，则正确的是( )
A. ①②B. 仅③C. 仅①D. ②③
8.用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A. S1=S2>S3
B. S1=S2C. S1>S2>S3
D. S1>S2=S3
9.若□x+y÷xy2−x2运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是( )
A. y−xB. y+xC. 2xD. 1x
10.如图，正六边形ABCDEF中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为( )
A. 2：1
B. 3：1
C. 4：1
D. 5：1
11.如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1.现将该细铁丝围成一个三角形(如图2所示)，则AB的长可能为( )
A. 1.5
B. 2.0
C. 2.5
D. 3.0
12.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象有交点，则下列结论一定正确的是( )
A. k1k2<0B. k1k2>0C. k1+k2<0D. AB⊥
13.若m<−2，则一次函数y=(m+1)x+1−m的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
14.在△ABC中，要判断∠B和∠C的大小关系(∠B和∠C均为锐角)，同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案(如图1和图2)对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是( )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都可行D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
15.某轮滑队所有队员的年龄只有12、13、14、15、16(岁)五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数m最小是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
16.如图，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠B=120°，P为对角线AC上的一个动点，过点P作AC的垂线，交AD或CD于点E，交AB或BC于点F，点P从点A出发以 3cm/s的速度向终点C运动，设运动时间为t(s)，以EF为折线将菱形ABCD向右折叠，若重合部分面积为4 3cm2，求t的值，对于其答案，甲答：t=2，乙答：t=3，丙答：t=4，则正确的是( )
A. 只有甲答的对B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、丙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.计算： 9= ______．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P为直线AB上一动点，连接PC．
(1)cs∠BAC= ______；
(2)线段PC的最小值是______．
19.如图，A、B是双曲线y=kx上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E.若△ADO的面积为1，D为OB的中点．
(1)四边形DCEB的面积为______；
(2)若A、B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
20.琪琪和佳佳计算算式“4+6−11−2”．
(1)琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“−”，求此时的运算结果；
(2)佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值．
四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题9分)
老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分看不清楚了．
(1)计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功；
(2)嘉琪发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式．
22.(本小题9分)
某校为积极落实“双减”政策，组织学生参加多种社团活动，为了解学生参加社团情况，现选取一个班的社团活动情况进行调查，绘制了两幅统计图，其中条形图不完整．
(1)所抽查的班级共有____人参加课外活动，参加绘画课活动的学生人数为____人．
(2)请把条形统计图补充完整．
(3)该班参加象棋活动的4位同学中，有2位男生(用A、B表示)和2位女生(用C，D表示)，现准备从中选取两名同学去参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
23.(本小题10分)
等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD=PC．

(1)如图1，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，DE．
①求证：BP//DE；
②若BP⊥AC，求∠AED的度数；
(2)如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP=1，则AD= ______．
24.(本小题10分)
如图1，电脑屏幕显示了甲、乙、丙在一条直线上，点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙，点B从乙出发，沿直线匀速到甲，且A点每秒比B点少运动20个单位长度；图2表示A、B两点到乙的距离(单位长度)y与A点的运动时间t(s)的函数关系．
(1)A的速度为______单位长度/秒，B的速度为______单位长度/秒，甲、丙两点的距离是______单位长度．
(2)求直线MN的函数关系式．
