2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷（含解析）

2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

3.  如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，，尺规作图痕迹可求出(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知、都是正整数，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将线段绕点旋转，下列各点能够落到线段上的是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

7.  由棱长为的小正方体组成新的大正方体，如果不允许切割，至少要几个小正方体(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  能与相加得的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，数轴上的点、分别表示数、，则表示数的点与线段的位置关系是(    )

A. 在线段上 B. 在线段的延长线上
C. 在线段的延长线上 D. 不能确定

10.  若，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”处应放“”的个数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走可到达公路上的点；从点出发沿与垂直的方向走可到达点关于公路的对称点点；从点出发向正北方向走到上，需要走的路程是(    )

A.
B.
C.
D.

13.  对于点和直线：，下列说法正确的是(    )

A. 若，则经过点 B. 若，则不经过点
C. 若，，则点在上方 D. 若，，则点在下方

14.  我国古代孙子算经记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”则下列结论正确的是(    )

A. 设共有人，根据题意得：
B. 共有人
C. 设共有车辆，根据题意得：
D. 共有辆车

15.  在数据，，，中去掉个数据，若平均数没有发生变化，则的值是(    )

A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或

16.  如图，已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，三位同学提出了相关结论：
嘉嘉：点到的距离为
淇淇：的长为
嘉淇：线段扫过的面积为
下列结论正确的是(    )

A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 淇淇对，嘉淇错 C. 嘉嘉错，嘉淇错 D. 淇淇错，嘉淇对

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17.  已知，则 ______ ，的倒数为______ ．

18.  四边形具有不稳定性：如图，将面积为的矩形“推”成面积为的平行四边形，则的值为______ ；若，则平行四边形的面积为______ ．

 

19.  如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在第一象限，点，双曲线把分成两部分．
双曲线与边，分别交于，两点，若，点的横坐标为______ ；
连接，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
老师在黑板上写下了下面的等式，让同学自己出题，并作出答案．

请你解答下列两个同学所提出的问题．
甲同学提出的问题：当代表时，求所代表的有理数；
乙同学提出的问题：若和所代表的有理数互为相反数，求所代表的有理数．

21.  本小题分
每年的月日，某中学毕业班的每位学生都会收到一封任课老师写给自己的信九班有名同学，数学、语文、英语三位任课老师分别给其中的名学生写信，三位老师用抽签的方式选择写信的同学每位学生被抽到的可能性相同．
亦航特别希望自己能收到数学老师的信，当他看到同桌小越收到了数学老师的信后，心里很着急，认为自己收到数学老师的信的概率变小了，你同意他的想法吗？直接写出他收到数学老师的信的概率；
若嘉嘉和淇淇都收到了老师的来信，求她们收到的信来自同一位老师的概率．

22.  本小题分
如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
求整式、；
将整式因式分解；
的最小值为______．

23.  本小题分
如图，将半径为的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形交于点，交于点，与交于点．
与的数量关系是： ______ ；
在的条件下，求证：≌；
当为直径时，以为半径的切于点，求的值及优弧的
长
 

24.  本小题分
如图，甲容器已装满水，高为的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定．设注水时间为分，甲容器水面高度为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表，当两个容器的水面高度相同时，这个高度称为平衡高度．

分别写出，与的函数关系式，并求未注水时乙容器原有水的高度；
求甲、乙两个容器的平衡高度；
为使甲容器无水可注时，乙容器恰好注满，需要调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度．

