2022年河北省唐山市路南区中考数学三模试卷(含解析)

2022年河北省唐山市路南区中考数学三模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面内与点的距离为的点的个数为(    )

A. 无数个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 与互为倒数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线(    )

A.  B.
C.  D.

4. 运算后结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是克，则物体的质量克的取值范围表示在数轴上为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一根直尺压在三角板的角上，与两边，交于、那么是(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

7. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，要判断一块纸带的两边，相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：
   
   下列判断正确的是(    )

A. 甲、乙能得到，丙不能 B. 甲、丙能得到，乙不能
C. 乙、丙能得到，甲不能 D. 甲、乙、丙均能得到

9. 如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．
   
   则数轴上点所对应的数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 问题背景：如图，是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流：
    小明说：“若，则四边形是矩形．”
    小强说：“若，则四边形是菱形．”
    下列说法中正确的是(    )

A. 小明不对，小强对 B. 小明对，小强不对
C. 小明和小强都对 D. 小明和小强都不对

11. 在化简题中，表示，，，四个运算符号中的某一个．当，时，的值为，则所表示的符号为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，分别为、边上的点，且满足根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
    嘉嘉说：连接，则．
    淇淇说：∽．
    对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是(    )

A. 两人都正确 B. 两人都错误
C. 嘉嘉正确，淇淇错误 D. 嘉嘉错误，淇淇正确

13. 如图，将一个棱长为的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

14. 如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是(    )

A. 只有甲正确 B. 只有乙错误 C. 乙、丙都正确 D. 只有丙错误

15. 如图，过轴上任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接、，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

16. 正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点在点从点移动到点的过程中，矩形的面积．(    )

A. 先变大后变小
B. 先变小后变大
C. 一直变大
D. 保持不变

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 代数式化简的结果是，则整式______当时， ______填“”“”“”
18. 如图是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是则
    用表示图中长方体的高为______．
    用表示其俯视图的面积______．

19. 如图，抛物线：，直线：与抛物线、轴分别相交于点、．
    当时，点的坐标为______；
    当时，在抛物线与轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，此时“可点”的个数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    已知：的边长，，，且．
    判断三角形的形状，并说明理由；
    若，求的三边长．

21. 本小题分
    嘉琪记录了她连续两天陪妈妈去水果店买水果的账目：第一天买了斤香蕉和斤苹果，共花了元，第二天买了斤香蕉和斤苹果，共花了元．已知两天中，香蕉和苹果的单价相同．她的记录是否正确？若正确，请算出香蕉和苹果的单价，若错误，请说明理由．
22. 本小题分
    今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种进行调查将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    这次参与调查的共有______ 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______ ；其它沟通方式所占的百分比为______ ．
    将条形统计图补充完整；
    如果我国有亿人在使用手机．
    请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
    在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“”的概率是多少？
     

23. 本小题分
    小明、小亮利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙两个小飞机分别从水平线起点和距水平线起点高处同时出发，匀速上升如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度单位：与飞机上升时间单位：的函数图象．
    求这两个小飞机在上升过程中关于的函数解析式；
    当这两个小飞机的高度相差时，求上升的时间．

24. 本小题分
    已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，点，可以与，两点重合，弦．
    如图，当时，求证：≌；
    如图，若时，求图中阴影部分弦、直径、弧围成的图形的面积；
    如图，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
    点到的距离的最小值是______；
    直接写出点的运动路径长______．
     

25. 本小题分
    北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
    当小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度最大为米，则______．
    在的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
    小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于米，求跳台滑出点的最小高度．

26. 本小题分
    如图，在▱中，，，，是的中点，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原速度沿返回，点从点出发以每秒个单位长度的速度在射线上匀速运动，在点、的运动过程中，以为边作等边，使它和▱在射线的同侧，点、同时出发，点返回到点时终止运动，点也随之停止，设点，运动时间是秒．
    