(3)若A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，求t的值．
25.(本小题12分)
如图①，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把AB绕点B顺时针旋转α(0°<α<180°)得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点.(参考数据：sin37°=35，cs37°=45，tan37°=34)
(1)△ABA′面积的最大值是______；
(2)当AF=4.5时，求点A运动的路径长；
(3)当点A′落在AB的垂直平分线上时，点A′到直线CD的距离是______；
(4)若DF=2，求tan∠ECB的值．
26.(本小题13分)
直线：l：y1=ax+a(a≠0)，与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线L：y2=ax2+bx−3a(a≠0)，经过点A，且与x轴的另一个交点为点C．
(1)若a=1，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点C坐标；
(2)在直线l与抛物线L围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在(l)的条件下，“神秘点”的个数；
(3)①直线l与x轴的交点A的坐标会变吗？说明理由；
②若抛物线L与直线y=5在0≤x≤6的范围内有唯一公共点，请直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−1+1=0，
∴“▢”表示的运算符号是“+”，
故选：A．
根据−1▢1=0和−1+1=0，即可得到“▢”表示的运算符号，本题得以解决．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2.【答案】D
【解析】解：如图所示，
折叠后使点C边落在BC边上点E处，
∵C，B，E三点共线，AE=AC，DE=DC，
∴AD⊥EC，
即m是△ABC的高线，
故选：D．
根据折叠后使点C边落在BC边上，AE=AC，DE=DC，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了折叠的性质，三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵代数式2m与3−m的值相同，
.∴.2m=3−m，
移项得2m+m=3，
合并同类项得，3m=3，
系数化成1得：m=1，
故选：C．
根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：过点B作BD/​/AF，
∴∠DBA=∠BAF=36°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABC−∠DBA=54°，
∵CE/​/AF，
∴CE/​/BD，
∴∠ECB=∠CBD=54°，
∴B地在C地的北偏东54°方向，
故选：B．
过点B作BD/​/AF，根据平行线的性质可得∠DBA=36°，再利用垂直定义可得∠ABC=90°，从而求出∠CBD=54°，然后再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵本题答案为2，
∴a−n=2，
又∵a=6，
∴n=4，
∵60000=6×104，
∴破损处“0”的个数为3．
故选：B．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】A
【解析】解：①添加两组对边分别相等得出是平行四边形，再添加一组邻边相等得出是菱形，最后添加一个角是直角得出是正方形，说法正确；
②添加一组对边平行且相等得出是平行四边形，再添加一个角是直角得出是矩形，最后添加一组邻边相等得出是正方形，说法正确；
③添加两组对边分别相等得出平行四边形，添加一组对边平行且相等还是平行四边形，添加一组邻边相等得出是菱形，说法错误；
故选：A．
根据正方形的判定解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据正方形的判定方法解答．
8.【答案】A
【解析】解：设小正方体的棱长为1，
主视图：底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形，故主视图的面积为5；
左视图：底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故左视图的面积为4；
俯视图：底层左边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层是一个小正方形，故俯视图的面积为5．
所以S1=S2>S3，
故选：A．
根据三视图的面积的大小关系求解即可．
此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
9.【答案】C
【解析】解：□x+y÷xy2−x2=口x+y⋅−(x−y)(x+y)x=−□(x−y)x，
∵运算的结果为整式，
∴“□”中的式子可能是含x的单项式．
2x符合题意．
故选：C．
本题考查分式的乘除，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“□”中的式子可能是含x的单项式．
根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
10.【答案】A
【解析】解：连接AD，作FP⊥AD于点P，EQ⊥AD于点Q，
∵正六边形各内角为120°，
∴∠EAP=60°，
设各边长为a，则AF=a，
∴AP=QD=12a，
∴AD=2a，FP= AF2−AP2= a2−(12a)2= 32a，
∴S四边形AMDN=AD⋅FP=2a× 32a= 3a2，
S正六边形=3 32a2，
∴S阴影=S正六边形−S四边形AMDN=3 32a2− 3a2= 32a2，
∴空白部分面积和阴影部分面积的比值为： 3a2 32a2=2：1．
故选：A．
连接AD，作FP⊥AD于点P，EQ⊥AD于点Q，由正六边形的性质可得∠EAP=60°，设各边长为a，则AF=a，然后利用勾股定理及面积公式可得答案．
此题考查的是正多边形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为1+1+1+1=4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