25.  本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点，当点不和点重合时，作点关于的对称点设点的运动时间为秒．
______；
求的长．用含的代数式表示
取的中点．
连结、，当点在边上，且时，求的长．
连结，当时，直接写出的值．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
若抛物线过点，求出抛物线的解析式；
当时，的最小值是，求时，的最大值；
已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值；
如图，作与抛物线关于轴对称且对称轴相同的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内不包括边界共有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查了相反数的定义，知道“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图用圆规比较两条线段的大小，，
故选：．
由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断．
本题考查比较线段的长短，关键是掌握：比较两条线段长短的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据数轴得：，
可以是．
故选：．
根据数轴上，右边的数总比左边的大得到的取值范围，进而得出答案．
本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
平分，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，，都是正整数，
，，
．
故选：．
把化为的形式，化为的形式，即可求出，的值，通过观察即可得出结论．
本题考查算术平方根，能够根据题意得出，的值是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将线段绕点旋转，
，
线段经过点，
能够落到线段上的是点，
故选：．
比较各点与点组成的线段的长度，线段长度小于长度的点能够落到线段上．
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是会运用旋转的性质解决问题，会比较线段的长短．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据以上分析要组成新的正方体至少要个．
故选B．
本题要求所得到的正方体最小，则每条棱是由两条小正方体的边组成．
本题主要考查空间想象能力，解决的关键是要能想象出正方体的形状．
 

8.【答案】 

【解析】解：，与其相加得，
，
故选：．
本题考查有理数的减法，解本题的关键是掌握去括号和有理数的减法．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
点在线段上．
故选：．
根据绝对值的几何意义得出：，，，推出，即点在线段上．
本题考查了数轴和绝对值的几何意义，在数轴上，若，则点在线段上．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，且，
，
，
故选：．
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设“”“”“”分别为、、，由图可知，
，
解得，，
所以，即“”的个数为．
故选：．
设“”“”“”分别为、、，由图列出方程组解答即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组．解决此题的关键是列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决．
 

12.【答案】 

【解析】解：设从点出发向正北方向走到上的点处，连接，如图，

则，
设与交于点，
点与点关于直线对称，
，，
，
，
．
在中，
，
，
．
故选：．
依据题意画出图形，利用直角三角形的边角关系和轴对称的性质解答即可．
本题主要考查了方向角，直角三角形的边角关系定理，轴对称的性质，依据题意画出图形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，，没有意义，选项A不符合题意；
B.当时，，
点的坐标为
当时，，
若，经过点，选项B不符合题意；
C.当，时，，
点的坐标为
当时，，
若，，则点在下方，选项C不符合题意；
D.当，时，，
点的坐标为
当时，，
若，，则点在下方，选项D符合题意．
故选：．
A.当时，没有意义；
B.代入，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，经过点；
C.代入，，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，，则点在下方；
D.代入，，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，，则点在下方．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、设共有人，根据题意得：，故不符合题意；
B、由选项解得，共人，故不符合题意；
C、设共有车辆，根据题意得：，故不符合题意；
D、由选项解得，共有辆车，故符合题意；
故选：．
设有人，根据车的辆数不变列方程，设车数为辆，由人数不变列方程，解方程即可判断出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示人和车的数量是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
在数据，，，中去掉个数据，平均数没有发生变化，
去掉的数可能是一个或两个或和或三个、、．
或或，
故选：．
先计算这四个数的平均数，再根据在数据，，，中去掉个数据，平均数没有发生变化，即可得到去掉的数据，从而可以得到的值．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确去掉数据后平均数没发生变化，去掉的数据一定和平均数一样或者去掉的几个数据的平均数和原来数据的平均数相同．
 

16.【答案】 

【解析】解：设所在圆的圆心为，连接、，
点是的中点，
，，
，
，
点到的距离为，故嘉嘉对，
，故淇淇错；
线段扫过的面积，故嘉淇错，
故选：．
根据垂径定理得出，利用勾股定理求得，继而即可求得点到的距离为，故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得的长为，即可判断淇淇错；根据线段扫过的面积扇形的面积求得即可判断嘉淇错．
本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段扫过的面积扇形的面积是解题的关键．
 

17.【答案】  

【解析】解：，
，即，
，
的倒数为．
故答案为：，．
把等式两边同时除以即可得出的值，再由倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数，熟知乘积是的两数互为倒数是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，作于，
，，
，
，
令，，
，
，
当时，，
平行四边形的面积．
故答案为：，．
由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值，由得到，即可求出平行四边形的面积．
本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出．
 

19.【答案】  

【解析】解：作于，于，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，，
，
双曲线与边，分别交于，两点，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
解得，
故D的横坐标为，
故答案为：；
作于，则，
，
，的横坐标为，，
，，
，
，
连接，
，
，
．
故答案为：．
作于，于，根据等边三角形的性质得到，进而求得的坐标，根据待定系数法即可求得函数的解析式，解析式联立构成方程组，解方程组即可求得的横坐标；
根据：：求得的面积，根据即可求得的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，正确表示线段长度的比是解题的关键．
 