    当______秒时，点刚好落在边上．
    当时，求与▱重叠部分面积．
    随着时间的变化，的外心是否一直在▱内部？如果在，请说明理由；如果不在，直接写出的外心在▱外部时的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在平面内与点的距离为的点的个数为为：所有到定点的距离等于的点的集合，
故选：．
在平面内与点的距离为的点在“以点为圆心，为半径为的圆”上．
本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
与互为倒数的是．
故选：．
先根据有理数减法的法则计算，再求倒数即可．
本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是的两数互为倒数．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据两点之间的线段最短，
可得、两点之间的最短距离是线段的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：
故选：。
根据线段的性质，可得、两点之间的最短距离是线段的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：，据此解答即可。
此题主要考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短。
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不合题意；
B、原式是最简根式，不合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不合题意；
故选：．
A、根据二次根式的除法运算法则计算判断即可；
B、根据立方根的概念解答即可；
C、根据二次根式的加减运算法则计算判断即可；
D、根据二次根式的乘法运算法则计算判断即可．
此题考查的是立方根、算术平方根，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，知．
故选：．
根据天平知，然后观察数轴即可．
此题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，注意解集中不包含的两个端点的数要用空心表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图象，，
，
．
故选A．
根据与是另外两个角，利用三角形的内角和定理即可求解．
本题的关键在于所求两角的对顶角和是三角形的三个内角，从而可以运用三角形的内角和定理求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用负整数指数幂的法则，零指数幂对各项进行运算即可．
本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：甲、，
内错角相等，两直线平行，
乙、由，不能判定，
丙、在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟记全等三角形的判定与性质、平行线的判定是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解．
本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，是的中线，
，
平行四边形是矩形，
若，是的中线，
，
平行四边形是菱形，
故小明和小强的说法都对，
故选：．
利用矩形的判定和菱形的判定可直接判断．
本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、，
当，时，原式，不符合题意；
B、，
当，时，原式，符合题意；
C、

，
当，时，原式，不符合题意；
D、

，
当，时，原式，不符合题意．
故选：．
把“”、“”、“”、“”放入原式计算得到最简结果，将与的值分别代入结果与比较即可．
此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
∽，
故嘉嘉错误，淇淇正确，
故选：．
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将一个棱长为的正方体分割成棱长为的小正方体，一共可得到个，有个一面涂色的小立方体，所以，从个小正方体中任意取个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为，
故选：．
将一个棱长为的正方体分割成棱长为的小正方体，一共可得到个小立方体，其中一个面涂色的有块，可求出相应的概率．
本题考查了概率公式，列举出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，于点，，

点为的内心，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，故甲的判断正确；
≌，
四边形的面积，
点的位置固定，
四边形的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点作于点，

，，
，
，
的周长，
当最小时，即当时，的周长取得最小值，
此时，不垂直于，所以丙的判断错误．
综上所述：说法正确的是甲、乙．
故选：．
过点作，于点，，根据三角形内心可得，然后证明≌，可得；连接，根据≌，可得四边形的面积，根据点的位置固定，可得四边形的面积是定值；过点作于点，根据，，可得，，所以的周长，可得当最小时，即当时，的周长最小值，进而可得结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定，圆周角定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
轴，
，
点和点分别在反比例函数和的图象上，
，，
，
，
故选：．
连接、，得到的面积和的面积相等，然后借助反比例函数的几何意义求得和的面积，最后得到的面积．
本题考查了反比例函数的反比例系数的几何意义，解题的关键是将的面积转化为的面积．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质、矩形的性质、由面积关系进行转化是解题的关键．
连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】
解：连接，
矩形与正方形的面积相等．
故选：．  

17.【答案】   

【解析】解：由题意得，，
当时，可设，
则，，
，
．
故答案为：，．
根据可得，再利用特殊值法可比较大小．
本题考查分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：长方体的高为：，
故答案为：；
其俯视图的面积为：，
故答案为：．
根据左视图的面积计算即可；
根据主视图和左视图中的数据计算即可．
本题考查了三视图，整式的混合运算，读懂三视图是解题的关键．
 

19.【答案】  个 

【解析】解：当时，抛物线解析式为，直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
故答案为；
当时，抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
“可点”坐标为：，，，，，，，，
即“可点”的个数为个．
故答案为：个．
分别写出时抛物线与直线的解析式，然后计算自变量为所对应的二次函数值得到点坐标；
先写出时抛物线解析式，再解方程，则抛物线与轴的交点坐标为，，然后根据“可点”的定义确定“可点”的个数．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
，
，
是直角三角形，且；
，，
，即，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，，． 