先根据正方形的性质求出铁丝的总长度，再根据三角形三边关系判断即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象有公共点，
∴k1、k2同号，
∴k1k2>0．
故选：B．
根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
若m<−2，则m+1<−1<0，1−m>3>0，
所以该一次函数不经过第三象限．
故选：C．
根据一次函数的图象与系数的关系分析即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
14.【答案】C
【解析】解：方案Ⅰ：
由作图可知：AB=AP，
∴∠B=∠APB，
∵∠APB=∠C+∠PAC，
∴∠APB>∠C，
∴∠B>∠C，
故方案Ⅰ可行，符合题意；
方案Ⅱ：
∵EF垂直平分BC，
∴BQ=CQ，
∴∠C=∠QBC，
∵∠ABC>∠QBC，
∴∠ABC>∠C，
故方案Ⅱ可行，符合题意；
故选：C．
根据作图得出AB=AP，根等边对等角得出∠B=∠APB，根据∠APB=∠C+∠PAC即可判断方案Ⅰ；根据垂直平分线的性质可得BQ=CQ，则∠C=∠QBC，根据∠ABC>∠QBC即可判断方案Ⅱ．
本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；垂直平分线上的点到两端距离相等．
15.【答案】D
【解析】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人，
∴这组数据的中位数为14，
∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
∴众数是14，即年龄为14的人最多，
∴14岁的队员最少有4人．
故选：D．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
16.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD交AC于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=BC=AB=6，
BD⊥AC，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠DAC=12(180°−∠ADC)=30°，
在Rt△AGD中，DG=12AD=3，
∴AG= 3DG=3 3，
∵DA=DC，BD⊥AC，
∴AC=2AG=6 3，
由题意可知，
AP= 3t(0≤t≤6)，
如图所示，重合部分
S△EFA=S△EFA′=4 3，
在Rt△APE中，EF⊥AC，∠DAC=30°，
∴EP=AP 3=t，
∵∠DAB=180°−∠B=60°，EF⊥AC，
∴△EFA为等边三角形，
∴EF=2EP=2t，
∴S△EFA=S△EFA′=12EF⋅AP=12×2t× 3t=4 3(0≤t≤6)，
∴t=2，
如图所示，重合部分：
S△EFC=4 3，
在Rt△CPE中，EF⊥AC，∠DCA=30°，CP=AC−AP=6 3− 3t，
∴EP=CP 3=6−t，
∵∠DCB=180°−∠B=60°，EF⊥AC，
∴△EFC为等边三角形，
∴EF=2EP=12−2t，
∴S△EFC=12EF⋅CP=(12−2t)×(6 3− 3t)=4 3(0≤t≤6)，
∴t=4，
∴t=4或t=2，即甲、丙答案合在一起才完整．
故答案选：C．
由菱形的性质推出∠DAC的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形AGD、APE、CPE以及等边三角形EFA、EFC，利用面积公式进而列出有关时间t的一元二次方程，通过解方程求出t．
本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定．是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点．本题的综合能力较强．
17.【答案】3
【解析】解： 9=3．
故答案为：3．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
18.【答案】35 4.8
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴cs∠BAC=ACAB=610=35，
故答案为：35；
(2)当CP⊥AB时，线段PC取得最小值，
∵CP⊥AB，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AC⋅BC2=AB⋅CP2，
即6×82=10CP2，
解得CP=4.8，
故答案为：4.8．
(1)根据勾股定理可以求得AB的长，然后即可求得cs∠BAC的值；
(2)根据题意可知：当CP⊥AB时，线段PC取得最小值，然后根据等面积法即可求得线段PC的最小值．
本题考查解直角三角形、垂直线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】1 16 7373
【解析】解：(1)∵点A、B在反比例函数图象上，
∴S△AOC=S△BOE，
∴S△AOD=S梯形DCEB=1，
故答案为：1；
(2)∵AC//BE，且点D为OB的中点，
∴CD为△OBE的中位线，
∴S△DOCS△BOE=14，
∴S△OCDS四边形BDCE=13，
∵S梯形DCEB=1，
∴S△OCD=13，
∴S△BOE=43，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=83，
∴反比例函数解析式为：y=83x，
∵x2−3x+2=0，
∴x1=1，x2=2，
∴A(1,83)，B(2,43)，
OA= 12+(83)2= 733，
连接AE，设点A到OA的距离为h，
∴S△OAE=2S△ACO=12×AO×h=83，
解得h=16 7373，即点E到直线OA的距离为16 7373．
故答案为：16 7373．
(1)根据反比例函数k值几何意义解答即可；
(2)利用S梯形DCEB=1，求出S△OBE，继而求出反比例函数k值，利用三角形AOE面积等于2倍三角形OAC面积列出方程S△OAE=2S△ACO=12×AO×h=83，
求出点E到直线OA的距离即可．
本题考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．