20.【答案】解：当代表时，所代表的有理数为，
根据题意得：，
解得：，
则甲提出的问题：所代表的有理数为；
当和所代表的有理数互为相反数时，分别设为，，
根据题意得：，
解得：，
则乙提出的问题：所代表的有理数为． 

【解析】当代表时，所代表的有理数设为，根据题意列出方程，求出方程的解即可；
当和所代表的有理数互为相反数时，分别设为，，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：不同意他的想法，
他收到数学老师的信的概率为；
将数学、语文、英语三位任课老师的信分别记作、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪收到的信来自同一位老师的有种结果，
所以收到的信来自同一位老师的概率为． 

【解析】根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：根据题意得：

；


；


；
． 

【解析】解：见答案；
，，
当时，的最小值为．
故答案为：．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
把提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
利用非负数的性质求出的最小值即可．
此题考查了因式分解运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，
由旋转得，，
，
故答案为：；
证明：由旋转得，，
，，
≌．
如图，

以为半径的相切，
，
，
，
≌，
，
为直径，
，
的值为，
，
半径为，
优弧．
由旋转及等腰三角形可得答案；
由旋转得，再由得出的，即可证明；
由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可．
本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键．
 

24.【答案】解：与成正比例，令，
当时，，代入得，
解得：，
与的函数关系式为：．
与成一次函数对应关系，设，
当时，，
当时，，
，
解得：，
与的函数关系式：．
当时，，未注水时乙容器原有水的高度为．
甲、乙两个容器的平衡高度，
即，故有：．
求得：．
此时的平衡高度为．
答：两个容器的平衡高度为．
设乙容器原有水的高度为，．
当甲容器无水可注时，，
求得：，
将，代入中，
求得：．
符合条件的乙容器原有水的高度为． 

【解析】由题意得，从而可求得，再由与成一次函数对应关系，设，从而得，可解得，则可求解；
平衡高度即有时，得，从而可求解；
设乙容器原有水的高度为，，从而可求解．
本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
 

25.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故答案为：．

当时，．
当时，．

当时，，
，
，
，
解得，
此时．

如图中，当时，，此时．

在中，，
∽，
，
，
，，
，关于点对称，
，
，
，
，
如图中，当时，过点作于．

，
，，
，
，
，
，
，
，
经检验是分式方程的解，
综上所述，满足条件的的值为或．
利用勾股定理求解即可．
分两种情形：当时，当时，分别求解．
证明，由此构建方程，可得结论．
分两种情形：如图中，当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．如图中，当时，过点作于根据，构建方程，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：把代入，得，解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点的横坐标在的范围内，
抛物线的顶点的纵坐标就是的最小值，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，随的增大而减小，当时，；
当时，随的增大而增大，当时，，
，
的最大值为．
直线及抛物线与轴的交点都是，
直线与抛物线的两个交点到轴的距离都是，且其中一个交点坐标为，
另一个交点的纵坐标为，
当时，由，得，
另一交点坐标为，
把代入得，解得．
由题意可知，抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形，
该区域内轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于轴对称．
如图，对于抛物线，当时，；当时，，
由题意，得，
解得，
的取值范围是． 

【解析】将代入，列方程求出的值；
求出抛物线的对称轴为直线，可知顶点的纵坐标就是的最小值，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出的最大值；
由直线与抛物线都经过轴上的定点，可知直线与抛物线的两个交点到轴的距离都为，由另一个交点的纵坐标为，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时的值；
抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑轴下方或上方的情况即可，即抛物线当等于时的值不小于而小于，其顶点的纵坐标不小于而小于，列不等式组求出的取值范围．
此题重点考查二次函数的图象与性质、轴对称的特征以及列不等式组求取值范围等知识和方法，解题的关键是数形结合，确定所需要的数量关系，利用函数解析式列方程或不等式组，此题中等难度，是很好的练习题．