【解析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，求出，进而得出的三边长．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了含角的直角三角形的性质．
 

21.【答案】解：嘉琪的记录是错误的，理由如下：
设香蕉的单价为元斤，苹果的单价为元斤，
依题意得：，
解得：．
香蕉的单价不能为负值，
嘉琪的记录是错误的． 

【解析】嘉琪的记录是错误的，设香蕉的单价为元斤，苹果的单价为元斤，根据“第一天买了斤香蕉和斤苹果，共花了元，第二天买了斤香蕉和斤苹果，共花了元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合香蕉的单价不能为负值，即可得出嘉琪的记录是错误的．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：喜欢用电话沟通的人数为，所占百分比为，
此次共抽查了：人
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：，
其它沟通方式所占的百分比为：，
故答案为：；；．
如图：

由知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人，
所以在全国使用手机的亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有亿人．
由可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是．
根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用“微信”的百分比即可求出“微信”的扇形圆心角度数．
计算出短信与微信的人数即可补全统计图．
用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计亿人中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】解：设甲飞机的函数解析式为：，
乙飞机的函数解析式为：，
将、、代入上述解析式，
解得：，
解得：，
甲飞机的函数解析式为：，
乙飞机的函数解析式为：；
当这两个小飞机的高度相差时，只能甲在上方时，
，
解得，
故当这两个小飞机的高度相差，上升的时间为． 

【解析】根据函数图象中所给的数据，利用待定系数法即可求解．
根据实际情况，列出方程式即可求解．
本题考查了一次函数的图像与实际应用，关键是在于能够正确利用题干中所给的数据，结合数形结合的思想解答．
 

24.【答案】  

【解析】证明：，
，
，
，，即，
在和中，
，
≌；
解：过作于，如图：

半圆中，直径，
，
，
，
，
，，
，
；
答：阴影部分面积是；
解：连接、、，过作于，如图：

直径，弦，
，
是等边三角形，
是的中点，
，，
，
，
当最大时，最小，
而当与重合或与重合时，最大，如图：

是等边三角形，是的中点，
，
，
即点到的距离的最小值是，
故答案为：；
如图：

由知：，
的轨迹是以为圆心，为半径的弧，
当与重合时，，
同理，当与重合时，，
，
点的运动路径长为，
故答案为：．
由可得，，从而由可证明≌；
过作于，由，可得，即知，，故，即得；
连接、、，过作于，根据直径，弦，可得是等边三角形，而是的中点，即知，，，，即得当最大时，最小，而是等边三角形，即可得点到的距离的最小值是；
根据，知的轨迹是以为圆心，为半径的弧，当与重合时，，即可得，故点的运动路径长为
本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形的判定，圆的性质及圆中的相关计算，解题的关键是掌握点的轨迹是以为圆心，为半径的弧．
 

25.【答案】 

【解析】解：小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度最大为米，
的顶点为，
，
解得，
故答案为：；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，舍去，
运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
抛物线，
当时，运动员到达坡顶，
，
解得，
，
与坡顶距离不低于米，
，
解得：．
跳台滑出点的最小高度为米．
由的顶点为，可得关于的方程，即可解得答案．
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出即可；
先求出，再根据与坡顶距离不低于米列出关于的不等式，即可解得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合．
 

26.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，

是的中点，是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
当未返回时，如图所示，连接，

，，
；
当点返回时，如图所示，过点作，作，此时，
，
，，
，
，
，
，
与重合，
，，
∽，
，
，
．
如图所示，当的外心刚好落在边上时，连接，作，，

，
，，
，
，
，
，
．
过点作于点，连接，根据等三角形和平行四边形的性质可得答案；
分两种情况：当未返回时，如图所示，连接，当点返回时，如图所示，过点作，作，此时，然后分别根据等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案；
当的外心刚好落在边上时，连接，作，，然后根据相似三角形的性质及三角函数可得答案．
此题考查的是圆性质、相似三角形的性质、等边三角形的性质及三角函数等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．