20.【答案】解：(1)4−6−11−2
=−2−11−2
=−13−2
=−15；
(2)设佳佳所抄数字为x，根据题意可得：
4+6−x−2≤7，
解得x≥1．
∴佳佳所抄数字的最小值为1．
【解析】(1)把运算符号“+”错看成了“−”，根据有理数的减法法则计算即可求解；
(2)设佳佳所抄数字为x，根据题意可得：4+6−x−2≤7，解不等式求解即可．
本题考查有理数的加减混合计算，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握有理数的加减混合运算法则．
21.【答案】解：(1)根据题意得：(2x2−3x−1)−(x2−2x+3)=2x2−3x−1−x2+2x−3=x2−x−4，
而丙漏出的常数项为2，所以甲代数式减乙代数式不可能等于丙，
故甲减乙不能使实验成功；
(2)根据题意得：丙表示的代数式为(2x2−3x−1)+(x2−2x+3)
=2x2−3x−1+x2−2x+3=3x2−5x+2．
【解析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)根据题意列出关系式，去括号合并后即可作出判断；
(2)根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出丙．
22.【答案】40 7
【解析】解：(1)所抽查的班级参加课外活动的人数为10÷25%=40(人)，
参加绘画课活动的学生人数为40×17.5%=7(人)，
故答案为：40、7；
(2)书法人数为40−(12+10+4+7)=7(人)，
补全图形如下：
(3)列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选中一男一女的有8种结果，
∴恰好选中一男一女的概率为812=23．
(1)由五子棋人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以绘画对应百分比可得其人数；
(2)根据五个类别人数之和等于总人数求出书法人数，继而补全图形；
(3)根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】 11
【解析】(1)①证明：在△DEC和△PBC中，
CD=PC∠DCE=∠PCBCE=BC，
∴△DEC≌△PBC(SAS)，
∴∠DEC=∠PBC，
∴BP//DE；
②解：延长AC交ED的延长线于F，如图1所示：

∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
又∵CE=BC，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠CEA=30°，
由①可知：BP//DE，
∵BP⊥AC，
∴DE⊥AC，即∠F=90°，
又∵∠ECF=∠ACB=60°，
∴∠CED=90°−∠ECF=30°，
∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°；
(2)延长BC到E是CE=BC，连接AE，DE，如图2所示：
由(1)②可知：∠CAE=30°，
∵△ABC为等边三角形，且边长为2，
∴AB=BC=AC=CE=2，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，BE=BC+CE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= BE2−AB2=2 3，
由(1)①可知：△DEC≌△PBC，
∴BP=DE=1，
又∵BP⊥AD，BP//DE，
∴DE⊥AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD= AE2−DE2= 11．
故答案为： 11．
(1)①证明△DEC和△PBC全等得∠DEC=∠PBC，再根据平行线的判定可得出结论；
②延长AC交ED的延长线于F，根据等边三角形性质得BC=AC，∠ACB=60°，进而可求出∠CAE=∠CEA=30°，再由①BP//DE，BP⊥AC得DE⊥AC，由此得∠CED=30°，据此可得∠AED的度数；
(2)延长BC到E是CE=BC，连接AE，DE，先求出∠BAE=90°，BE=4，由勾股定理得AE=2 3，根据△DEC≌△PBC得BP=DE=1，再根据BP⊥AD，BP//DE得DE⊥AD，然后由勾股定理即可求出AD的长．
此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
24.【答案】60 80 600
【解析】解：(1)根据图象，A的速度为480÷8=60(单位长度/s)，
B的速度为60+20=80(单位长度/s)，
甲、丙两点的距离是60×10=600(单位长度)．
故答案为：60，80，600．
(2)设直线MN的函数关系式为y=kt+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(4,0)和(10,480)分别代入y=kt+b，
得4k+b=010k+b=480，
解得k=80b=−320，
∴直线MN的函数关系式为y=80t−320(4≤t≤10)．
(3)当点A从甲到乙的过程中，根据“点A与乙的距离=甲乙之间的距离−点A运动的路程”，得点A到乙的距离y与A点的运动时间t的函数关系式为y=480−60t=−60t+480(0≤t<8)；
当点A从乙到丙的过程中，根据“路程=速度×时间”，得点A到乙的距离y与A点的运动时间t的函数关系式为y=60(t−8)=60t−480(8≤t≤10)；
∴点A到乙的距离y与A点的运动时间t的函数关系式为y=−60t+480(0≤t<8)60t−480(8≤t≤10)．
当0≤t<4时，得−60t+480=300，解得t=3；
当4≤t<8时，得−60t+480+80t−320=300，解得t=7；
当8≤t≤10时，得60t−480+80t−320=300，解得t=557(舍去)．
综上，当t=3或7时，A、B两点到乙的距离和为300个单位长度．
(1)根据“速度=路程÷时间”求出A的速度，根据A、B的速度关系求出B的速度，再根据“甲、丙两点的距离=A的速度×A从甲到丙所用的时间”求出甲、丙两点的距离即可；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)由路程、时间、速度之间的关系，求出点A到乙的距离y与A点的运动时间t的函数关系式，根据A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，按照t不同的取值范围分别列方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求函数表达式及时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
25.【答案】18 8−3 3
【解析】解：(1)如图所示，A′B的运动轨迹，过点A′作A′G⊥AB，
由图可知，当A′B落在边BC上时，A′G最长，即△ABA′面积最大，此时A′G=AB，
∵AB=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∴此时△ABA′是等腰直角三角形，A′G=6，
∴S△ABA′=12×AB×A′G=12×6×6=18．
故答案为：18；
(2)当AF=4.5时，点F在AD边上，
∵ABCD是矩形，
∴∠BAF=90°，
∴tan∠ABF=AFAB=4.56=34，
∴∠ABF=37°，
∴∠A′BA=74°，
∴点A运动的路径长是：l=74π×6180=3715π；
(3)点A′落在AB的垂直平分线上，如图所示，
∵AB=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∵点A′落在AB的垂直平分线上，
∴BJ=3，
∴A′J= A′B2−BJ2= 62−32=3 3，
∵AD=8，
∴JK=AD=8，
∴A′K=JK−A′J=8−3 3．
即点A′到直线CD的距离是8−3 3．
故答案为：8−3 3；
(4)解：①当点F在AD上时，如图所示，
∵BC=8，AB=6，DF=2，
∴AF=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABA′F是正方形，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EH=12AB=3，HC=BC−BH=8−3=5，
∴tan∠ECB=EHAC=35；
②当点F在CD上时，
∵BC=8，AB=6，DF=2，
∴CF=4，
∴BF= BC2+CF2=4 5，
∵BE⊥AA′，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BFC，
∴BECF=ABBF即BE4=64 5，
∴BE=6 55，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EH/​/CD，
∴△BEH∽△BFC，
∴BEBF=EHCF=BHBC，即6 554 5=EH4=BH8，
∴EH=65，BH=125，
∴CH=285，
∴tan∠ECB=EHCH=314；
∴tan∠ECB的值为35或314．
(1)当A′B落在边BC上时，△ABA′面积最大，此时△ABA′是等腰直角三角形，即可求解；
(2)先求出tan∠ABF，即可求出∠ABF，用弧长公式求解即可；
(3)根据题意画出图形，用勾股定理求出A′E即可求解；
(4)分两种情况讨论：当点F在AD上；点F在CD上．解直角三角形求出EH，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、作辅助线、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题关键．
26.【答案】解：(1)若a=1，y1=x+1，
当y=0时，x=−1，
∴A(−1,0)，
将(−1,0)代入y2=ax2+bx−3a，
∴b=−2，
∴y2=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点为(1,4)，
∵点A，点C关于x=1对称，
∴C(3,0)；
(2)设直线与抛物线的另一个交点为D，
联立y1=x+1y2=x2−2x−3，
解得x1=−1，x2=4，
∴D(4,5)，
∴直线l上神秘点为(−1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)共6个，
抛物线上神秘点为(0,−3)，(1,−4)，(2,−3)，(3,0)共4个，
综上所述，神秘点个数为10；
(3)①不会变，理由如下：
∵y1=ax+a=a(x+1)，
∴当x=−1时，无论a取何非零实数，y1恒为0，
∴直线永远经过点(−1,0)，
∴点A坐标不会改变；
②∵抛物线L恒过A(−1,0)，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax−3a=a(x2−2x−3)=a(x−3)(x+1)，
∴与x轴恒交于A(−1,0)，C(3,0)，
∴对称轴为x=−−2a2a=1不变，
∵抛物线L与y=5在0≤x≤b有唯一公共点，
当a>0时，
当抛物线经过(6,5)，
∴5=a⋅62−12a−3a，
解得a=521，
∵张口越小，a越大，
∴a≥521；
当a<0时，
当顶点在y=5上，此时顶点为(1,5)，
∴5=a−2a−3a，
∴a=−54；
当抛物线恰好过点(0,5)，
∴5=−3a，
∴a=−53，
∴a<−53，
综上所述：a≥521，a<−53，a=−54时抛物线与y=5在0【解析】(1)求出A(−1,0)，并将A(−1,0)代入y2=ax2+bx−3a，即可求解析式；
(2)设直线与抛物线的另一个交点为D，联立y1=x+1y2=x2−2x−3，求出D(4,5)，可确定直线l上神秘点为(−1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)共6个，抛物线上神秘点为(0,−3)，(1,−4)，(2,−3)，(3,0)共4个．
(3)①由y1=ax+a=a(x+1)，当x=−1时，无论a取何非零实数，y1恒为0，直线永远经过点(−1,0)，可知点A坐标不会改变；
②由抛物线L恒过A(−1,0)，得到b=−2a，可求抛物线与x轴恒交于A(−1,0)，C(3,0)，对称轴为x=−−2a2a=1不变，分两种情况讨论：当a>0时，当抛物线经过(6,5)，此时a≥521时抛物线与y=5在0本题考查二次函数的综合应用，此题难度较大，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．方案Ⅰ：
①以点A为圆心，AB长为半径作⊙A；
②观察点C与⊙A的位置关系即可．
方案Ⅱ：
①作边BC的垂直平分线EF；
②观察EF与边AC是否有交点及交点位置即可．
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)